第15卷第4期 智能系统学报 Vol.15 No.4 2020年7月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jul.2020 D0:10.11992tis.201908027 含时延约束的多智能体系统二分一致性 冀秀坤，谢广明2，文家燕'，罗文广 (1.广西科技大学电气与信息工程学院，广西柳州5450062.北京大学工学院，北京100871) 摘要：针对多智能体系统中信息交互存在通信时延这一约束，在无向符号图拓扑结构下分别研究了含固定时 延和时变时延的一阶多智能体系统二分一致性问题。通过设计相应的控制协议，使得该系统收敛到两个模值 相同但符号不同的状态。在稳定性分析中，利用广义Nyquist准则的方法，得到含固定时延多智能体系统实现 二分一致性的充分条件；对含时变时延系统构造包含三重积分项的Lyapunov函数，利用积分不等式和线性矩 阵不等式理论，并结合自由矩阵的方法得到含时变时延多智能体系统实现二分一致性的充分条件。最后，数值 仿真验证了所得结论的有效性和正确性。 关键词：多智能体系统：无向图；二分一致性：固定时延：时变时延；yquist准则：线性矩阵不等式；自由矩阵 中图分类号：TP273文献标志码：A文章编号：1673-4785(2020)04-0780-07 中文引用格式：冀秀坤，谢广明，文家燕，等.含时延约束的多智能体系统二分一致性{J引.智能系统学报，2020,15(4)： 780-786. 英文引用格式：JIXiukun,XIE Guangming,WEN Jiayan,.ctal.Bipartite consensus for multi-agent systems subject to time delays J CAAI transactions on intelligent systems,2020,15(4):780-786. Bipartite consensus for multi-agent systems subject to time delays JI Xiukun',XIE Guangming,WEN Jiayan',LUO Wenguang (1.School of Electrical and Information Engineering,Guangxi University of Science and Technology,Liuzhou 545006,China; 2.College of Engineering,Peking University,Beijing 100871,China) Abstract:The aim of this paper is to consider the practical constraint of interaction network associated with multi-agent systems (MASs)subject to communication delay,the bipartite consensus seeking is investigated for the first-order MASs with fixed time-delays and time-varying delays over an undirected signed graph,respectively.To solve the con- cerned problems,the corresponding algorithms oriented for fixed time-delays or time-varying counterpart are proposed. In other words,the consensus is achieved within each subgroup during evolution,in which the state of each subgroup will converge to the same modulus but different symbol.Sufficient condition of bipartite consensus for the interaction network of MASs suffered from fixed time-delays can be obtained by the use of the generalized Nyquist criterion;Fur- thermore,based on the tools of integral inequality and linear matrix inequality,the sufficient condition for the case of bi- partite consensus for the interaction network of