5.机械产品模型理论及常用建模技术 5.1基本概念 工程问题是相当复杂的,涉及不同的物理系统、不同的领域,并且具有不同的 目标。为了正确设计、分析工程问题,我们首先必须对实际工程问题进行简化描述, 并利用已有的数学、物理等基本概念、原理和方法,描述工程问题。这个过程就是 系统建模,即建立描述工程问题的物理模型和数学模型 1.1什么是模型 在机械产品设计中,我们将要设计的产品利用图纸的形式表示,并制造出来 图纸就是实际产品的一个抽象,是在二维空间中对产品实体的描述,是产品的一种 图纸模型。我们利用CAD系统进行产品开发,CAD系统要产生实际图纸,在CAD 系统中,我们必须建立模型描述这些代表实际产品的图纸,CAD系统中的模型是计 算机内部模型,是计算机可以处理的对象。因此在计算机辅助机电产品设计中,存 在两类模型 1)外部模型描述设计者头脑中或现实中实际存在的对象。如一个零件的外部 模型是图纸表述的该零件的形状、技术参数要求等。在计算机辅助设计中 外部模型可以是一个实体对象,也可以指描述实体对象的图纸模型。 2)内部模型为了便于对所研究对象进行处理而在计算机内部建立的描述外 部模型的模型,这个模型表现为相关的数据结构和算法 在 CADICAM应用过程中,我们需要以计算机系统为辅助工具对所研究的对象的 某些特性进行分析处理,例如要求在计算机屏幕或其他外部设备上输出某个物体的 三维图像,并在计算机系统内对该物体进行网络分割、有限元分析等处理,这都需 要建立该物体的计算机内部模型。 5.1.2模型分类 在产品设计阶段,设计对象都是以模型的方式出现的,模型的种类很多,一般 可以分为三种,即概念模型、数学模型和物理模型 在设计初始阶段,设计者总是根据设计要求、目标和约束条件进行构思,形成 个初步的设计方案,它实际上是设计对象的一种高度概括,故称为概念模型
146 5．机械产品模型理论及常用建模技术 5．1 基本概念 工程问题是相当复杂的，涉及不同的物理系统、不同的领域，并且具有不同的 目标。为了正确设计、分析工程问题，我们首先必须对实际工程问题进行简化描述， 并利用已有的数学、物理等基本概念、原理和方法，描述工程问题。这个过程就是 系统建模，即建立描述工程问题的物理模型和数学模型。 5．1．1 什么是模型 在机械产品设计中，我们将要设计的产品利用图纸的形式表示，并制造出来。 图纸就是实际产品的一个抽象，是在二维空间中对产品实体的描述，是产品的一种 图纸模型。我们利用 CAD 系统进行产品开发，CAD 系统要产生实际图纸，在 CAD 系统中，我们必须建立模型描述这些代表实际产品的图纸，CAD 系统中的模型是计 算机内部模型，是计算机可以处理的对象。因此在计算机辅助机电产品设计中，存 在两类模型： 1） 外部模型 描述设计者头脑中或现实中实际存在的对象。如一个零件的外部 模型是图纸表述的该零件的形状、技术参数要求等。在计算机辅助设计中， 外部模型可以是一个实体对象，也可以指描述实体对象的图纸模型。 2） 内部模型 为了便于对所研究对象进行处理而在计算机内部建立的描述外 部模型的模型，这个模型表现为相关的数据结构和算法。 在 CAD/CAM 应用过程中，我们需要以计算机系统为辅助工具对所研究的对象的 某些特性进行分析处理，例如要求在计算机屏幕或其他外部设备上输出某个物体的 三维图像，并在计算机系统内对该物体进行网络分割、有限元分析等处理，这都需 要建立该物体的计算机内部模型。 5．1．2 模型分类 在产品设计阶段，设计对象都是以模型的方式出现的，模型的种类很多，一般 可以分为三种，即概念模型、数学模型和物理模型。 在设计初始阶段，设计者总是根据设计要求、目标和约束条件进行构思，形成 一个初步的设计方案，它实际上是设计对象的一种高度概括，故称为概念模型
