常见度量空间 >Hi念散敛的所有实数序列构成的 焦愈电m,个度量，(1H,P) 00 狂意演凤，庄度具宿别σ， 称为Hilbert空间.这单定义的姜量称 为H的通常度量，并且常常略而不提， 诞称Pe半间(x,-y,) =1 6
6 可以证明 是 H 的一个度量， 是一个度量空间．这个度量空间特别地 称为Hilbert空间．这里定义的度量 称 为 H 的通常度量，并且常常略而不提， 迳称H为Hilbert 空间． ( , ) H 常见度量空间 令平方收敛的所有实数序列构成的 集合为H，记 2 1 2 1 { ( , , )| , , } i i i H x x x x R i Z x + = = = 定义 ， 对任意 设 : H H R →1 2 1 2 x x x y y y = = ( , , ) , ( , , ) 2 1 ( , ) ( ) i i i x y x y = = − 定义 ， 对任意 设 : H H R →1 2 1 2 x x x y y y = = ( , , ) , ( , , ) 2 1 ( , ) ( ) i i i x y x y = = − ➢Hilbet空间
常见度量空间 >离散的度量空间 设(X,p)是一个度量空间，若对于每 一个x∈X,存在一个实数δ，>0使得 对于任何一个y∈X,y≠x,均有 p(x,y)>6 7
7 常见度量空间 ➢离散的度量空间 设 是一个度量空间，若对于每 一个 x∈X ，存在一个实数 使得 对于任何一个 ，均有 ( , ) X 0 x y X y x , ( , ) x x y ➢离散的度量空间 设 是一个度量空间，若对于每 一个 x∈X ，存在一个实数 使得 对于任何一个 ，均有 ( , ) X 0 x y X y x , ( , ) x x y
离散空间的例子 设X是一个非空集合，定义 p:X×X→R 使得对于任何xy∈X,有 if x=y fx≠y 则P是X的一个离散度量. 8
8 离散空间的例子 : X X R → 0 if ( , ) 1 if x y x y x y = = 设 X 是一个非空集合，定义 使得对于任何x,y∈X,有 则 是 X 的一个离散度量. : X X R → 0 if ( , ) 1 if x y x y x y = = 设 X 是一个非空集合，定义 使得对于任何x,y∈X,有 则 是 X 的一个离散度量
问题 ◆在非空集合X上定义度量的方 式是否唯一？ ◆想一想列才给出的离散度量空 间有什么性质？ 9
9 问 题 ◆在非空集合 X 上定义度量的方 式是否唯一？ ◆想一想刚才给出的离散度量空 间有什么性质？
定义2.1.1设(X,p是一个度量 空间，x∈X,对于任意给定的￡>0， 集合 {y∈X|p(x,y)<&} 称为一个以x中心，￡为半径的球形 邻域，记作B(x,&)orB(x) 10
10 定义2.1.1 设 是一个度量 空间，x∈X，对于任意给定的 , 集合 称为一个以 x 中心， 为半径的球形 邻域，记作 ( , ) X 0 { | ( , ) } y X x y B x or B x ( , ) ( ) 定义2.1.1 设 是一个度量 空间，x∈X，对于任意给定的 , 集合 称为一个以 x 中心， 为半径的球形 邻域，记作 ( , ) X 0 { | ( , ) } y X x y B x or B x ( , ) ( ) 定义2.1.1 设 是一个度量 空间，x∈X，对于任意给定的 , 集合 称为一个以 x 中心， 为半径的球形 邻域，记作 ( , ) X 0 { | ( , ) } y X x y B x or B x ( , ) ( )