养分资源管理课程讲义：第二章养分资源管理的基本原理与基本方法 第二节养分资源管理的基本方法 一、肥料效应函数在养分资源管理中的应用 (一)肥料效应函数的概念与作用 肥料效应：作物产量对施肥的反应。 肥料效应函数：也叫肥料效应方程、施肥模型，指表达作物产量对施肥反应的数学函数式 肥料效应函数的作用：可以判断肥料养分效应的大小和特征，进行肥料新品种的评价：可 以确定最佳施肥量、最大施肥量等。 肥料效应函数的代数形式及其系数值取决于土壤、作物、肥料种类及栽培技术条件等多种 因素。 (二)肥料效应函数的类型与特征 肥料效应方程式从数学形式上分为直线、指数、多项式、相交直线方程式等，从自变量数 上分为一元、多元等。 1、一元肥料效应回归方程式 一元肥料效应方程式有： (1、直线方程式 y=bo+bix y:产量，bo:施肥前产量水平，b,系数 ·特征：固定报酬，因而该式不能反映当施肥量递增时表现出的肥效递减现象以及过 量施肥，特别是过量施用氮肥时的总产量下降现象。 ·存在条件：在较低生产水平、较低肥力、施用低量肥料时，可能符合直线方程。 (2)、指数（或对数）方程式 i米采利希方程式 由米氏于1909年提出：指数式为：y=A(1-10“) 对数式为：1g(A-y)=lgA-cx A为增施某一养分可以达到的最高产量，y为养分供应量为x时的实际产量。C为效应 系数C值愈大，达到一定产量需要的施肥量愈少，肥料的增产效应愈高。 10
养分资源管理课程讲义：第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 10 第二节 养分资源管理的基本方法 一、 肥料效应函数在养分资源管理中的应用 （一）肥料效应函数的概念与作用 肥料效应：作物产量对施肥的反应。 肥料效应函数：也叫肥料效应方程、施肥模型，指表达作物产量对施肥反应的数学函数式。 肥料效应函数的作用：可以判断肥料养分效应的大小和特征，进行肥料新品种的评价；可 以确定最佳施肥量、最大施肥量等。 肥料效应函数的代数形式及其系数值取决于土壤、作物、肥料种类及栽培技术条件等多种 因素。 （二）肥料效应函数的类型与特征 肥料效应方程式从数学形式上分为直线、指数、多项式、相交直线方程式等，从自变量数 上分为一元、多元等。 1、一元肥料效应回归方程式 一元肥料效应方程式有： （1）、直线方程式 y=b0+b1x y：产量，b0：施肥前产量水平，b1 系数 ·特征：固定报酬，因而该式不能反映当施肥量递增时表现出的肥效递减现象以及过 量施肥，特别是过量施用氮肥时的总产量下降现象。 ·存在条件：在较低生产水平、较低肥力、施用低量肥料时，可能符合直线方程。 （2）、指数(或对数)方程式 i 米采利希方程式 由米氏于 1909 年提出：指数式为： y=A(1-10-cx) 对数式为： lg(A-y)=lgA-cx A 为增施某一养分可以达到的最高产量，y 为养分供应量为 x 时的实际产量。C 为效应 系数 C 值愈大，达到一定产量需要的施肥量愈少，肥料的增产效应愈高
养分资源管理课程讲义：第二章养分资源管理的基本原理与基本方法 ii典型的指数方程式 米氏方程中X为养分供应量，包括了土壤养分，不能直观表达施肥量的影响，为此， 克劳斯等提出了修正式，并称之为典型的指数方程式。 y=yo+d(1-10) y为不施肥产量d最大增产量k效应系数 iii斯皮尔曼(Spillman)方程式 y=A(1-R) y为产量A为最高产量R为每增加一个单位养分(x)引起的增产量与前一 个增施单位养分(x-)所引起的增产量之比。 当x表示施肥量，b表示土壤的养分效应量时， y=A(1-R) 或y=M-AR 式中，M为最高产量，A为施肥能得到的最大增产量。 ·指数方程式特征：①报酬递减②反映最高产量以前的效应 ·上述指数方程式都存在一个共同的缺点，即肥料用量没有超过最高产量施肥量，它 们不能反映总产量因施肥量增加而下降的那部分效应关系。 (3)多项式 任何函数至少在一个比较小的领域内可用多项式做近似表示，因此在条件较复杂时， 可首先试用多项式回归进行回归计算。在肥料效应函数中多项式的优点是：①可用最小二 乘法对它的参数进行方便的检验：②可以反映出最高产量及其以后的产量下降：③可以直 接反映施肥量与产量的关系，而不象多数指数式只适于表示养分供应量与产量的关系 在肥料效应的多项式中又有二次式及其多种变换式之分。 i二次方程式 Nik1as&Mil1er(1927)根据肥料报酬递减律导出二次多项式。 y=bo+b x+bax 式中b、b、b:为参数，b,表示不施肥时的产量，b确定开始阶段的产量增长趋势，b2表示 肥料效应的曲率程度及方向，b、b:的意义可用微分作如下说明： y=bo+b.x+b2x2 微分得：dy=b,dx+2bxd dy/dx=b+2bzx 边际产量曲线 11