数学模型是用数学符号和语言描述客观事物的一种模型,它反映了客观事物各 主要因素之间的内在联系。如以几何形体的方式来具体地描述,则就是几何模型 模型还可以根据其状态分为静态模型和动态模型。静态模型的数学描述中,没 有时间参数,所反映的特性是不随时间而变化的静态特性。而动态特性则相反,其 数学模型中有时间参数,所反映的特性则是随时间的变动而变化的动态特性。动态 模型能更全面、更正确的反映设计或研究对象的特征,是CAD的有效工具。 根据系统的参数和控制方程式的形式和性质的不同,向系统输入输出信号的物 理性质的不同,模型的分类如表5-1所示 5.2几何模型 如上所述,同一对象,针对不同的应用目的,可以建立各种不同的模型,对于 机械产品的 CAD/CAM来说,最重要的模型是几何模型。 几何模型是指用恰当的数据结构以计算机能理解和处理的形式,对所研究的物 体(零件、部件以至整台机器)的集合特性进行准确定义。这个模型要存储物体的 所有几何(包括形状大小等),它是三维的,其目的是供后继的分析、设计和制造各 个阶段使用。以下介绍几何造型的有关基础知识。 5.2.1几何造型中的基本概念 形体在计算机内部通常用五层拓朴结构来定义,如果包括外壳在内则为如图5.1 所示六层,并均定义在三维欧氏空间中。 形体边界( Bondary Object) 外壳( Shell) 表面( Surface) 面(Face) 环(L 曲线( Curve) 边(Fdge) 点( Point) 顶点 图5.1形体的拓扑结构 147
147 数学模型是用数学符号和语言描述客观事物的一种模型，它反映了客观事物各 主要因素之间的内在联系。如以几何形体的方式来具体地描述，则就是几何模型。 模型还可以根据其状态分为静态模型和动态模型。静态模型的数学描述中，没 有时间参数，所反映的特性是不随时间而变化的静态特性。而动态特性则相反，其 数学模型中有时间参数，所反映的特性则是随时间的变动而变化的动态特性。动态 模型能更全面、更正确的反映设计或研究对象的特征，是 CAD 的有效工具。 根据系统的参数和控制方程式的形式和性质的不同，向系统输入输出信号的物 理性质的不同，模型的分类如表 5-1 所示。 5．2 几何模型 如上所述，同一对象，针对不同的应用目的，可以建立各种不同的模型，对于 机械产品的 CAD/CAM 来说，最重要的模型是几何模型。 几何模型是指用恰当的数据结构以计算机能理解和处理的形式，对所研究的物 体（零件、部件以至整台机器）的集合特性进行准确定义。这个模型要存储物体的 所有几何（包括形状大小等），它是三维的，其目的是供后继的分析、设计和制造各 个阶段使用。以下介绍几何造型的有关基础知识。 5．2．1 几何造型中的基本概念 形体在计算机内部通常用五层拓朴结构来定义，如果包括外壳在内则为如图 5.1 所示六层，并均定义在三维欧氏空间中。 图 5.1 形体的拓扑结构
(1)体 体是由封闭表面围成的有效空间,一个形体是R3中非空、有界的封闭子集,其 边界是有限个面的并集,而外壳是形体的最大边界 (2)面 面是形体表面的一部分,且具有方向性,它由一个外环和若干个内环界定其有 效范围。面可以无内环,但必须有外环。面F是R3中非空、连续、共面且封闭的 子集,其边界是有限条线段的并集 (3)环 环是有序、有向边组成的面的封闭边界,环中各条边不能自交,相邻两条边共 享一个端点。环有内外环之分,确定面中内孔或凸台边界的环称为内环;确定面的 最大外边界的环为外环 (4)边 边是形体中两个相邻面的交界,一条边只能有两个相邻的面。一条边有两个端 点定界,分别称为该边的起点和终点 (5)点 点是边的端点,点不允许出现在边的内部,也不能孤立地存在于物体内、物体 外或面内。顶点则是面中两条不共线线段的交点。 (6)体素 体素是有限个尺寸参数定义的一个简单封闭空间,如圆锥、长方体、球、环等。 (7)边界 所有实际形体都可看成是三维区域R,其边界是一个封闭的表面。有些形体具 有边界斜率不连续性,这些不连续性构成了物体的边、顶点。任何区域R都可以用 完全在区域之中的点和在其边界上的全部点来定义。 (8)几何信息 描述上述元素的几何性质和度量关系的数据。 (9)拓朴信息 描述各元素之间的连接关系的数据 (10)布尔运算 布尔运算是一种正则集合运算,实体造型时通过布尔运算将一些基本体素组合 成复杂形体,能保证运算后所得结果是有意义的,可进一步参加布尔运算。 常用布尔运算有并、交、差、补等,布尔运算中的关键问题是表面求交及拓朴 信息的分类处理 (11)欧拉公式 148
