幂律流体延伸表面逆来流边界层特性分析与数值模拟

D0I:10.13374/1.issnl00103.2008.10.006 第30卷第10期 北京科技大学学报 Vol.30 No.10 2008年10月 Journal of University of Science and Technology Beijing 0t.2008 幂律流体延伸表面逆来流边界层特性分析与数值模拟 张浩) 张欣欣郑连存) 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)北京科技大学应用科学学院，北京100083 摘要首先利用量级分析理论对幂律流体延伸表面边界层流动进行分析，得到边界层厚度的量级和影响因素：引入量纲为 1变量，将动量边界层的控制方程转化为量纲为1的控制方程组·数值求解了具有不同幂律指数n的流体在平板逆来流且平 板运动参数S不同的情况下的层流边界层流场，分析了幂律指数和平板运动参数S对动量边界层厚度、量纲为1速度分布 和量纲为1剪切力分布的影响规律。结果表明，速度边界层的分布不仅和平板运动参数有关，而且和幂律指数有关。 关键词幂律流体；速度边界层：连续运动平板：数值计算 分类号0357.4 Analysis and numerical simulation of boundary layer separation flow on the stretching surface of power law fluids ZHA NG Hao),ZHA NG Xinxin),ZHENG Lianeun2) 1)School of Mechanical Engineering.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)School of Applied Science.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI A theoretical analysis of boundary layer flow on the continuous moving surface of power law fluids was carried out based on the theory of dimensional analysis of the fluid dynamics.The magnitude and the influencing factor of the laminar boundary layer thickness were obtained.The governing equations of mass and momentum were transformed into the dimensionless form by introduc- ing dimensionless variables.The flow fields of different power-law index fluids with different velocity ratio parameters were presented numerically.The characteristics of the flow and the influence of power-law index and velocity ratio parameter on the flow were ana- lyzed.The results show that the dimensionless velocity and shear stress depend not only on the velocity ratio parameter of the plate, but also on the power law index. KEY WORDS power law fluid:velocity boundary layer:stretching surface:numerical solutions 当物体表面附近边界层流场中的压力沿流向增 时，这种边界层问题的相似解将不存在，Akcay研 加而存在负梯度时，边界层内流体的动量为克服压 究了在有吸附/喷注条件下非牛顿流体绕流一个半 力增加和摩擦力而逐渐减小，以致在某一点上粘性 无限大平板，且平板以逆主流速度方向运动的问题， 层从物面发生压缩性的分离。在分离点的下游形成 给出了相似方程的数值解.郑连存等9)从理论上 回流区，原边界层绕过回流区又回到物面上来山， 对该类问题进行系统分析，利用相似变换和Croceo Klemp等2)首先研究了在大雷诺数下具有常速度 变量变换及打靶法技巧等函数分析理论，证明了问 的不可压缩牛顿流体绕流一个有限长平板且当平板 题正解的存在性、唯一性和解析性，得到问题的相似 存在逆来流方向运动速度时的边界层问题，并在文 解 献[3]中给出了牛顿流体边界层方程相似解的存在 1控制方程描述 条件，Hussaini等句]、Vajravelu等]以及Soewono 等门指出，当速度比例参数入大于一个正临界值入 本文研究大雷诺数下具有常速度的不可压缩幂 收稿日期：2007-0922修回日期：2007-11-22 基金项目：国家自然科学基金资助项目(N。·50476083) 作者简介：张浩(1976一)，男，博士研究生；张欣欣(1957一)，男，教授，博士生导师，Emai:xxzhang(@me.ustb:cdcm