养分资源管理课程讲义：第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 11 ii 典型的指数方程式 米氏方程中 X 为养分供应量，包括了土壤养分，不能直观表达施肥量的影响，为此， 克劳斯等提出了修正式，并称之为典型的指数方程式。 y=y0+d(1-10-cx) y0 为不施肥产量 d 最大增产量 k 效应系数 iii 斯皮尔曼(Spillman)方程式 y=A(1-R x ) y 为产量 A 为最高产量 R 为每增加一个单位养分(xi)引起的增产量与前一 个增施单位养分(xi－1)所引起的增产量之比。 当 x 表示施肥量，b 表示土壤的养分效应量时， y=A(1-R x+b) 或 y=M-ARx 式中，M 为最高产量，A 为施肥能得到的最大增产量。 ·指数方程式特征：①报酬递减 ②反映最高产量以前的效应 ·上述指数方程式都存在一个共同的缺点，即肥料用量没有超过最高产量施肥量，它 们不能反映总产量因施肥量增加而下降的那部分效应关系。 (3)多项式 任何函数至少在一个比较小的领域内可用多项式做近似表示，因此在条件较复杂时， 可首先试用多项式回归进行回归计算。在肥料效应函数中多项式的优点是：①可用最小二 乘法对它的参数进行方便的检验；②可以反映出最高产量及其以后的产量下降；③可以直 接反映施肥量与产量的关系，而不象多数指数式只适于表示养分供应量与产量的关系。 在肥料效应的多项式中又有二次式及其多种变换式之分。 i 二次方程式 Niklas & Miller (1927)根据肥料报酬递减律导出二次多项式。 y=b0+b1x+b2x 2 式中 b0、b1、b2 为参数，b0 表示不施肥时的产量，b1 确定开始阶段的产量增长趋势，b2 表示 肥料效应的曲率程度及方向，b1、b2 的意义可用微分作如下说明： y=b0+b1x+b2x 2 微分得：dy=b1dx+2b2xdx dy/dx=b1+2b2x 边际产量曲线
养分资源管理课程讲义：第二章养分资源管理的基本原理与基本方法 dy/dx=0时得最高产量，即b+2b2x=0x=-b/2b 此为最高产量的施肥量 将上式再次微分得dy/dx2=2b 它反应了边际产量曲线的情况，因而反应了肥料效应方程曲率的程度及方向： b2>0时，dy/dx2>0边际产量不断增加， 曲线是报酬递增型，产量随施肥量的增加而 不断提高，不出现最高产量点 b2<0时，dy/x2<0,曲线是报酬递减型，产量的增加有一个最高产量点 b,=0时，曲线为直线型的 典型的肥料效应曲线，当用二次式时，b>0b<0 ·特征：①报酬递减： ②包括了产量随施肥量增大至过量的下降的部分 ii变换式 平方根变换式y=b+bx2+bx 1.5次方变换式y=bobx+b2x (④)、两条或三条相交直线的效应方程式 其模式为y=bbX y'=b'+b‘x交点称为转折点 应用直线效应方程式估算最佳施肥量时不需进行复杂的运算，结果也更精确 2、两种及两种以上元素的肥料效应回归方程式 (1)米采利希方程式 y=A(1-10)(1-10）(1-10). 式中x、x'、x”.表示不同养分的量，C、C、C”.表示有关养分的效应系数，A 为同时满足x、x”及x”等诸养分的最高产量 (2)斯皮尔曼方程式 y=A(1-R)(1-R)(1-R） 式中A,R的含义均与单元效应式相同 a、b、c为施入的各种养分量 n、D、k为士壤中相应养分的效应量 12
养分资源管理课程讲义：第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 12 dy/dx=o 时得最高产量，即 b1+2b2x=0 x=-b1/2b2 此为最高产量的施肥量 将上式再次微分得 d 2 y/dx2 =2b2 它反应了边际产量曲线的情况，因而反应了肥料效应方程曲率的程度及方向： b2＞0 时， d 2 y/dx2＞0 边际产量不断增加， 曲线是报酬递增型, 产量随施肥量的增加而 不断提高，不出现最高产量点 b2＜0 时，d 2 y/dx2＜0，曲线是报酬递减型，产量的增加有一个最高产量点 b2=0 时，曲线为直线型的 典型的肥料效应曲线，当用二次式时，b1＞0 b2<0 ·特征：①报酬递减； ②包括了产量随施肥量增大至过量的下降的部分 ii 变换式 平方根变换式 y=b0+b1x 0.5+b2x 1.5 次方变换式 y=b0+b1x+b2x 1.5 (4)、两条或三条相交直线的效应方程式 其模式为 y=b0+b1x y’=b0’+b1’x 交点称为转折点 应用直线效应方程式估算最佳施肥量时不需进行复杂的运算，结果也更精确. 