MASs with time-varying delays also can be derived through construct- ing a reasonable Lyapunov function with triple integral term.Numerical simulations are provided that demonstrate the effectiveness of our theoretical results. Keywords:multi-agent systems;undirected graph;bipartite consensus,fixed-time delays,time-varying delays,Nyquist criterion;linear matrix inequality;free matrix 收稿日期：2019-08-23. 自然界里存在着许多生物聚集的现象，比如 基金项目：国家自然科学基金项目(61963006,61973007 61633002,61563006):广西省自然科学基金项目 候鸟迁徙、鱼群逆流、蚁群迁徙等，通过对自然界 (2018 GXNSFAA050029.2018 GXNSFAA294085):广酉 自动检测技术与仪器重点实验室基金项目 各种群集现象的研究以及对现有的网络模型结构 (YQ20208). 通信作者：文家燕.E-mail:wenjiayan20I5@pku.edu.cn. 的理解，学者们提出了多智能体系统(multi-agent
DOI: 10.11992/tis.201908027 含时延约束的多智能体系统二分一致性 冀秀坤1 ，谢广明1,2，文家燕1 ，罗文广1 （1. 广西科技大学 电气与信息工程学院，广西 柳州 545006; 2. 北京大学 工学院，北京 100871） 摘 要：针对多智能体系统中信息交互存在通信时延这一约束，在无向符号图拓扑结构下分别研究了含固定时 延和时变时延的一阶多智能体系统二分一致性问题。通过设计相应的控制协议，使得该系统收敛到两个模值 相同但符号不同的状态。在稳定性分析中，利用广义 Nyquist 准则的方法，得到含固定时延多智能体系统实现 二分一致性的充分条件；对含时变时延系统构造包含三重积分项的 Lyapunov 函数，利用积分不等式和线性矩 阵不等式理论，并结合自由矩阵的方法得到含时变时延多智能体系统实现二分一致性的充分条件。最后，数值 仿真验证了所得结论的有效性和正确性。 关键词：多智能体系统；无向图；二分一致性；固定时延；时变时延；Nyquist 准则；线性矩阵不等式；自由矩阵 中图分类号：TP273 文献标志码：A 文章编号：1673−4785(2020)04−0780−07 中文引用格式：冀秀坤, 谢广明, 文家燕, 等. 含时延约束的多智能体系统二分一致性 [J]. 智能系统学报, 2020, 15(4): 780–786. 英文引用格式：JI Xiukun, XIE Guangming, WEN Jiayan, et al. Bipartite consensus for multi-agent systems subject to time delays[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2020, 15(4): 780–786. Bipartite consensus for multi-agent systems subject to time delays JI Xiukun1 ，XIE Guangming1,2 ，WEN Jiayan1 ，LUO Wenguang1 (1. School of Electrical and Information Engineering, Guangxi University of Science and Technology, Liuzhou 545006, China; 2. College of Engineering, Peking University, Beijing 100871, China) Abstract: The aim of this paper is to consider the practical constraint of interaction network associated with multi-agent systems (MASs) subject to communication delay, the bipartite consensus seeking is investigated for the first-order MASs with fixed time-delays and time-varying delays over an undirected signed graph, respectively. To solve