第四章扭转 基本概念 gn41扭转杆件在外力作用下,其横截面上,只有扭矩一个内力分量。这种受力形 式称为扭转。(Z书p44图3.(a)(b) 扭转 gn42扭矩图表示杆件各横截面上扭矩变化规律的图形。该图一般以杆件轴线为横 轴表示横截面位置,纵轴表示扭矩大小。并规定:任一横截面上的扭矩,其扭矩矢量(右螺 旋)与横截面外法线法向一致者为正,反之为负(补充图3) gn43翘曲杆件受外力作用发生变形,在变形前后其横截面将由平面变为曲面, 这种现象称截面翘曲。(L书p.114图3.18) mB=2KN m m4=5KN m 3KN. m c 2 翘曲和自由扭转 扭矩图 gn44自由扭转扭转时,各截面可 以自由翘曲,横截面上只有剪应力没有正应力的扭转。 (L书p14图3.18 gn45剪应力互等定理在微元体相互垂直的 两个平面上,剪应力必成对存在,且数值相等,方向 则共同指向或共同背离这两个平面的交线。(L书p94 图3.7(d)) gn46扭转刚度剪切模量与极惯性矩乘积,即 lp。Gl越大,扭转变形越小 密圈螺旋弹簧:一条螺旋弹簧,当螺旋角α<5 外力偶矩公式
1 第四章 扭转 基本概念 gn_4_1 扭转 杆件在外力作用下，其横截面上，只有扭矩一个内力分量。这种受力形 式称为扭转。(Z 书 p.44 图 3.1(a) (b)) gn_4_2 扭矩图 表示杆件各横截面上扭矩变化规律的图形。该图一般以杆件轴线为横 轴表示横截面位置，纵轴表示扭矩大小。并规定：任一横截面上的扭矩，其扭矩矢量（右螺 旋）与横截面外法线法向一致者为正，反之为负（补充图 3） gn_4_3 翘曲 杆件受外力作用发生变形，在变形前后其横截面将由平面变为曲面， 这种现象称截面翘曲。（L 书 p.114 图 3.18） gn_4_4 自由扭转 扭转时，各截面可 以自由翘曲，横截面上只有剪应力没有正应力的扭转。 （L 书 p.114 图 3.18） gn_4_5 剪应力互等定理 在微元体相互垂直的 两个平面上，剪应力必成对存在，且数值相等，方向 则共同指向或共同背离这两个平面的交线。（L书p.94 图 3.7（d）） gn_4_6 扭转刚度 剪切模量与极惯性矩乘积，即 GIp。GIp 越大，扭转变形越小。 密圈螺旋弹簧：一条螺旋弹簧，当螺旋角 5 扭转 扭矩图 翘曲和自由扭转 外力偶矩公式
时,簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内上,一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。 薄壁杆件:杆件的壁厚远小于横 截面的其他两个尺寸(高和宽)。若杆 h 件的截面中线是一条封闭的折线或曲 线,如图4-17,则称为开口薄壁杆件。 7 主要公式 gs4_1计算外力偶矩公式 (b) m=9549二(4—1) 图4-17簿壁杆件 式中N一一轴传递的功率,量纲为 K n—轴转速,量纲为r/min m的量纲为牛顿·米(N·m)。 gs42剪切胡克定律z=Gy(4-2) 式中G—一剪切弹性模量 y——剪应变。(L书图3.8(b) E gs4_3材料弹性常数之间关系G= 2(1+v) gs4_4剪切弹性应变能密度a=ry (4-4) g45圆轴扭转时横截面剪应力vp=P(4-5) 式中 横截面上待求剪应力的点到圆心的距 剪切胡克定律 T一一横截面上扭矩 l——橫截面对圆心的极惯性矩。(L书p.100图3.11将m换成T) T 846最大剪应力m∥(4-6 式中Wp一扭转截面系数 gs4_7极惯性矩和扭转截面系数 极惯性矩n=」p2d4(4-7) 圆轴扭转时横截面剪应力