幂律流体延伸表面逆来流边界层特性分析与数值模拟 张 浩1） 张欣欣1） 郑连存2） 1） 北京科技大学机械工程学院‚北京100083 2） 北京科技大学应用科学学院‚北京100083 摘 要 首先利用量级分析理论对幂律流体延伸表面边界层流动进行分析‚得到边界层厚度的量级和影响因素；引入量纲为 1变量‚将动量边界层的控制方程转化为量纲为1的控制方程组．数值求解了具有不同幂律指数 n 的流体在平板逆来流且平 板运动参数ζ不同的情况下的层流边界层流场‚分析了幂律指数 n 和平板运动参数ζ对动量边界层厚度、量纲为1速度分布 和量纲为1剪切力分布的影响规律．结果表明‚速度边界层的分布不仅和平板运动参数有关‚而且和幂律指数有关． 关键词 幂律流体；速度边界层；连续运动平板；数值计算 分类号 O357∙4 Analysis and numerical simulation of boundary layer separation flow on the stretching surface of power law fluids ZHA NG Hao 1）‚ZHA NG Xinxin 1）‚ZHENG Liancun 2） 1） School of Mechanical Engineering‚University of Science and Technology Beijing‚Beijing100083‚China 2） School of Applied Science‚University of Science and Technology Beijing‚Beijing100083‚China ABSTRACT A theoretical analysis of boundary layer flow on the continuous moving surface of power law fluids was carried out based on the theory of dimensional analysis of the fluid dynamics．T he magnitude and the influencing factor of the laminar boundary layer thickness were obtained．T he governing equations of mass and momentum were transformed into the dimensionless form by introduc￾ing dimensionless variables．T he flow fields of different power-law index fluids with different velocity ratio parameters were presented numerically．T he characteristics of the flow and the influence of power-law index and velocity ratio parameter on the flow were ana￾lyzed．T he results show that the dimensionless velocity and shear stress depend not only on the velocity ratio parameter of the plate‚ but also on the power law index． KEY WORDS power law fluid；velocity boundary layer；stretching surface；numerical solutions 收稿日期：2007-09-22 修回日期：2007-11-22 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．50476083） 作者简介：张 浩（1976—）‚男‚博士研究生；张欣欣（1957—）‚男‚教授‚博士生导师‚E-mail：xxzhang＠me．ustb．edu．cn 当物体表面附近边界层流场中的压力沿流向增 加而存在负梯度时‚边界层内流体的动量为克服压 力增加和摩擦力而逐渐减小‚以致在某一点上粘性 层从物面发生压缩性的分离．在分离点的下游形成 回流区‚原边界层绕过回流区又回到物面上来［1］． Klemp 等［2—3］首先研究了在大雷诺数下具有常速度 的不可压缩牛顿流体绕流一个有限长平板且当平板 存在逆来流方向运动速度时的边界层问题‚并在文 献［3］中给出了牛顿流体边界层方程相似解的存在 条件．Hussaini 等［4—5］、Vajravelu 等［6］以及 Soewono 等［7］指出‚当速度比例参数λ大于一个正临界值λ∗ 时‚这种边界层问题的相似解将不存在．Akcay ［8］研 究了在有吸附／喷注条件下非牛顿流体绕流一个半 无限大平板‚且平板以逆主流速度方向运动的问题‚ 给出了相似方程的数值解．郑连存等［9—12］从理论上 对该类问题进行系统分析‚利用相似变换和 Crocco 变量变换及打靶法技巧等函数分析理论‚证明了问 题正解的存在性、唯一性和解析性‚得到问题的相似 解． 1 控制方程描述 本文研究大雷诺数下具有常速度的不可压缩幂 第30卷 第10期 2008年 10月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．10 Oct．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．10．006

