免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 16.2由边的数量关系识别直角三角形 〖教学目标〗 (一)知识目标 1.会用边长的平方等等量关系来识别一个三角形是直角三角形 2.知道什么叫勾股数,记住一些常见的勾股数 (二)能力目标 1.经历由边的数量关系识别直角三角形的探索过程,提高合情推理和试验验证的能 2.通过勾股定理与其逆定理的比较,提高学生的辨析能力 (三)情感目标 1.在有关活动中发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯。 2.提高由已知数学知识探究与获取新的数学知识的能力,并从中增强学习数学的兴 〖教学重点〗 探索并掌握直角三角形的判别条件.准确 〖教学难点〗 运用直角三角形判别条件解题时(即在用勾股定理的逆定理时),分不清哪一条边 作斜边,因此在用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时而出错;另外,在解决有关综合问 题时,要将给的边的数量关系经过代数变化,最后达到一个目标式,这种“转化”对学生来 讲也是一个困难的地方 〖教学过程〗 课前布置 1.自学:阅读课本P83P84,试着做一做本节练习,提出在自学中发现的问题(鼓 励提问) 2.查阅有关“勾股数”的有关资料 二、师生互动 (一)一起交流课本P83的“一起探究”与例题 1.你用12根火柴棒,任意摆出一个三角形,能摆出几种三角形? 学生动手操作,共摆出3种,边长分别是:2,5,5;3,4,5:;4,4,4 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 16.2 由边的数量关系识别直角三角形 〖教学目标〗 （－）知识目标 1.会用边长的平方等等量关系来识别一个三角形是直角三角形. 2. 知道什么叫勾股数，记住一些常见的勾股数. （二）能力目标 1.经历由边的数量关系识别直角三角形的探索过程，提高合情推理和试验验证的能 力. 2. 通过勾股定理与其逆定理的比较，提高学生的辨析能力. （三）情感目标 1.在有关活动中发展学生的合情推理意识、主动探究的习惯。 2.提高由已知数学知识探究与获取新的数学知识的能力，并从中增强学习数学的兴 趣 〖教学重点〗 探索并掌握直角三角形的判别条件.准确 〖教学难点〗 运用直角三角形判别条件解题时（即在用勾股定理的逆定理时），分不清哪一条边 作斜边，因此在用勾股定理的逆定理判断三角形的形状时而出错；另外，在解决有关综合问 题时，要将给的边的数量关系经过代数变化，最后达到一个目标式，这种“转化”对学生来 讲也是一个困难的地方． 〖教学过程〗 一、课前布置 1.自学：阅读课本 P83~P84，试着做一做本节练习，提出在自学中发现的问题（鼓 励提问）. 2.查阅有关“勾股数”的有关资料 二、师生互动 （一）一起交流课本 P83 的“一起探究”与例题 1.你用 12 根火柴棒，任意摆出一个三角形，能摆出几种三角形？ 学生动手操作，共摆出 3 种，边长分别是：2，5，5；3，4，5；4，4，4
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 思考:如果火柴的长度为1,那么 (1)图中哪个三角形的三边具有“两边的平方和等于第三边的平方”的关系? (2)其中哪个三角形是直角三角形? (3)请你用量角器进行度量,验证你的判断。 2.小活动: (1)画一个三角形,使它的边长分别为5cm,12cm,13cm (2)边长5,12,13之间有怎样的关系?(532+12=132) (3)用量角器度量这个三角形内角,它是什么三角形?(直角三角形) 思考:通过以上我们的试验,我们可否知道怎样由边的关系识别一个三角形为直角 三角形呢? 结论:如果三角形的三边长a、b、c满足a+b2=c2,那么这个三角形是直角三角 形 满足a+b2=c2的三个正整数,称为勾股数。如3,4,5:5,12,13 练习 1.已知a、b、c是△ABC的三边 (1)a=0.3,b=0.4,c=0.5:(2)a=4,b=5,c=6 (3)a=7,b=24,c=25 (4)a=15,b=20,c=25 上述四个三角形中,直角三角形有()个 2.有六根细木棒,它们的长度分别是2、4、6、8、10、12(单位:cm),从中取出三根首 尾顺次连结搭成一个直角三角形,则这三根细木棒的长度分别为 A.2、4、8 B.4、8、10 C.6、8、10 D 解:1.C:2.C 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 思考：如果火柴的长度为 1，那么 （1）图中哪个三角形的三边具有“两边的平方和等于第三边的平方”的关系？ （2）其中哪个三角形是直角三角形？ （3）请你用量角器进行度量，验证你的判断。 2．小活动： （1）画一个三角形，使它的边长分别为 5cm，12cm，13cm。 （2）边长 5，12，13 之间有怎样的关系？（ 2 2 2 5 12 13 + = ） （3）用量角器度量这个三角形内角，它是什么三角形？（直角三角形） 思考：通过以上我们的试验，我们可否知道怎样由边的关系识别一个三角形为直角 三角形呢？ 结论：如果三角形的三边长 a、b、c 满足 a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角 形。 满足 a 2＋b 2＝c 2 的三个正整数，称为勾股数。如 3，4，5；5，12，13 练习 1．已知 a、b、c 是△ABC 的三边， （1）a＝0.3，b＝0.4，c＝0.5； （2）a＝4，b＝5，c＝6； （3）a＝7，b＝24，c＝25； （4）a＝15，b＝20，c＝25． 上述四个三角形中，直角三角形有( )个． A．1 B．2 C．3 D．4 2. 有六根细木棒，它们的长度分别是 2、4、6、8、10、12（单位：cm），从中取出三根首 尾顺次连结搭成一个直角三角形，则这三根细木棒的长度分别为（ ） A. 2、4、8 B. 4、8、10 C. 6、8、10 D. 8、10、12 解：1. C； 2. C
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 3.赏析有关“勾股数”的数学典故 满足勾股定理的数组称为勾股数(或商高数)。在西方,人们把这个定理的发现与证 明归功于古希腊的毕达哥拉斯,因而称之为毕达哥拉斯定理,满足定理的数组也就称为毕达 哥拉斯数 但是1945年,人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥板的研究中,惊讶地发现上 面竟然刻有15组勾股数,其年代远在商高和毕达哥拉斯之前,大约在公元前1900年到公元 前1600年之间。这些勾股数组中有些是很大的数,即使在今天也往往是人们所熟悉的。 序号 勾股数组 l69 6.3367.4825 G619 127o9 18541 1249 41 4961, 8161 679, 2929 161 289 3229 这个数表使人们有理由相信,古巴伦人早己掌握了勾股定理并很可能找到了一种求 得勾股数的一般方法,只不过人们还不能从其他的泥板中找出更多的证据来证明这一点。 毕达哥拉斯学派倒是明确地给出了勾股数的一组公式: b=(m2-1)(m为正奇数) c=1(m2+1) 后来,另一个古希腊学者柏拉图( Plato,约前427前347)也给出了类似的式子。 被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图( Diophantus,约246330)也在研究 二次不定方程的时候,对勾股数作了一番探讨。他发现不论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子, 都没能给出全部勾股数组,于是他找到了一个新方法:如果m、n是两个正整数,且2m是 完全平方数,则 b=n+√2mn c=m+n+√2ma 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 3.赏析有关“勾股数”的数学典故 满足勾股定理的数组称为勾股数（或商高数）。在西方，人们把这个定理的发现与证 明归功于古希腊的毕达哥拉斯，因而称之为毕达哥拉斯定理，满足定理的数组也就称为毕达 哥拉斯数。 但是 1945 年，人们在对古巴比伦人遗留下的一块数学泥板的研究中，惊讶地发现上 面竟然刻有 15 组勾股数，其年代远在商高和毕达哥拉斯之前，大约在公元前 1900 年到公元 前 l600 年之间。这些勾股数组中有些是很大的数，即使在今天也往往是人们所熟悉的。 这个数表使人们有理由相信，古巴伦人早已掌握了勾股定理并很可能找到了一种求 得勾股数的一般方法，只不过人们还不能从其他的泥板中找出更多的证据来证明这一点。 毕达哥拉斯学派倒是明确地给出了勾股数的一组公式： 后来，另一个古希腊学者柏拉图（Plato,约前 427~前 347）也给出了类似的式子。 被誉为“代数学鼻祖”的古希腊数学家丢番图（Diophantus,约 246~330）也在研究 二次不定方程的时候，对勾股数作了一番探讨。他发现不论是毕达哥拉斯还是柏拉图的式子， 都没能给出全部勾股数组，于是他找到了一个新方法：如果 m、n 是两个正整数，且 2mn 是 完全平方数，则