the concerned problems, the corresponding algorithms oriented for fixed time-delays or time-varying counterpart are proposed. In other words, the consensus is achieved within each subgroup during evolution, in which the state of each subgroup will converge to the same modulus but different symbol. Sufficient condition of bipartite consensus for the interaction network of MASs suffered from fixed time-delays can be obtained by the use of the generalized Nyquist criterion; Furthermore, based on the tools of integral inequality and linear matrix inequality, the sufficient condition for the case of bipartite consensus for the interaction network of MASs with time-varying delays also can be derived through constructing a reasonable Lyapunov function with triple integral term. Numerical simulations are provided that demonstrate the effectiveness of our theoretical results. Keywords: multi-agent systems; undirected graph; bipartite consensus; fixed-time delays; time-varying delays; Nyquist criterion; linear matrix inequality; free matrix 自然界里存在着许多生物聚集的现象，比如 候鸟迁徙、鱼群逆流、蚁群迁徙等，通过对自然界 各种群集现象的研究以及对现有的网络模型结构 的理解，学者们提出了多智能体系统 (multi-agent 收稿日期：2019−08−23. 基金项目：国家自然科学基金项 目 (61963006， 61973007， 61633002， 61563006);广西省自然科学基金项目 (2018GXNSFAA050029，2018GXNSFAA294085);广西 自动检测技术与仪器重点实验室基金项 目 (YQ20208). 通信作者：文家燕. E-mail：wenjiayan2015@pku.edu.cn. 第 15 卷第 4 期 智 能 系 统 学 报 Vol.15 No.4 2020 年 7 月 CAAI Transactions on Intelligent Systems Jul. 2020
第4期 冀秀坤，等：含时延约束的多智能体系统二分一致性 ·781· systems,,MAS)的概念"。多智能体系统中各智能 统实现二分一致性的充分条件。 体间相互协同合作的基础就是一致性问题；文 文中R表示一个实数，R表示一个n×n的 献2]给出了多智能体系统一致性问题的系统基 实数矩阵，x”表示一个n维实数向量，I∈Rmxm为n 础结构，同时对一致性问题提出了标准化的数学 阶单位阵；1n表示向量[11…1]∈R,0n表示向 表达。 量[00…0]eR;diag{d12…n}表示n阶对角阵。 在多智能体系统实际应用中，为解决如机器 人的避障问题、两组无人机在保持其编队的同时 1预备知识 向相反方向飞行问题等。文献[3]研究了存在敌 1.1图论与数学基础 对关系的多智能体系统的一致性问题，提出了二 考虑权重符号图，用三元组G=(V,E,A)来表 分一致性的概念，其中将智能体划分为两个不同 示；其中V={,2,…,yn}表示由一组节点组成的 的集合，这两个集合中的智能体分别收敛到两个 集合，EsV×V表示边的集合，节点的下标集合 大小相同但符号相反的期望值并保持一致。文 N=l,2,…,n,同时A=[a∈R是带权重的符 献[4]分析给出了存在敌对关系的含常数时滞多 号图G所对应的邻接矩阵，表示权重。如果智 智能体系统达到二分一致性的充分必要条件，证 能体i和智能体j之间存在信息交互，对应邻接 明了具有无向拓扑结构的多智能体系统可行的最 矩阵A中的元素a非零。边集可以表示为E= 大时滞仅仅和拉普拉斯矩阵的最大特征值有关。 