第10期 张浩等：幂律流体延伸表面逆来流边界层特性分析与数值模拟 ,1175, 律流体绕流连续运动的平板且速度相反于主流速度 2.2量纲为1化 的动量边界层问题.如图1，二维稳态情况下，具有 引入量纲为1的变量[12] 定常速度U∞的不可压缩幂律流体掠过一个逆来流 运动（速度为Uw)的平板表面，分别取平板运动方 L 向和垂直于平板方向为X轴和Y轴的正方向，其速 度边界层方程为9-12]， (6) au.OY-0 ax ay (1) 则控制方程(1)和(2)变为： +v器{3副 (7) (2) 2+-0 =22w-1 uaxoay-ay ay d (8) U 边界条件(3)变为： uly=0=Uw/Uo=-5,ul,=0=0,ul,=+∞=1 (9) 77777 这里，=一U./U∞为速度比例参数；v.（x)= U.04 (U“L“/Y)市Vw(X)/U∞为量纲为1的抽吸/ 图1逆流运动平板边界层流动结构图 |aw-12u= 喷注参数：量纲为1的剪切力y=3y Fig.I Distribution diagram of boundary layer flow along a reverse KU3npn -1/(n+1) flowing plate T·本文仅考虑0≤≤*情况 定义k=P1,通常称之为幂律流体的稠度系数： 下的边界层问题（专为临界速度比例参数）· a业|n-1 几=K为幂律流体的表观粘度，则剪切应 当n=1,方程(8)亦退化为牛顿流体情况： 亚m-1au, 力=K737:n为幂律指数，n=1对应 +学 u ax (10) 于牛顿流体，0~n<1描述拟塑性流体，n>1描述 以上通过对控制方程的量纲为1化，得到了幂 涨塑性流体，相应的边界条件为： 律流体连续运动平板动量边界层量纲为1化的方程 UIy=0=Uw,VIy=0=0,Uly=+oo=Uoo.(3) 组，最终变换后的方程仅涉及幂律指数n和速度比 例参数ξ.值得注意的是，所有其他的参数，比如坐 2量级分析和控制方程的量纲为1化 标，流体物性参数K、P和流动状态参数U∞都包括 2.1量级分析 在局部雷诺数Nae中， 根据边界层理论：速度边界层内惯性力与粘性 3结果和分析 力可视为同一数量级13，于是： 根据数值计算结果，把边界层内的量纲为1速 6(x) Kn (4) 度分布和量纲为1剪切力分布按照它们的影响因 或 素一幂律指数n和平板的速度比例参数ξ，分别 拟合出曲线，并对其分布规律做进一步的分析 (X) (5) 3.1边界层厚度 X 式中，Ne= 为幂律流体的雷诺数 图2描述了边界层厚度δ随X+1的变化曲线， K 由图可以看出，6随X市的变化是线性的，这很好 由此可见对于平板壁面，边界层厚度6(x)与 X市成正比：量纲为1的边界层厚度P仅与蒂 地验证了前面的边界层物理量级分析的结果，也与 牛顿流体(n=1)中经典的平板边界层厚度公式 律指数n和雷诺数NRe有关， (x)=5.0 能够很好地吻合·

律流体绕流连续运动的平板且速度相反于主流速度 的动量边界层问题．如图1‚二维稳态情况下‚具有 定常速度 U∞的不可压缩幂律流体掠过一个逆来流 运动（速度为 Uw ）的平板表面‚分别取平板运动方 向和垂直于平板方向为 X 轴和 Y 轴的正方向‚其速 度边界层方程为［9—12］： ∂U ∂X ＋ ∂V ∂Y ＝0 （1） U ∂U ∂X ＋ V ∂U ∂Y ＝ ∂ ∂Y γ ∂U ∂Y n—1∂U ∂Y （2） 图1 逆流运动平板边界层流动结构图 Fig．1 Distribution diagram of boundary layer flow along a reverse flowing plate 定义 k＝ργ‚通常称之为幂律流体的稠度系数； ηa＝ K ∂U ∂Y n—1 为幂律流体的表观粘度‚则剪切应 力τXY＝ K ∂U ∂Y n—1∂U ∂Y ；n 为幂律指数‚n＝1对应 于牛顿流体‚0＜ n＜1描述拟塑性流体‚n＞1描述 涨塑性流体．相应的边界条件为： U｜Y＝0＝ Uw‚V｜Y＝0＝0‚U｜Y＝＋∞＝ U∞．（3） 2 量级分析和控制方程的量纲为1化 2∙1 量级分析 根据边界层理论：速度边界层内惯性力与粘性 力可视为同一数量级［1‚13—15］‚于是： δ（ x）～ Kn ρ 1 n＋1 U n—2 n＋1 ∞ X 1 n＋1 （4） 或 δ（ X） X ～ 1 n NRe — 1 n＋1 （5） 式中‚NRe＝ U 2— n ∞ ρX n K 为幂律流体的雷诺数． 由此可见对于平板壁面‚边界层厚度 δ（ x ）与 X 1 n＋1成正比；量纲为1的边界层厚度 δ（ X） X 仅与幂 律指数 n 和雷诺数 NRe有关． 