148 (1) 体 体是由封闭表面围成的有效空间，一个形体是 R3 中非空、有界的封闭子集，其 边界是有限个面的并集，而外壳是形体的最大边界。 (2) 面 面是形体表面的一部分，且具有方向性，它由一个外环和若干个内环界定其有 效范围。面可以无内环，但必须有外环。面 F 是 R3 中非空、连续、共面且封闭的 子集，其边界是有限条线段的并集。 (3) 环 环是有序、有向边组成的面的封闭边界，环中各条边不能自交，相邻两条边共 享一个端点。环有内外环之分，确定面中内孔或凸台边界的环称为内环；确定面的 最大外边界的环为外环。 (4) 边 边是形体中两个相邻面的交界，一条边只能有两个相邻的面。一条边有两个端 点定界，分别称为该边的起点和终点。 (5) 点 点是边的端点，点不允许出现在边的内部，也不能孤立地存在于物体内、物体 外或面内。顶点则是面中两条不共线线段的交点。 (6) 体素 体素是有限个尺寸参数定义的一个简单封闭空间，如圆锥、长方体、球、环等。 (7) 边界 所有实际形体都可看成是三维区域 R 3，其边界是一个封闭的表面。有些形体具 有边界斜率不连续性，这些不连续性构成了物体的边、顶点。任何区域 R 都可以用 完全在区域之中的点和在其边界上的全部点来定义。 (8) 几何信息 描述上述元素的几何性质和度量关系的数据。 (9) 拓朴信息 描述各元素之间的连接关系的数据。 (10) 布尔运算 布尔运算是一种正则集合运算，实体造型时通过布尔运算将一些基本体素组合 成复杂形体，能保证运算后所得结果是有意义的，可进一步参加布尔运算。 常用布尔运算有并、交、差、补等，布尔运算中的关键问题是表面求交及拓朴 信息的分类处理。 (11) 欧拉公式
欧拉公式常用于检验几何造型中所产生的形体的合法性和一致性。对于多面体, 欧拉公式为 F+V-E=2+R-2H 式中,F、V、E分别表示面、顶点、边的数目,R为多面体表面不相连通的内 环数,H为通孔数。 (12)几何造型的要求 个形体是由点、边、面定义,在造型过程中,要求形体表面必须满足以下基 本条件:①封闭;②有向:③非自交;④有界:⑤连接 这是因为只有封闭表面才能保证平面立体的某些拓朴关系成立,每条边仅有两 个邻面和两个端点,这样才能保证围绕任一面的边数和顶点数相等,围绕任一顶点 的面数和边数相等 为了确定多面体表面是否有向,可给多面体的面环设定相同方向。从形体外看 表面环的方向是逆时针,则每条边有两个箭头,对应每个邻面的一个方向;若每条 边在每个环内的箭头只有一个,则该表面是有向的 除上述表面条件之外,形体还应满足刚性要求(即形体的形状与形体的位置、 方向无关)、三维一致性(即形体没有悬面、悬边及孤立边界)、有限的描述表示以 及边界确定等要求。 5.2.2几何造型中常用模型 几何造型技术经历了线框造型、表面造型、实体造型和特征造型等发展阶段, 其造型理论和方法不断得到充实和完善。下面介绍几何造型中常用的几种模型 1.线框模型( Wireframe model) 线框模型是利用对象形体的棱边和顶点来表示其几何形状的一种模型,它易于 理解,又是表面模型和实体模型的基础 若以图52的立方体为例,它是利用12条棱边、8个顶点来表示,数据呈框架 结构,计算机内部存贮的是顶点、线及其线间的拓朴关系 149