EUE,E和E分别为边集合中的正边集合和 此外，文献[5-8]在多智能系统二分一致性方面也 负边集合，即E={位，a>0}和E={,)a<0。 做了重要研究。在智能体系统应用中，由于通信 若a≠0，称节点，为节点的邻居，节点y的所 设备发展水平限制各个体之间客观存在通信时 有邻居组成的集合称节点的邻集，记该集合为 延，这一问题严重地影响系统的稳定性。因此， N,即N=UeVI(i,)∈E,i≠j}。带权重符号图的 研究含通信时延的多智能体系统的稳定性在实际 邻接矩阵A=[a∈Rmw,其中元素定义为： 工程中有着至关重要的意义。文献[9-10]通过对 系统进行了频域的分析，同时还利用线性矩阵不 -{共格eE 等式的定理给出了系统在所提出的控制协议中， 本文不考虑带自环的图，即aa=0,i=1,2,…, 允许的时滞上界。文献[11-12]中分别给出了具 n。节点到节点y;的一组边用路径{(v,,), 有常数时延的二阶多智能体系统达成一致的充分 (%),…,(,)}来表示，其中吃是不同的节 必要条件。文献[13]利用线性矩阵不等式理论， 点，m=1,2,…,P,i≠j。如果任意两个节点都存在 对通信时延为常数的二阶多智能体系统给出实现 路径，则无向符号图G是连通的。 一致性收敛的充分条件。对于一般时延线性系 考虑正负混合连接权重矩阵A,若令矩阵 统，文献[14]研究了一种基于观测器的多智能体 L=C-A=[∈Rmw表示无向符号图G的拉普拉 系统控制策略，利用系统转换方法，建立了多智 斯矩阵，则其元素可定义为 能体系统一致性的等价条件。文献[15-16]通过 >ai.j=i 适当的线性变换，证明了含时变时延的离散线性 jEN j≠i 多智能体系统的一致性理论。文献[17-18]针对 通信资源受限的情况，设计分析分布式异步控制 其中C=diag 为图G 算法，解决了结构不平衡有向图中多智能体系统 的度矩阵。 环形编队问题。同时，文献[19-22]进一步对考虑 定义12到 对于符号图G,如果节点集V可 时滯约束条件下的多智能系统进行稳定性问题 以分为两个集合V和V,其中，VUV2=V,V1nV2=②， 分析。 且满足以下2个条件： 综合所述，本文研究了具有固定时延和时变 1)若，y∈V,I∈{1,2)，则所有权重a≥0： 时延的多智能体系统二分一致性控制。在固定时 2)若y:∈V,y∈V,1≠q,q∈{1,2)，则所有权 延系统下，利用广义Nyquist准则的方法，分析并 重a时≤0。 得到系统实现二分一致的充分条件。在时变时延 则称该符号图G为结构平衡；否则称该符号 下，利用Lyapunov稳定性理论和线性矩阵不等式 图为结构不平衡。 理论，分析得到相较于文献[16]保守性更小的系 引理124若图G为结构平衡时，则存在正
systems，MAS) 的概念[1]。多智能体系统中各智能 体间相互协同合作的基础就是一致性问题；文 献 [2] 给出了多智能体系统一致性问题的系统基 础结构，同时对一致性问题提出了标准化的数学 表达。 在多智能体系统实际应用中，为解决如机器 人的避障问题、两组无人机在保持其编队的同时 向相反方向飞行问题等。文献 [3] 研究了存在敌 对关系的多智能体系统的一致性问题，提出了二 分一致性的概念，其中将智能体划分为两个不同 的集合，这两个集合中的智能体分别收敛到两个 大小相同但符号相反的期望值并保持一致。文 献 [4] 分析给出了存在敌对关系的含常数时滞多 智能体系统达到二分一致性的充分必要条件，证 明了具有无向拓扑结构的多智能体系统可行的最 大时滞仅仅和拉普拉斯矩阵的最大特征值有关。 此外，文献 [5-8] 在多智能系统二分一致性方面也 做了重要研究。在智能体系统应用中，由于通信 设备发展水平限制各个体之间客观存在通信时 延，这一问题严重地影响系统的稳定性。因此， 研究含通信时延的多智能体系统的稳定性在实际 工程中有着至关重要的意义。文献 [9-10] 通过对 系统进行了频域的分析，同时还利用线性矩阵不 等式的定理给出了系统在所提出的控制协议中， 允许的时滞上界。文献 [11-12] 中分别给出了具 有常数时延的二阶多智能体系统达成一致的充分 必要条件。文献 [13] 利用线性矩阵不等式理论， 对通信时延为常数的二阶多智能体系统给出实现 一致性收敛的充分条件。对于一般时延线性系 统，文献 [14] 研究了一种基于观测器的多智能体 系统控制策略，利用系统转换方法，建立了多智 能体系统一致性的等价条件。文献 [15-16] 通过 适当的线性变换，证明了含时变时延的离散线性 多智能体系统的一致性理论。文献 [17-18] 针对 通信资源受限的情况，设计分析分布式异步控制 算法，解决了结构不平衡有向图中多智能体系统 环形编队问题。同时，文献 [19-22] 进一步对考虑 时滞约束条件下的多智能系统进行稳定性问题 分析。 综合所述，本文研究了具有固定时延和时变 时延的多智能体系统二分一致性控制。在固定时 延系统下，利用广义 Nyquist 准则的方法，分析并 得到系统实现二分一致的充分条件。