2∙2 量纲为1化 引入量纲为1的变量［9—12］： x＝ X L ‚y＝ U 2— n ∞ L n γ 1 n＋1 Y L ‚ u＝ U U∞ ‚v＝ U 2— n ∞ L n γ 1 n＋1 V U∞ （6） 则控制方程（1）和（2）变为： ∂u ∂x ＋ ∂v ∂y ＝0 （7） u ∂u ∂x ＋v ∂u ∂y ＝ ∂ ∂y ∂u ∂y n—1∂u ∂y （8） 边界条件（3）变为： u｜y＝0＝ Uw／U∞＝—ξ‚v｜y＝0＝0‚u｜y＝＋∞＝1 （9） 这里‚ξ＝— Uw／U∞ 为速度比例参数；v w （ x ） ＝ （ U 2— n ∞ L n／γ） 1 n＋1V W（ X）／U∞为量纲为1的抽吸／ 喷注参数；量纲为1的剪切力 τxy＝ ∂u ∂y n—1∂u ∂y ＝ KU 3nρn L n —1／（ n＋1） τXY．本文仅考虑0≤ξ≤ξ∗情况 下的边界层问题（ξ∗为临界速度比例参数）． 当 n＝1‚方程（8）亦退化为牛顿流体情况： u ∂u ∂x ＋v ∂u ∂y ＝ ∂2u ∂y 2 （10） 以上通过对控制方程的量纲为1化‚得到了幂 律流体连续运动平板动量边界层量纲为1化的方程 组‚最终变换后的方程仅涉及幂律指数 n 和速度比 例参数ξ．值得注意的是‚所有其他的参数‚比如坐 标‚流体物性参数 K、ρ和流动状态参数 U∞都包括 在局部雷诺数 NRe中． 3 结果和分析 根据数值计算结果‚把边界层内的量纲为1速 度分布和量纲为1剪切力分布按照它们的影响因 素———幂律指数 n 和平板的速度比例参数ξ‚分别 拟合出曲线‚并对其分布规律做进一步的分析． 3∙1 边界层厚度 图2描述了边界层厚度δ随 X 1 n＋1的变化曲线． 由图可以看出‚δ随 X 1 n＋1的变化是线性的‚这很好 地验证了前面的边界层物理量级分析的结果‚也与 牛顿流体（ n＝1）中经典的平板边界层厚度公式 δ（ x）＝5∙0 v x U∞ 能够很好地吻合． 第10期 张 浩等： 幂律流体延伸表面逆来流边界层特性分析与数值模拟 ·1175·

1176, 北京科技大学学报 第30卷 0.05 (a) 0.06〔b) 5=0.1 -0-5=0.2 0.04 -5-0.3 0.05 o0.03 0.04 0.02 0.03 0.0b4 0.8 12 1.6 0.6 08 1.0 12 4 XM Y 图2边界层厚度与X市的关系.(a)n=0.8:(b)n=2 Fig.2 Relation between boundary layer thickness and (a)n=0.8;(b)n=2 3.2量纲为1速度的分布 动参数专下层流边界层内的速度分布，由图明显看 3.2.1幂律指数的影响 出量纲为1的速度u是幂律指数n的单调增函数. 图3描述了不同幂律指数n的流体在不同运 (a) 1.0 1.0) 0.8 0.8- 0.6 0.6 ￥0.4 n-0.4 0.4 -n=0.4 n=0.5 0-n=0.5 n=0.8 0.2 一n0.8 02 。-n=1.0 0 n=1.0 0.2 0 3 4 4 g 图3幂律指数对速度的影响.(a)=0.1:(b)=0.3 Fig.3 Influence of power law index on the velocity:(a)0.1:(b)=0.3 3.2.2速度比例参数的影响 于同一种流体，量纲为1速度u是平板速度比例参 图4描述的是相应于不同的速度比例参数下边 数ξ的减函数，即边界层内的速度随平板逆流方向 界层内的量纲为1速度分布，从图中可以看出：对 运动速度的增大而减小 1.0r(a) 10b) 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 A 甜 =0.1 0.2 E-0.2 0 0 0.2 0.2 4 6 图4速度比例参数对速度的影响.(a)n=0.5;(b)n=0.8 Fig.4 Influence of velocity ratio parameter on the velocity:(a)n=0.5:(b)n=0.8

图2 边界层厚度与 X 1 n＋1的关系．（a） n＝0∙8；（b） n＝2 Fig．2 Relation between boundary layer thickness and X 1 n＋1：（a） n＝0∙8；（b） n＝2 3∙2 量纲为1速度的分布 3∙2∙1 幂律指数的影响 图3描述了不同幂律指数 n 的流体在不同运 动参数ξ下层流边界层内的速度分布．由图明显看 出量纲为1的速度 u 是幂律指数 n 的单调增函数． 图3 幂律指数对速度的影响．（a） ξ＝0∙1；（b） ξ＝0∙3 Fig．3 Influence of power law index on the velocity：（a） ξ＝0∙1；（b） ξ＝0∙3 3∙2∙2 速度比例参数的影响 图4描述的是相应于不同的速度比例参数下边 界层内的量纲为1速度分布．从图中可以看出：对 于同一种流体‚量纲为1速度 u 是平板速度比例参 数ξ的减函数‚即边界层内的速度随平板逆流方向 运动速度的增大而减小． 图4 速度比例参数对速度的影响．（a） n＝0∙5；（b） n＝0∙8 Fig．4 Influence of velocity ratio parameter on the velocity：（a） n＝0∙5；（b） n＝0∙8 ·1176· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷

第10期 张浩等：幂律流体延伸表面逆来流边界层特性分析与数值模拟 ,1177 3.3量纲为1的剪切力的分布 也就是说，幂律指数较小的流体对边界层内流体施 3.3.1幂律指数的影响 加更大的剪切力，这和平板顺来流边界层的规律相 由图5明显看出平板壁面的量纲为1的剪切力 一致 t,随幂律指数n减小而增大，即tx,是n的减函数， 0.6 (a) 0.6 (b) 0.5 n=0.8 -n=0.8 8n=1.0 o-n=1.0 -n=1.2 0.4 n=12 -n=1.5 -n=1.5 0.3 0.2 0.1 图5幂律指数对剪切应力的影响.(a)=0.2:(b)=0.3 Fig-5 Influence of power law index on the shear stress:(a)=0.2:(b)=0.3 由于平板的逆流，壁面附近的流体被推向边界 图6描述的是相应于不同的速度比例参数下平 层内部，从而使壁面的剪切力减小，所以最大的剪切 板壁面的量纲为1剪切应力的分布，从图中可以得 应力不是出现在u=ξ处（壁面上），而是出现在边 出下面的结论：在0<<ξ*范围内，对于同一种流 界层内部，但当位于“=1处（边界层外缘）时，边界 体，量纲为1剪切应力是平板速度比例参数的减函 层流体速度达到主流速度，流体不再受到壁面摩擦 数，即量纲为1剪切力τ，随着平板运动速度的增大 阻力的影响，所以量纲为1的剪切应力取得最小值 而减小. 3.3.2速度比例参数的影响 0.7r(a 0.7「b) 0.6 0.6 0.5 0.5 0.4 0.4 5-03 0.3 E-02 0.3 =0.1 0.2 0.2 0.1 0.1 -0.2 0 0.20.40.60.81.0 -0.2 00.20.4 0.60.8 1.0 图6速度比例参数对剪切力的影响.(a)n=0.5:(b)n=0.8 Fig.6 Influence of velocity ratio parameter on the shear stress:(a)n=0.5:(b)n-0.8 4结论 (3)对于同一种流体，量纲为1的速度u是平 板速度比例参数ξ的减函数，即边界层内的速度随 (1)通过量级分析，得到幂律流体中边界层厚度 平板逆来流运动速度的增大而减小；量纲为1的切 的量级，通过对控制方程的量纲为1化，得到量纲 应力是平板速度比例参数的减函数，即剪切力随平 为一化方程组，数值求解了幂律流体中逆来流连续 板逆流运动速度的增大而减小. 运动平板动量边界层问题 (4)量纲为1的速度u是幂律指数n的单调增 (2)幂律流体连续运动平板上问题存在相似解， 函数，即幂律指数较大的流体粘性扩散率大于幂律 边界层厚度(x)与x市成正比. 指数较小的流体粘性扩散率；量纲为1的剪切力xy

3∙3 量纲为1的剪切力的分布 3∙3∙1 幂律指数的影响 由图5明显看出平板壁面的量纲为1的剪切力 τxy随幂律指数 n 减小而增大‚即 τxy是 n 的减函数‚ 也就是说‚幂律指数较小的流体对边界层内流体施 加更大的剪切力．这和平板顺来流边界层的规律相 一致． 图5 幂律指数对剪切应力的影响．（a） ξ＝0∙2；（b） ξ＝0∙3 Fig．5 Influence of power law index on the shear stress：（a） ξ＝0∙2；（b） ξ＝0∙3 由于平板的逆流‚壁面附近的流体被推向边界 层内部‚从而使壁面的剪切力减小‚所以最大的剪切 应力不是出现在 u＝ξ处（壁面上）‚而是出现在边 界层内部‚但当位于 u＝1处（边界层外缘）时‚边界 层流体速度达到主流速度‚流体不再受到壁面摩擦 阻力的影响‚所以量纲为1的剪切应力取得最小值． 3∙3∙2 速度比例参数的影响 图6描述的是相应于不同的速度比例参数下平 板壁面的量纲为1剪切应力的分布．从图中可以得 出下面的结论：在0＜ξ＜ξ∗范围内‚对于同一种流 体‚量纲为1剪切应力是平板速度比例参数的减函 数‚即量纲为1剪切力τxy随着平板运动速度的增大 而减小． 图6 速度比例参数对剪切力的影响．（a） n＝0∙5；（b） n＝0∙8 Fig．6 Influence of velocity ratio parameter on the shear stress：（a） n＝0∙5；（b） n＝0∙8 4 结论 （1）通过量级分析‚得到幂律流体中边界层厚度 的量级．通过对控制方程的量纲为1化‚得到量纲 为一化方程组．数值求解了幂律流体中逆来流连续 运动平板动量边界层问题． （2）幂律流体连续运动平板上问题存在相似解‚ 边界层厚度 δ（ x）与 x 1 n＋1成正比． （3）对于同一种流体‚量纲为1的速度 u 是平 板速度比例参数ξ的减函数‚即边界层内的速度随 平板逆来流运动速度的增大而减小；量纲为1的切 应力是平板速度比例参数的减函数‚即剪切力随平 板逆流运动速度的增大而减小． （4）量纲为1的速度 u 是幂律指数 n 的单调增 函数‚即幂律指数较大的流体粘性扩散率大于幂律 指数较小的流体粘性扩散率；量纲为1的剪切力τxy 第10期 张 浩等： 幂律流体延伸表面逆来流边界层特性分析与数值模拟 ·1177·