2 时，簧丝的横截面与弹簧轴线在同一平面内上，一般将这种弹簧称为密圈螺旋弹簧。 薄壁杆件：杆件的壁厚远小于横 截面的其他两个尺寸（高和宽）。若杆 件的截面中线是一条封闭的折线或曲 线，如图 4-17，则称为开口薄壁杆件。 主要公式 gs_4_1 计算外力偶矩公式 n N m = 9549 （4—1） 式中 N——轴传递的功率，量纲为 KW； n——轴转速，量纲为 r/min; m 的量纲为牛顿·米（N·m）。 gs_4_2 剪切胡克定律 = G （4—2） 式中 G——剪切弹性模量； ——剪应变。（L 书图 3.8（b）） gs_4_3 材料弹性常数之间关系 2(1 + ) = E G （4—3） gs_4_4 剪切弹性应变能密度 G u 2 2 1 2 = = （4—4） gs_4_5 圆轴扭转时横截面剪应力 p I T = （4—5） 式中ρ — — 横 截 面 上 待 求 剪 应 力 的 点 到 圆 心 的 距 离； T——横截面上扭矩； Ip——横截面对圆心的极惯性矩。（L 书 p.100 图 3.11 将 m 换成 T） gs_4_6 最大剪应力 Wp T max = （4—6） 式中 Wp——扭转截面系数。 gs_4_7 极惯性矩和扭转截面系数 极惯性矩 I dA A p = 2 （4—7） 剪切胡克定律 圆轴扭转时横截面剪应力
扭转截面系数W max 对直径为d的实心圆柱,则 d4(4-9) tS W=zd3(4-10) Tod 对内外直径分别为d、D的圆环,则 兀 32(1-a4)(4-1) 极惯性矩和扭转截面系数 Wn=zD(1-a)(4-12) 式中a=(L书p.101图3.12) D g48圈轴扭转角中=d(4-13) 圆轴扭转角 式中φ—一距离为l的两个横截面之间的相对扭转 角 如果是直杆且两个截面间T值不变,则φ= (4-14) Gl 如果T、L分段连续,则中=2GD(4-15) 单位长度扭转角6= (radm)(4-16)(L书p94图3.7 (b)) gs49圆轴扭转强度与刚度设计 max st (4-17 6mnx≤|6](4-18) [τ]、[]为工程设计允许值。 gs4_10圆柱密圈弹簧刚度 Q (4-19) 64R3n 式中d——簧丝横截面直径 圆柱密圈弹簧内最大剪 R—一簧圈平均半径;R=D2 应力 n-—弹簧密绕圈数。(L书p.109图(a) 圆柱密圈弹簧刚度 将D换成2R)
3 扭转截面系数 max p p I W = （4—8） 对直径为 d 的实心圆柱，则 4 32 I p d = （4—9） 3 16 Wp d = （4—10） 对内外直径分别为 d、D 的圆环，则 (1 ) 32 ( ) 32 4 4 4 4 I p = D − d = D − （4—11） (1 ) 16 3 4 Wp = D − （4—12） 式中 D d = （L 书 p.101 图 3.12） gs_4_8 圆轴扭转角 dx GI I l p = 0 （4—13） 式中Ф——距离为 l 的两个横截面之间的相对扭转 角。 如果是直杆且两个截面间 T 值不变，则 GI p Tl = （4—14） 如果 T、Ip 分段连续，则 = = n i i pi i i G I T l 1 （4—15） 单位长度扭转角 GI p T = （rad/m） (4—16) （L 书 p.94 图 3.7 （b）） gs_4_9 圆轴扭转强度与刚度设计 [ ] max （4—17） [ ] max （4—18） [τ]、[θ]为工程设计允许值。 gs_4_10 圆柱密圈弹簧刚度 R n Gd C 3 4 64 = （4—19） 式中 d——簧丝横截面直径； R——簧圈平均半径；R=D/2 n——弹簧密绕圈数。（L 书 p.109 图（a）, 将 D 换成 2R）。 极惯性矩和扭转截面系数 圆轴扭转角 圆柱密圈弹簧刚度 圆柱密圈弹簧内最大剪 应力