在时变时延 下，利用 Lyapunov 稳定性理论和线性矩阵不等式 理论，分析得到相较于文献 [16] 保守性更小的系 统实现二分一致性的充分条件。 R R n×n n×n x n n I ∈ R n×n n 1n [1 1 ··· 1] ∈ R n 0n [0 0 ··· 0] ∈ R n diag{λ1 λ2 ··· λn} n 文中 表示一个实数， 表示一个 的 实数矩阵， 表示一个 维实数向量， 为 阶单位阵； 表示向量 ， 表示向 量 ； 表示 阶对角阵。 1 预备知识 1.1 图论与数学基础 G = (V,E, A) V = {v1, v2,··· , vn} E ⊆ V ×V N = {1,2,··· ,n} A = [ ai j] ∈ R n×n G ai j i j A ai j E = E + ∪ E − E + E − E + = { (i, j) ai j > 0 } E − = { (i, j) ai j < 0 } ai j , 0 vj vi vi vi Ni Ni = {j ∈ V |(i, j) ∈ E,i , j} A = [ ai j] ∈ R n×n 考虑权重符号图，用三元组 来表 示；其中 表示由一组节点组成的 集合， 表示边的集合，节点的下标集合 ，同时 是带权重的符 号图 所对应的邻接矩阵， 表示权重。如果智 能体 和智能体 之间存在信息交互，对应邻接 矩阵 中的元素 非零。边集可以表示为 ， 和 分别为边集合中的正边集合和 负边集合，即 和 。 若 ，称节点 为节点 的邻居，节点 的所 有邻居组成的集合称节点 的邻集，记该集合为 ，即 。带权重符号图的 邻接矩阵 ，其中元素定义为： ai j = { 非0, ( vj , vi ) ∈ E 0, 其他 aii = 0,∀i = 1,2,··· , n vi vj {(vi1 , vi2 ) , ( vi2 , vi3 ) ,··· ,(vip−1 , vip ) } vim m = 1,2,··· , p i , j G 本文不考虑带自环的图，即 。节点 到节点 的一组边用路径 来表示，其中 是不同的节 点， ， 。如果任意两个节点都存在 路径，则无向符号图 是连通的。 A L = C− A = [ li j] ∈ R n×n G li j 考虑正负混合连接权重矩阵 ，若令矩阵 表示无向符号图 的拉普拉 斯矩阵，则其元素 可定义为 li j = ∑ j∈Ni ai j , j = i −ai j, j , i C = diag ∑ j∈N1 a1 j , ∑ j∈N2 a2 j ,··· , ∑ j∈Nn an j 其 中 为 图 G 的度矩阵。 G V V1 V2 V1 ∪V2 = V,V1 ∩V2 = ∅ 定义 1 [23] 对于符号图 ，如果节点集 可 以分为两个集合 和 ，其中， ， 且满足以下２个条件： ∀vi 1) 若 , vj ∈ Vl(l ∈ {1,2}) ，则所有权重 ai j ⩾ 0 ； ∀vi ∈ Vl , vj ∈ Vq,l , q(l,q ∈ {1,2}) ai j ⩽ 0 2) 若 ，则所有权 重 。 则称该符号图 G 为结构平衡；否则称该符号 图为结构不平衡。 引理 1 G [24] 若图 为结构平衡时，则存在正 第 4 期 冀秀坤，等：含时延约束的多智能体系统二分一致性 ·781·
·782· 智能系统学报 第15卷 交矩阵D使得LD=DLD为图G的拉普拉斯矩 其中 阵，存在单一特征值0。对应的矩阵D称为规范 LD=DLD=C-DAD= 变换(gauge transformation)。 -laijl,VjEN 引理22s1对于任意y∈[0,1)，当ω∈[-元，可 ∑llj=i 时，凸包yCo(EGw),ieN)不包含(-l,j0)点，其中 0-2× 0,其他 四，r为系统的时延。 可知系统式(4)的二分一致性问题等价于系 引理3图对于we[-元，π，凸包Co(0U(WG@), 统式(6)的稳定性问题。 ieN))包含圆盘集合UreNGio 定理1给定包含n个智能体的一阶系统式 1.2问题描述 (1)的结构平衡符号图G,应用含固定时延的二分 假设系统由n个一阶积分器智能体系统组 一致性控制协议式(2)，对于通信时延τ。满足 成，该系统中每个智能体的动力学方程可以描 述为 条件：对于vieN,如果w<平其中E=ma (t)=4,(t),i=1,2,…,n (1) 则系统可实现二分一致性。 其中x()∈R和4，()∈R分别表示智能体i的状态 证明对系统（⑥进行拉氏变换，得到特征方程： 和控制输入。在上述系统式(I)中考虑含固定时 det(sI+LD(s))=0 延和时变时延多智能体系统的二分一致性控制协 其中 议4，（①分别为 LD(s）=e-os(C-DAD)= -lale-a5,y,∈N 4(t)=- ∑axt-o-sgn(a,xt-to》 (2) ∑lage-,j=i 和 0,其他 40=-∑alxt-t0-sgn(a)x,t-tt) (3) 令 jeN, F(s)=det(sI+Lp (s)) (7) 其中o为系统固定时延；t()为系统时变时延，且 根据线性系统稳定性条件和判定规则可知， 0≤t()≤h,h为时延上界。 