,1178. 北京科技大学学报 第30卷 随幂律指数n减小而增大，即ty是n的减函数，也 problem.J Math Anal Appl.1991,159:251 就是说，幂律指数较小的流体对边界层内流体施加 [8]Akcay M.Adil Y M.Drag reduction of a non newtonian fluid by 更大的剪切力， fluid injection on a moving wall.Arch Appl Mech.1999.69: 215 (⑤)当0<<*时，逆来流平板边界层问题最 [9]Zheng L C.Ma L X,He JC.Bifurcation solutions to a boundary 大的剪切应力不是出现在=专处（壁面上），而是 layer problem arising in the theory of power law fluids.Acta 出现在边界层内部：但当u=1(边界层外缘)时，量 Math Sci,2000,20(1):19 纲为1的剪切应力取得最小值T=0. [10]Zheng LC.Zhang X X.He JC.Bifurcation behavior of reverse flow boundary layer problem with special injection/suction. 参考文献 Chin Phys Lett.2003.20(1):83 [11]Zheng L C.Zhang X X.He JC.Drag characteristics of power [1]Schlichting H.Boundary Layer Theory.New York:MeGraw- law fluids on an upstream moving surface.JUnie Sci Tech Bei- Hl.1979 jng,2005,12(6):504 [2]Klemp J B.Acrivos A.A method for integrating the boundary- [12]Zheng L C.Liang C.Zhang XX.The multiple values of skin layer equations through a region of reverse flow.I Fluid Mech. friction for boundary layer separation flow in power law pseudo- 1972,53,177 [3]Klemp J B.Acrivos A.A moving wall boundary with reverse plastic fluids/Proceedings of the 4th Pacific Rim Conference flow.J Fluid Mech.1976,76,363 on Rheology.Shanghai.2005:513 [13]Liu HZ.Shu H J.Boundary Layer Theory.Beijing:China [4]Hussaini MY,Lakin W D.Existence and non uniqueness of sim Communications Press.1991 ilarity solutions of a boundaryayer problem.Q J Mech Appl (刘惠枝，舒宏纪，边界层理论，人民交通出版社，1991) Math,1986,39:15 [14]Zhang H,Zhang XX.Zheng L C.The characteristic of the [5]Hussaini M Y.Lakin W D.Nachman A.On similarity solutions boundary layer in power law fluid//Proceedings of the 5th In- of a boundary layer problem with an upstream moving wall. ternational Conference on Nonlinear Mechanics.Shanghai: SIAM J Appl Math.1987,47(4):699 2007,1189 [6]Vajravelu K,Mohapatra R N.On fluid dynamic drag reduction in some boundary layer flows.Acta Mech.1990.81:59 [15]Zhang H.Zhang XX,Zheng L C.Numerical study of thermal boundary layer on a continuous moving surface in power law flu- [7]Soewono E,Vajravelu K,Mohapatra R N.Existence and ids.J Therm Sci.2007.16(3):243 nonuniqueness of solutions of a singular nonlinear boundary-layer