2、两种及两种以上元素的肥料效应回归方程式 （1）米采利希方程式 y=A(1-10-cx)(1-10-c’ x’)(1-10-c” x”). 式中 x、x′、x″.表示不同养分的量，C、C′、C″.表示有关养分的效应系数， A 为同时满足 x、x″及 x″等诸养分的最高产量 （2）斯皮尔曼方程式 y=A(1-R n+a)(1-R p+b)(1-R k+c) 式中 A，R 的含义均与单元效应式相同 a、b、c 为施入的各种养分量 n、p、k 为土壤中相应养分的效应量
养分资源管理课程讲义：第二章养分资源管理的恭本原理与基本方法 (3)二次多项式 1两元素的肥料效应二次方程式 当有两元素X、Z时，可有二种肥料效应，即X的主效应，Z的主效应及X、Z的交互 效应。 其数学模式一般写做： y=bo+bx+bax+baz+bz+bsxz 式中，bb为偏回归系数，其中b,b,为一次项主效应：ba,b为二次项主效应，代表 过量施肥产量下降的趋势：b为效互效应。 i三元素的肥料效应二次方程式 y=bo+b.x+b-x+baz+b2+b:u+bou+bzxz+b.xu+bzu iii二次多项式的各种变换 常用的变换式也是平方根变换式和1.5次方变换式，如下： y=bo+bz+bax+bz+bz+bx y=bo+bix+b2x+bz+bz+bsxz y=bo+bx+bzx+bz+bz+bu+bu+b (xz)+b (xu)+b (zu) y=b+bx+b2x+bz+b+bsu+bu+bxz+bxu+bzu 其特性和意义与一元时相同 3、多因素效应方程式的若干性质 (1)对多项式效应方程式回归系数的分析 在两元素共同作用时，其中一元素（如x)的参数决定于另一元素的值（如2=2）。自由 项(6')是相应元素恒定值(2i)的二次三项式，元素的一次主效应项的系数(6，')为第二元 素的简单线性函数，而表示元素作用曲率的系数6，')则与第二元素无关。 (2)肥料效应曲面 (3)边际产量 定义：增减单位肥料所引起的总产量的增减额 根据效应方程，可以求出任一肥料的边际产量，即y对x或z的一阶偏导数。 根据边际产量方程式可以求出经济最佳施肥量和最高产量施肥量。 (4)等产线 把肥料效应曲面上相同产量的点连接起来，可绘成该曲面的等高线，此等高线对于底 13
养分资源管理课程讲义：第二章 养分资源管理的基本原理与基本方法 13 （3）二次多项式 i 两元素的肥料效应二次方程式 当有两元素 X、Z 时，可有二种肥料效应，即 X 的主效应，Z 的主效应及 X、Z 的交互 效应。 其数学模式一般写做： y=b0+b1x+b2x 2 +b3z+b4z 2 +b5xz. 式中，b1.b5 为偏回归系数，其中 b1,b3 为一次项主效应；b2,b4 为二次项主效应，代表 过量施肥产量下降的趋势；b5 为效互效应。 ii 三元素的肥料效应二次方程式 y=b0+b1x+b2x 2 +b3z+b4z 2 +b5u+b6u 2 +b7xz+b8xu+b9zu iii 二次多项式的各种变换 常用的变换式也是平方根变换式和 1.5 次方变换式，如下： y=b0+b1z 0.5+b2x+b3z 0.5+b4z+b5x 0.5 z 0.5 y=b0+b1x+b2x 1.5+b3z+b4z 1.5+b5xz y=b0+b1x 0.5+b2x+b3z 0.5+b4z+b5u 0.5+b6u+b7(xz)0.5+b8(xu)0.5+b9(zu)0.5 y=b0+b1x+b2x 1.5+b3z+b4z 1.5+b5u+b6u 1.5+b7xz+b8xu+b9zu 其特性和意义与一元时相同 3、多因素效应方程式的若干性质 （1）对多项式效应方程式回归系数的分析 在两元素共同作用时，其中一元素(如 x)的参数决定于另一元素的值(如 z=zi)。自由 项(b0’)是相应元素恒定值(zi)的二次三项式，元素的一次主效应项的系数(b1’)为第二元 素的简单线性函数，而表示元素作用曲率的系数(b2’)则与第二元素无关。 （2）肥料效应曲面 （3）边际产量 定义：增减单位肥料所引起的总产量的增减额 根据效应方程，可以求出任一肥料的边际产量，即 y 对 x 或 z 的一阶偏导数。 根据边际产量方程式可以求出经济最佳施肥量和最高产量施肥量。 （4）等产线 把肥料效应曲面上相同产量的点连接起来，可绘成该曲面的等高线，此等高线对于底