系统式(6)要实现稳定性等价于F(s)的零点具有 定义向量x(0=[x02(0 … xn(],将 负实部或者s=0,接下来分两点进行分析。 二分一致性控制协议式(2)或式(3)分别作用于 1)当s=0时，F(O)=det(OI+Ln(O),根据引理 系统式(1)，得到 1可得LD存在单一特征根0，因此当s=0时， x(t)=-Lx(t-To) (4) F(s)只有一个零点。 和 2)当s≠0时，令 ()=-Lx(t-T()) (5) F*(s)=det(I+G(s)) (8) 其中L为拉普拉斯矩阵。 其中 2二分一致性分析 G(s)=e-TC-DAD (9) 2.1含固定时延的二分一致性 若使式()的零点都具有负实部，则式(8)的 为便于进行二分一致性分析，引入中间变量 零点需都具有负实部。令s=jω，代入式(9)得到 对原系统进行规范状态变换。定义矩阵D= G(j@)=e-C-DAD (10) diag(c,o2,…,om),o,∈{±1)是在R中进行的坐标 根据广义Nyquist准则，当式(10)特征值 变换。对给定系统式(4)做如下变换： A(Gjd)不包含点(-1，j0),we[-元，时式(8)的零 定义Y:()=σx(),由于：∈{±1}，所以x(0= 点都具有负实部。进一步对式(10)的特征值A σY():其中o:由引理1给出，则进而定义向量 (GGw)进行分析，利用Gerschgorin圆盘定理，可得： Y)=[Y()Y2(①…Yn(,则有Y(0=Dx(0, A(GGw)∈UiENG (11) 代入式(4)可得 (12) Y(t)=Di(t)=D(-Lx(-T))= (6) a-Gih D(-LD-Y(t-To))=-LDY(t-To) 其中，（为任意特征值，C为复数域，令8=
D LD = DLD G D 交矩阵 使得 为图 的拉普拉斯矩 阵，存在单一特征值 0。对应的矩阵 称为规范 变换 (gauge transformation)。 γ ∈ [0,1) ω ∈ [−π,π] γCo(Ei ( jω ) ,i ∈ N) (−1,j0) Ei ( jω ) = π 2τ × e −τjω jω τ 引理 2 [ 2 5 ] 对于任意 ，当 时，凸包 不包含 点，其中 ， 为系统的时延。 ω ∈ [−π,π] Co(0∪ {Wi ( jω ) , i ∈ N)}) ∪i∈NGi 引理 3 [18] 对于 ，凸包 包含圆盘集合 。 1.2 问题描述 假设系统由 n 个一阶积分器智能体系统组 成，该系统中每个智能体的动力学方程可以描 述为 x˙i(t) = ui(t),i = 1,2,··· ,n (1) xi(t) ∈ R ui(t) ∈ R i ui(t) 其中 和 分别表示智能体 的状态 和控制输入。在上述系统式 (1) 中考虑含固定时 延和时变时延多智能体系统的二分一致性控制协 议 分别为 ui(t) = − ∑ j∈Ni ai j (xi(t−τ0)−sgn( ai j) xj(t−τ0)) (2) 和 ui(t) = − ∑ j∈Ni ai j (xi(t−τ(t))−sgn( ai j) xj(t−τ(t)) (3) τ0 τ(t) 0 ⩽ τ(t) ⩽ h h 其中 为系统固定时延； 为系统时变时延，且 , 为时延上界。 x(t) = [x1 (t) x2 (t) ··· xn (t)] 定义向量 T ， 将 二分一致性控制协议式 (2) 或式 (3) 分别作用于 系统式 (1)，得到 x˙ (t) = −Lx(t−τ0) (4) 和 x˙ (t) = −Lx(t−τ(t)) (5) 其中 L 为拉普拉斯矩阵。 2 二分一致性分析 2.1 含固定时延的二分一致性 D = diag(σ1,σ2,··· ,σn),σi ∈ {±1} R 为便于进行二分一致性分析，引入中间变量 对原系统进行规范状态变换。定义矩阵 是在 中进行的坐标 变换。对给定系统式 (4) 做如下变换： Yi(t) = σixi(t) σi ∈ {±1} xi(t) = σiYi(t) σi Y (t) = [Y1 (t) Y2 (t) ··· Yn (t)] T Y (t) = Dx (t) 定义 ，由于 ，所以 ；其中 由引理 1 给出，则进而定义向量 ，则有 ， 代入式 (4) 可得 Y˙ (t) = Dx˙ (t) = D(−Lx(t−τ0)) = D ( −LD−1Y (t−τ0) ) = −LDY (t−τ0) (6) 其中 LD = DLD = C− DAD = −|ai j ∑ |, vj ∈ Ni vj∈Ni ai j , j = i 0, 其他 可知系统式 (4) 的二分一致性问题等价于系 统式 (6) 的稳定性问题。 