随幂律指数 n 减小而增大‚即 τxy是 n 的减函数‚也 就是说‚幂律指数较小的流体对边界层内流体施加 更大的剪切力． （5）当0＜ξ＜ξ∗时‚逆来流平板边界层问题最 大的剪切应力不是出现在 u＝ξ处（壁面上）‚而是 出现在边界层内部；但当 u＝1（边界层外缘）时‚量 纲为1的剪切应力取得最小值 τxy＝0． 参 考 文 献 ［1］ Schlichting H．Boundary L ayer Theory．New York：McGraw￾Hill‚1979 ［2］ Klemp J B‚Acrivos A．A method for integrating the boundary￾layer equations through a region of reverse flow．J Fluid Mech‚ 1972‚53：177 ［3］ Klemp J B‚Acrivos A．A moving-wall boundary with reverse flow．J Fluid Mech‚1976‚76：363 ［4］ Hussaini M Y‚Lakin W D．Existence and non-uniqueness of sim￾ilarity solutions of a boundary-layer problem． Q J Mech Appl Math‚1986‚39：15 ［5］ Hussaini M Y‚Lakin W D‚Nachman A．On similarity solutions of a boundary layer problem with an upstream moving wall． SIA M J Appl Math‚1987‚47（4）：699 ［6］ Vajravelu K‚Mohapatra R N．On fluid dynamic drag reduction in some boundary layer flows．Acta Mech‚1990‚81：59 ［7］ Soewono E‚ Vajravelu K‚ Mohapatra R N． Existence and nonuniqueness of solutions of a singular nonlinear boundary-layer problem．J Math A nal Appl‚1991‚159：251 ［8］ Akcay M‚Adil Y M．Drag reduction of a non-newtonian fluid by fluid injection on a moving wall．A rch Appl Mech‚1999‚69： 215 ［9］ Zheng L C‚Ma L X‚He J C．Bifurcation solutions to a boundary layer problem arising in the theory of power law fluids． Acta Math Sci‚2000‚20（1）：19 ［10］ Zheng L C‚Zhang X X‚He J C．Bifurcation behavior of reverse flow boundary layer problem with special injection／suction． Chin Phys Lett‚2003‚20（1）：83 ［11］ Zheng L C‚Zhang X X‚He J C．Drag characteristics of power law fluids on an upstream moving surface．J Univ Sci Tech Bei￾jing‚2005‚12（6）：504 ［12］ Zheng L C‚Liang C‚Zhang X X．The multiple values of skin friction for boundary layer separation flow in power law pseudo￾plastic fluids∥ Proceedings of the 4th Pacific Rim Conference on Rheology．Shanghai‚2005：513 ［13］ Liu H Z‚Shu H J．Boundary L ayer Theory．Beijing：China Communications Press‚1991 （刘惠枝‚舒宏纪．边界层理论．人民交通出版社‚1991） ［14］ Zhang H‚Zhang X X‚Zheng L C．The characteristic of the boundary layer in power law fluid∥ Proceedings of the 5th In￾ternational Conference on Nonlinear Mechanics． Shanghai： 2007：1189 ［15］ Zhang H‚Zhang X X‚Zheng L C．Numerical study of thermal boundary layer on a continuous moving surface in power law flu￾ids．J Therm Sci‚2007‚16（3）：243 ·1178· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