16PR 4P 84圆柱密圈弹簧内最大剪应力mn-mf3"n(4-20) 式中P——沿弹簧轴线外载合力。(L书p109图(b)将D/2换成R,另将簧丝横截面 标出d) gs4_2矩形截面杆自由扭转的r T mux ahb (4-21) 式中h一截面长边尺寸 b一截面短边尺寸: a一一与截面长、短边尺寸比值有关的系数。(L书 p.116图3.22) 相对扭转角φ= (4-22) PHb 式中B一一与截面几何尺寸比值有关的系数 G一剪切弹性模量。(αβ系数见L书p.116表3.22) gs4_13开口薄壁杆件自由扭转的rm (4-23) 矩形截面杆自由扭转横截面 J1——薄壁杆件相当极惯性矩,对于狭长矩形组成的 上最大剪应力 截面或各类型钢, ,=72h1(424)n21为修正系数, h、6分别为狭长矩形的高度和宽度。(L书p.120 图3.26) gs4_14闭口薄壁杆件自由扭转 横截面上最大剪应力 max (4-25) 2A.8 开口薄壁杆件自由扭转横截面上最大剪 A—是闭口薄壁横截面中线所围面积 应力 δmi——薄壁横截面最薄处壁厚
4 gs_4_11 圆柱密圈弹簧内最大剪应力 max 3 2 16 4 d P d PR = + （4—20） 式中 P——沿弹簧轴线外载合力。（L 书 p.109 图（b）,将 D/2 换成 R，另将簧丝横截面 标出 d） gs_4_12 矩形截面杆自由扭转的 max max 2 hb T = （4—21） 式中 h——截面长边尺寸； b——截面短边尺寸； α——与截面长、短边尺寸比值有关的系数。（L 书 p.116 图 3.22） 相对扭转角 3 Ghb Tl = （4 —22） 式中β——与截面几何尺寸比值有关的系数； G——剪切弹性模量。（αβ系数见 L 书 p.116 表 3.22） gs_4_13 开口薄壁杆件自由扭转的 max t I T max max = (4—23) t I ——薄壁杆件相当极惯性矩，对于狭长矩形组成的 截面或各类型钢， 3 3 1 i t hi I = （4—24） 1 为修正系数， hi、δi 分别为狭长矩形的高度和宽度。（L 书 p.120 图 3.26） gs_4_14 闭口薄壁杆件自由扭转 横截面上最大剪应力 0 min max 2 A T = （4—25） A0 —是闭口薄壁横截面中线所围面积; δmin——薄壁横截面最薄处壁厚。 矩形截面杆自由扭转横截面 上最大剪应力 开口薄壁杆件自由扭转横截面上最大剪 应力
相对扭转角 (4-26) 4GA S8 6—一壁厚; d-—闭口薄壁杆截面中弧长增量。(F书p.282图10-20 (a)和p283图10-21(b)组合,并在图10-21(b)中标 出壁厚t) dF gs_4_15扭转时弹性应变能公式U= rdx (4-27) 闭口薄壁杆件自由扭转横 截面上最大剪应力 概念类 扭转、2扭矩图、3翘曲、4自由扭转、5剪应力互等定理、6扭转刚度7密圈螺旋 弹簧、8薄壁杆件 主要公式 1计算外力偶矩公式、2剪切胡克定律、3材料弹性常数之间关系、4剪切弹性应变能 密度、5圆轴扭转时横截面剪应力、6最大剪应力、7极惯性矩和扭转截面系数、8圆轴 扭转角、9圆轴扭转强度与刚度设计、10圆柱密圈弹簧刚度、11圆柱密圈弹簧内最大剪 应力、12矩形截面杆自由扭转的rm、13开口薄壁杆件自由扭转的rm、14闭口薄壁 杆件自由扭转、15扭转时弹性应变能公式
5 相对扭转角 = s ds GA Tl 2 4 0 （4—26） δ——壁厚； ds——闭口薄壁杆截面中弧长增量。（F 书 p.282 图 10-20 （a）和 p.283 图 10-21（b）组合，并在图 10-21（b）中标 出壁厚 t） gs_4_15 扭转时弹性应变能公式 = l GI p T dx U 2 2 （4—27） 概念类 1 扭转、2 扭矩图、3 翘曲、4 自由扭转、5 剪应力互等定理、6 扭转刚度 7.密圈螺旋 弹簧、8 薄壁杆件 主要公式 1 计算外力偶矩公式、2 剪切胡克定律、3 材料弹性常数之间关系、4 剪切弹性应变能 密度、5 圆轴扭转时横截面剪应力 、6 最大剪应力、7 极惯性矩和扭转截面系数、8 圆轴 扭转角 、9 圆轴扭转强度与刚度设计、10 圆柱密圈弹簧刚度、11 圆柱密圈弹簧内最大剪 应力、12 矩形截面杆自由扭转的 max 、 13 开口薄壁杆件自由扭转的 max 、14 闭口薄壁 杆件自由扭转、15 扭转时弹性应变能公式 闭口薄壁杆件自由扭转横 截面上最大剪应力