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 是一级勾股数。 丢番图究竟是如何得到这组式子的,人们今天已经无从知晓。重要的是,这组式子 包含了全部的勾股数组! 值得一提的是,在早于丢氏三、四百年的我国古代数学巨著《九章算术》中,也提 出了一组求勾股数的式子,这组式子相当于 b=mn(m、n为同奇偶的正数且m>n 图1 与丢番图同时代的中国数学家刘徽在对这部古算书的注释本中用几何的方法对这组 公式进行了严格的论证。这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达形式之一。 4.P84例题:如图,是一个机器零件示意图,∠ACD=90°是这种零件合格的一项指 标。现测得AB=4cm,BC=3cm,CD=12cm,AD=13cm,∠ABC=90°,根据这些条件,能否知道 ∠ACD等于90°? 注意表达的格式 (二)鼓励学生讲解教师提供的例题.(例题的设置是分层的,安排不同基础的学生 尝试讲解,教师予以补充) 例1如图,在△ABC中,AB=13,BC=10,BC边上的中线AD=12.4 你能说明AB=AC吗? 分析:此题给定的是三角形三边的长度,看能否由边长的平方 解压密码联系q19356加微信公号 Jiaoxuewuyou
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 是一级勾股数。 丢番图究竟是如何得到这组式子的，人们今天已经无从知晓。重要的是，这组式子 包含了全部的勾股数组！ 值得一提的是，在早于丢氏三、四百年的我国古代数学巨著《九章算术》中，也提 出了一组求勾股数的式子，这组式子相当于： 与丢番图同时代的中国数学家刘徽在对这部古算书的注释本中用几何的方法对这组 公式进行了严格的论证。这是迄今为止用于勾股数的最完美的表达形式之一。 4. P84 例题：如图，是一个机器零件示意图，∠ACD=90°是这种零件合格的一项指 标。现测得 AB=4cm，BC=3cm，CD=12cm，AD=13cm，∠ABC=90°，根据这些条件，能否知道 ∠ACD 等于 90°？ C D A B 注意表达的格式. （二）鼓励学生讲解教师提供的例题.（例题的设置是分层的，安排不同基础的学生 尝试讲解，教师予以补充） 例 1 如图，在△ABC 中，AB＝13，BC＝10，BC 边上的中线 AD＝12． 你能说明 AB＝AC 吗？ 分析：此题给定的是三角形三边的长度，看能否由边长的平方
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 的等量关系得出一个三角形是直角三角形从而找到解决问题的突破口 解:因为AD是BC边上的中线 所以BD=2BC.所以BD=5 在△ABD中:AB=13,BC=10,BD=5. 又因为BD2+AD2=52+122=169 而AB2=16 所以BD2+AD2=AB2 由勾股定理之逆定理得:△ABD是直角三角形 所以AD⊥BC.由此得到△ABD≌△ACD,所以AB=AC 例2.已知如图,四边形ABD各边长为AB=3,BC=4,CD=12,AD=13且AB⊥BC.求 四边形ABCD的面积 分析:此四边形不是我们学过的特殊四边形,因此不能利用面积公式直接解答;而 此题关键是对角线AC正好把四边形分成两个三角形.因此从给定三边关系看能否判定两个 三角形是直角三角形 解:因为AB⊥BC,所以△ABC为Rt△,由勾股定理得:AB+BC2=AC2 所以AC2=32+42=25所以AC=5 在△ACD中,AC=5,CD=12,AD=13 且AC2+CD=52+12=25+144=169 而AD=132=169 所以AC2+C=A,所以△ACD也是直角三角形,所以AC⊥CD于C 所以S△=AB·BC=-×3×4=6 AC·C=-×5×12=30 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 的等量关系得出一个三角形是直角三角形从而找到解决问题的突破口. 解：因为 AD 是 BC 边上的中线， 所以 BD＝ 1 2 BC．所以 BD＝5． 在△ABD 中： AB＝13，BC＝10，BD＝5． 又因为 BD2＋AD2＝52＋122＝169 而 AB2＝169， 所以 BD2＋AD2＝AB2 由勾股定理之逆定理得：△ABD 是直角三角形． 所以 AD⊥BC．由此得到△ABD≌△ACD，所以 AB＝AC． 例 2. 已知如图，四边形 ABCD 各边长为 AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13 且 AB⊥BC．求 四边形 ABCD 的面积． 分析：此四边形不是我们学过的特殊四边形，因此不能利用面积公式直接解答；而 此题关键是对角线 AC 正好把四边形分成两个三角形．因此从给定三边关系看能否判定两个 三角形是直角三角形． 解：因为 AB⊥BC，所以△ABC 为 Rt△，由勾股定理得：AB 2＋BC 2＝AC 2 所以 AC 2＝3 2＋4 2＝25 所以 AC＝5 在△ACD 中，AC＝5，CD＝12，AD＝13 且 AC 2＋CD 2＝5 2＋122＝25＋144＝169 而 AD 2＝132＝169 所以 AC 2＋CD 2＝AD 2，所以△ACD 也是直角三角形，所以 AC⊥CD 于 C 所以 S△ACB＝ 1 2 AB·BC＝ 1 2 ×3×4＝6 S△ACD＝ 1 2 AC·CD＝ 1 2 ×5×12＝30