当势场满足U(-x)=U(x)时,粒子的定态波函数具有确定的宇称。 27一粒子在一维势阱中 U0>0, > a U(x)= 0,≤a 运动,求束缚态(0<E<U0)的能级所满足的方程 解:粒子所满足的S-方程为 2a2(x)+U(x)(x)=Ev(x) 按势能U(x)的形式分区域的具体形式为 h2 d A dx2 y(x)+U(x)=Ey,(x) 0<X<a 2 Ⅱ:h2d2 (x)=Ev2(x) a≤x≤a 2u dx SAR I dx2V3(x)+Uov3 (x)=Ev3(x) a<x<0 整 I: i 2H(Uo-E h I:y 0 Ⅲlv-22-2v=0 方 令k2 2山(Uo-E) 2LE 则 I:W-k2v1=0⑦ k2v2=0 Ⅲ1:v?-kv1=0⑨ 各方程的解为 yI Be y2=Csin k,X+Dcosk,X 由波函数的有限性,有
当势场满足 U(−x) = U(x) 时，粒子的定态波函数具有确定的宇称。 # 2.7 一粒子在一维势阱中 = x a U x a U x 0, 0, ( ) 0 运动，求束缚态( 0 E U0 )的能级所满足的方程。 解：粒子所满足的 S-方程为 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 x U x x E x dx d − + = 按势能 U(x) 的形式分区域的具体形式为 Ⅰ： (x) U (x) E (x) dx d 2 2 1 0 1 1 2 2 − + = − x a ① Ⅱ： ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 x E x dx d − = − a x a ② Ⅲ： (x) U (x) E (x) dx d 2 2 3 0 3 3 2 2 − + = a x ③ 整理后，得 Ⅰ： 0 2 ( ) 2 1 0 1 = − − U E ④ Ⅱ：. 0 2 E 2 + 2 2 = ⑤ Ⅲ： 0 2 ( ) 2 3 0 3 = − − U E ⑥ 令 2 2 2 2 2 0 1 2 2 ( ) E k U E k = − = 则 Ⅰ： 1 0 2 1 − k1 = ⑦ Ⅱ：. 2 0 2 2 − k2 = ⑧ Ⅲ： 1 0 2 3 − k1 = ⑨ 各方程的解为 k x k x 3 2 2 2 k x k x 1 1 1 1 1 Ee Fe Csin k x Dcos k x Ae Be + − − = + = + = + 由波函数的有限性，有
)有限 A=0 (∞)有限 因此 yI y3 由波函数的连续性,有 v,(a)=v2(-a),= Be-=-Csin k,a+Dcosk2a vi(a)=v2(a), =k,- =k, Ccos k,a+,Dsn k, a (11) w2(a)=v3(a),= Csin k, a+Dcos k, a=Fe-k a v2(a)=v3(a,→k2 Ccos k 2a-k, Dsin k,a=-k, Fe *d(13) 整理(10)、(11)、(12)、(13)式,并合并成方程组,得 e-IB+sn k aC-cosk aD+0=0 2aD+0=0 0+sin k,aC +cosk2ad-eF=0 0+k, cosk,aC-k, sin k, aD+k,e-F=0 解此方程即可得出B、C、D、F,进而得出波函数的具体形式,要方程组 有非零解,必须 k,a k cos k k sin k n k 2a k,a k, sin k,a k, Be k cos k k sin k a 0 sin ka k k. cos k sin k cos ka 0 k,e k、 sin ka k,e-ka e-l[k, k,e-I cos k,a+ke- sin k, a cos k,a+ +k,k,e-k sin k,a+k2e-ka sin k, a cosk, a] e s2 ka+ sin k.acoska-k_e-k sin 2k e[-2k,k, cos 2k, a +k2 sin 2k,a-k sin 2k2a e-R(k,-kisin 2k, a-2k,, cos 2k, a
( ) 0 ( ) 0 3 1 = − = E A 有限 有限 因此 k x 3 k x 1 1 1 Fe Be − = = 由波函数的连续性，有 (a) (a), k Ccos k a k Dsin k a k Fe (13) (a) (a), Csin k a Dcos k a Fe (12) ( a) ( a), k Be k Ccos k a k Dsin k a (11) ( a) ( a), Be Csin k a Dcos k a (10) k a 2 3 2 2 2 2 1 k a 2 3 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 1 2 2 k a 1 2 1 1 1 1 − − − − = − = − = + = − = − = + − = − = − + 整理(10)、(11)、(12)、(13)式，并合并成方程组，得 0 k cos k aC k sin k aD k e F 0 0 sin k aC cos k aD e F 0 k e B k cos k aC k sin k a D 0 0 e B sin k aC cos k aD 0 0 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 2 k a 1 1 1 1 + − + = + + − = − − + = + − + = − − − − 解此方程即可得出 B、C、D、F，进而得出波函数的具体形式，要方程组 有非零解，必须 0 0 k cos k a k sin k a k Be 0 sin k a cos k a e k e k cos k a k sin k a 0 e sin k a cos k a 0 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 2 2 k a 1 1 1 1 = − − − − − − − − e [(k k )sin 2k a 2k k cos 2k a] e [ 2k k cos 2k a k sin 2k a k sin 2k a] k e sin k a cos k a k e sin k a] k e [k e sin k a cos k a k e cos k a k k e sin k a k e sin k a cos k a] e [ k k e cos k a k e sin k a cos k a k cos k a k sin k a k e sin k a cos k a e sin k a cos k a 0 k e k cos k a k sin k a k e sin k a cos k a e k cos k a k sin k a 0 0 e 2 1 2 2 2 1 2 2 2k a 2 2 2 1 2 1 2 2 2 2k a 2 k a 2 2 2 2 k a 1 2 k a 2 2 2 2 k a 1 k a 1 2 2 2 k a 2 2 k a 2 1 2 2 2 2 k a 2 2 k a 2 1 2 k a k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 k a 1 k a 2 2 2 2 1 k a 2 2 2 2 2 2 k a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − − = − + − + − − + + + + − = − + + = − − − − − − − − − = − − − − − − − − − − − − − − − − − −