《数学分析》课程教学课件（讲稿，打印版）第4章 原函数 §4.1 原函数及其基本的计算方法

第一换元法第二换元法4.1.14.1.24.1.34.1.44.1.5分部积分法2-3+1例1 求da+1解2-3+15dadaa+1+1dadc+5adr-a+11=α2-4α+5lnα+1/+C.2注意，上面第二个等式右端的每一个不定积分都含有一个任意常数，最后合并记作C：这一点我们以后不再申明返回全屏关闭退出6/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ ~ 1 ¦ Z x 2 − 3x + 1 x + 1 dx. ) Z x 2 − 3x + 1 x + 1 dx = Z  x − 4 + 5 x + 1 dx = Z xdx − 4 Z dx + 5Z dx x + 1 = 1 2 x 2 − 4x + 5 ln |x + 1| + C. 5¿, þ¡1‡ªmàz‡Ø½È©Ñ¹k‡?¿~ê,  ￾Ü¿PŠ C; ù:·‚±￾Ø2². 6/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.14.1.24.1.34.1.44.1.5第一换元法第二换元法分部积分法1例2求drsin?C.cos2解sin?α+cos?1dadrSin?sin”a.cos?ac·cos?ccscadasec"ada +=tanr-cotr+C返回全屏关闭退出7/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ ~ 2 ¦ Z 1 sin2 x · cos2 x dx. ) Z 1 sin2 x · cos2 x dx = Z sin2 x + cos2 x sin2 x · cos2 x dx = Z sec2 xdx + Z csc2 xdx = tan x − cot x + C. 7/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.14.1.24.1.34.1.44.1.5第一换元法第二换元法分部积分法1例3求da2(1 + 2)解221daa2(1 + 2α2(1 + 2)1da222211dadr2221+1arctan & + C.返回全屏关闭退出8/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ ~ 3 ¦ Z 1 x2(1 + x2) dx. ) Z 1 x2(1 + x2) dx = Z (1 + x 2 ) − x 2 x2(1 + x2) dx = Z  1 x2 − 1 1 + x2  dx = Z 1 x2 dx − Z 1 1 + x2 dx = − 1 x − arctan x + C. 8/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ

4.1.34.1.4第一换元法第二换元法4.1.14.1.24.1.5分部积分法不定积分的换元法4.1.4定理1(第一换元法）设F(α)是f(α)的一个原函数（即 F(α)=f(α)），并设 u= (α)可微.则我们有f(p(c) - '(c)dc = F(p(a) + C.即f(p(α))·p(α)的一个原函数是F(p(α))证明由一阶微分形式的不变性，关系式dF(u) = f(u)du再以函数(α）代替自变量u时仍然成立，由此导出所说的等式这一方法也称为“凑微分法”返回全屏关闭退出I4-9/25

4.1.1 4.1.2 4.1.3 4.1.4 4.1.5 1†{ 1†{ ©ÜÈ©{ 4.1.4 ؽȩ†{ ½n 1 (1†{)  F(x) ´ f(x) ‡¼ê£= F 0 (x) = f(x)¤, ¿ u = ϕ(x) Œ‡. K·‚k Z f(ϕ(x)) · ϕ 0 (x)dx = F(ϕ(x)) + C. = f(ϕ(x)) · ϕ0 (x) ‡¼ê´ F(ϕ(x)). y² d‡©/ªØC5, 'Xª dF(u) = f(u)du 2±¼ê ϕ(x) OgCþ u žE,¤á, ddѤ`ª. ù{¡“n‡©{”. 9/25 kJ Ik J I ˆ£ ¶ '4 òÑ