149 欧拉公式常用于检验几何造型中所产生的形体的合法性和一致性。对于多面体， 欧拉公式为： F + V - E= 2 + R - 2H 式中，F、V、E 分别表示面、顶点、边的数目，R 为多面体表面不相连通的内 环数，H 为通孔数。 (12) 几何造型的要求 一个形体是由点、边、面定义，在造型过程中，要求形体表面必须满足以下基 本条件；①封闭；②有向；③非自交；④有界；⑤连接。 这是因为只有封闭表面才能保证平面立体的某些拓朴关系成立，每条边仅有两 个邻面和两个端点，这样才能保证围绕任一面的边数和顶点数相等，围绕任一顶点 的面数和边数相等。 为了确定多面体表面是否有向，可给多面体的面环设定相同方向。从形体外看 表面环的方向是逆时针，则每条边有两个箭头，对应每个邻面的一个方向；若每条 边在每个环内的箭头只有一个，则该表面是有向的。 除上述表面条件之外，形体还应满足刚性要求（即形体的形状与形体的位置、 方向无关）、三维一致性（即形体没有悬面、悬边及孤立边界）、有限的描述表示以 及边界确定等要求。 5．2．2 几何造型中常用模型 几何造型技术经历了线框造型、表面造型、实体造型和特征造型等发展阶段， 其造型理论和方法不断得到充实和完善。下面介绍几何造型中常用的几种模型。 1．线框模型（Wireframe Model） 线框模型是利用对象形体的棱边和顶点来表示其几何形状的一种模型，它易于 理解，又是表面模型和实体模型的基础。 若以图 5.2 的立方体为例，它是利用 12 条棱边、8 个顶点来表示，数据呈框架 结构，计算机内部存贮的是顶点、线及其线间的拓朴关系
棱边顶点号 坐标值 顶点 E E EEEEEEBEE 图5.2线框模型数据结构 对于多面体,只要画出它的棱边与轮廓线,就能唯一地表示它,因而表示非常 简单,且容易识别。然而对于像圆筒或球那样的形体,只画出棱边,不画出轮廓线 就不能完整地表示这个形体,因而线框模型对于此类形体就显得不太自然 线模型的主要特点是结构简单,易于处理,其输入可通过键盘输入线段两端点 坐标来实现。线模型完全适用于从任何方向输出三视图和透视图等。 由于线模型是用棱边来代表形体的形状,因此,它只反映出三维形体的一部分 形状信息,难以用线模型输出物体的剖面图、消除隐藏线及画出两个面的交线或轮 廓线等 目前线框模型主要用于二维绘图或作为其他造型方法的一种辅助手段 2.表面模型( Surface Model 表面模型是在线框模型的基础上发展起来的。它把线框模型中棱线所包围的部 分定义成形体的表面,增加了面的有关信息及连接指针,然后利用形体表面的集合 来描述形体的形状。 若以图5.3的立方体为例,它是利用8个顶点来定义12条棱边,再由12条棱 边围成6个边界面,最后由这些边界面来定义封闭的形体空间。其数据结构呈树状, 表面编号表示第几个表面,表面特征反映该表面是平面或曲面。 150
150 图 5．2 线框模型数据结构 对于多面体，只要画出它的棱边与轮廓线，就能唯一地表示它，因而表示非常 简单，且容易识别。然而对于像圆筒或球那样的形体，只画出棱边，不画出轮廓线 就不能完整地表示这个形体，因而线框模型对于此类形体就显得不太自然。 线模型的主要特点是结构简单，易于处理，其输入可通过键盘输入线段两端点 坐标来实现。线模型完全适用于从任何方向输出三视图和透视图等。 由于线模型是用棱边来代表形体的形状，因此，它只反映出三维形体的一部分 形状信息，难以用线模型输出物体的剖面图、消除隐藏线及画出两个面的交线或轮 廓线等。 目前线框模型主要用于二维绘图或作为其他造型方法的一种辅助手段。 2．表面模型（Surface Model） 表面模型是在线框模型的基础上发展起来的。它把线框模型中棱线所包围的部 分定义成形体的表面，增加了面的有关信息及连接指针，然后利用形体表面的集合 来描述形体的形状。 若以图 5．3 的立方体为例，它是利用 8 个顶点来定义 12 条棱边，再由 12 条棱 边围成 6 个边界面，最后由这些边界面来定义封闭的形体空间。其数据结构呈树状， 表面编号表示第几个表面，表面特征反映该表面是平面或曲面