n G τ0 ∀i ∈ N ετ0 < π 4 ε = max ∑ vjϵNi ai j 定理 1 给定包含 个智能体的一阶系统式 (1) 的结构平衡符号图 ，应用含固定时延的二分 一致性控制协议式 (2)，对于通信时延 满足 条件：对于 ，如果 ，其中 ， 则系统可实现二分一致性。 证明 对系统 (6) 进行拉氏变换，得到特征方程： det(sI+ LD (s)) = 0 其中 LD (s) = e −τ0 s (C− DAD) = −|ai j|e −τ0 s ∑ , vj ∈ Ni vj∈Ni ai j e −τ0 s , j = i 0, 其他 令 F (s) = det(sI+ LD (s)) (7) F (s) s = 0 根据线性系统稳定性条件和判定规则可知， 系统式 (6) 要实现稳定性等价于 的零点具有 负实部或者 ，接下来分两点进行分析。 s = 0 F (0) = det(0I+ LD (0)) LD s = 0 F (s) 1) 当 时， ，根据引理 1 可得 存在单一特征根 0，因此当 时 ， 只有一个零点。 2) 当 s , 0 时，令 F ∗ (s) = det(I+G(s)) (8) 其中 G(s) = e −τ0 s C− DAD s (9) s = jω 若使式 (7) 的零点都具有负实部，则式 (8) 的 零点需都具有负实部。令 ，代入式 (9) 得到 G ( jω ) = e −τ0 jω C− DAD s (10) λ ( G ( jω )) (−1,j0) ω ∈ [−π,π] λ ( G ( jω )) 根据广义 Nyquist 准则，当式 (10) 特征值 不包含点 , 时式 (8) 的零 点都具有负实部。进一步对式 (10) 的特征值 进行分析，利用 Gerschgorin 圆盘定理，可得： λ ( G ( jω )) ∈ ∪i∈NGi (11) Gi = ζϵC,|ζ − ∑ vjϵNi ai j e −τ0 jω jω ⩽ ∑ vjϵNi ai j e −τ0jω jω (12) 其中， ζ 为任意特征值， C 为复数域，令 εi = ·782· 智 能 系 统 学 报 第 15 卷
第4期 冀秀坤，等：含时延约束的多智能体系统二分一致性 ·783· ∑则圆盘中心为 Pu P2 Pi3 PT P2 P23 >00= Q11Q12 e-raj Go(jw)=s:jo Pis PT Ps3 (15) W- W1W12 WR W2 >0Z>0 定义复平面原点为0点，则过0点和圆盘中 心Gm的直线与圆盘G:的交点为W,其轨迹为 式中：*表示对称的值，且 、eraw Au=P3+Pi+Q+hWu WGw）=2 jw An2=-PuLD-Q12Lp-hWiLD 由引理2，令W,Go)=yE,Go。当y=4e0<1 π Au=-P+P5+Wz 时，得到号w<牙。令y=max.ieM,显然当 Ax-Qs-hLiWabn+2L5ZLo 1 y<1,对于任意的ieN,下式成立： Ag=-Pa-P--方wa yCo(OU(E;(jw),iE N]) 证明构造如下Lyapunov-Krasovskii函数： yCo(OUIE;(jw).ieN))=Co(W;(jo),iEN)) V()=V()+V2(t0)+V3(0+V() (16) 可知，(-1，j0)年yCo0U{E,Go),ieN),则 其中 (-1,j0)Co(0U{W,Gw),ieN)。由引理3，得Co V(0)=s()Ps(t) (0U{W,Gw),ieN)2UevG,因此(-1，j0)UevG:o V2(0= p(s)Qp(s)ds 进而代入式(12)可知A(G(Gw)不包含(-1，j0)。根 据广义Nyquist准则，式(8)的零点都具有负实 V3()= p(s)Wp(s)dsde h 部，所以系统式(6)可实现渐近稳定，则可说明系 V4()= 立(s)'r(s)dsdAd0 统式(4)可实现二分一致性。 J-hJ8 JA 7 2.2含时变时延的二分一致性 s()=Y(t)Y(-h)" ∫Y(ds 在实际工程中多智能系统所含时延并不是固 定不变的，因此在本节中将考虑系统中含有时变 p(s)=Y(s)T 根据Newton-Leibniz公式，则有式(I7)和 时延的一阶系统进行二分一致性分析，针对系统 (18): 式(5)引入中间变量对其进行规范状态变换，过 程同式(4)变换： ro--o-od (17) (①=-LDY(t-t() (13) 易得知式(13)的稳定性问题等价于系统式 [Y()-Yt-d0= (5)的二分一致性问题。因此，可以借助系统式 (18) hY()- Y(s)ds (13)的稳定性分析扩展到二分一致性分析。 Ji-h 下面通过构造Lyapunov-Krasovskii函数，给 有如下积分不等式： 出了含时变时延系统式（⑤）实现二分一致性的充 分条件。 -Jp(Wp(ds-≤ (19) 定理2假设系统式(1)的拓扑是连通且结 构平衡的，如果存在对称矩阵：P1、P2、P3、P2 P23、P8、Q11、Q12、Q2、W1、W12、W2、Z,且都 Y'ddos +0 (20) 为非负矩阵，则系统式(1)在控制协议式(3)作用 下可以达到二分一致性，从而给定时变时延上界 h>0满足条件式(14)和式(15)： 对式(17)~(20)沿系统式(5)轨迹的时间导 数，考虑式(21)(24)则有 All A12 A13 P12 -w+z 1(0=S()Ps(0+s(0'Ps0= *△22-L 0 -LpP13 Y(t)Y(t-h)T Y(s)ds 中= Λ33 P22 -P+方W阳 <0 P12 P1 Y(t) (21) -Q22 P23 P11 1 *P2P23 Y(t-h) Y(s)ds (14)
∑ vjϵNi ai j ，则圆盘中心为 Gi0 ( jω ) = εi e −τ0 jω jω Gi0 Gi Wi 定义复平面原点为 0 点，则过 0 点和圆盘中 心 的直线与圆盘 的交点为 ，其轨迹为 Wi ( jω ) = 2εi e −τ0 jω jω Wi ( jω ) = γiEi ( jω ) γi = 4εiτ0 π < 1 εiτ0 < π 4 γ = max{γi ,i ∈ N} γ < 1 i ∈ N 由引理 2 ，令 。当 时，得到 。 令 ， 显然当 ，对于任意的 ，下式成立： γCo(0∪ {Ei ( jω ) ,i ∈ N}) ∋ γiCo(0∪ {Ei ( jω ) ,i ∈ N}) = Co(Wi ( jω ) ,i ∈ N}) (−1,j0) < γCo(0∪ {Ei ( jω ) ,i ∈ N}) (−1,j0) < Co(0∪ {Wi ( jω ) ,i ∈ N}) Co (0∪ { Wi ( jω ) ,i ∈ N) } ) ⊇ ∪i∈NGi (−1,j0) < ∪i∈NGi λ ( G ( jω )) (−1,j0) 可 知 , ， 则 。由引 理 3 ， 得 ，因此 。 进而代入式 (12) 可知 不包含 。根 据广义 Nyquist 准则，式 (8) 的零点都具有负实 部，所以系统式 (6) 可实现渐近稳定，则可说明系 统式 (4) 可实现二分一致性。 2.2 含时变时延的二分一致性 在实际工程中多智能系统所含时延并不是固 定不变的，因此在本节中将考虑系统中含有时变 时延的一阶系统进行二分一致性分析，针对系统 式 (5) 引入中间变量对其进行规范状态变换，过 程同式 (4) 变换： Y˙ (t) = −LDY (t−τ(t)) (13) 易得知式 (13) 的稳定性问题等价于系统式 (5) 的二分一致性问题。因此，可以借助系统式 (13) 的稳定性分析扩展到二分一致性分析。 下面通过构造 Lyapunov-Krasovskii 函数，给 出了含时变时延系统式 (5) 实现二分一致性的充 分条件。 P11 P12、P13、P22、 P23、P33、Q11、Q12、Q22、W11、W12、W22、Z h > 0 定理 2 假设系统式 (1) 的拓扑是连通且结 构平衡的，如果存在对称矩阵： 、 ，且都 为非负矩阵，则系统式 (1) 在控制协议式 (3) 作用 下可以达到二分一致性，从而给定时变时延上界 满足条件式 (14) 和式 (15)： ψ = Λ11 Λ12 Λ13 P12 − 1 h WT 11 + 1 h Z ∗ Λ22 −L T D 0 −L T D P13 ∗ ∗ Λ33 P22 −P33 + 1 h WT 12 ∗ ∗ ∗ −Q22 P23 ∗ ∗ ∗ ∗ − 1 h W11 − 1 h 2 Z < 0 (14) P = P11 P12 P13 P T 12 P22 P23 P T 13 P T 23 P33 > 0;Q = [ Q11 Q12 Q T 12 Q22 ] > 0 W = [ W11 W12 WT 12 W22 ] > 0; Z > 0 (15) 式中：*表示对称的值，且 Λ11 = P13 + P13 +Q T 11 +hW11 Λ12 = −P11LD −Q12LD −hW11LD Λ13 = −P13 + P T 23 + 1 h W22 Λ22 = Q22 −hL T DW22LD + h 2 2 L T D ZLD Λ33 = −P23 − P T 23 −Q11 − 1 h W22 证明 构造如下 Lyapunov-Krasovskii 函数： V(t) = V1 (t)+V2 (t)+V3 (t)+V4 (t) (16) 其中 V1 (t) = ς (t) T Pς (t) V2 (t) = ∫ t t−τ(t) ρ(s) TQρ(s)ds V3 (t) = ∫ 0 −h ∫ t t+θ ρ(s) TWρ(s)dsdθ V4 (t) = ∫ 0 −h ∫ 0 θ ∫ t t+λ Y˙ (s) T RY˙ (s)dsdλdθ ς (t) = [ Y (t) T Y (t−h) T ∫ t t−h Y (s) T ds ]T ρ(s) = [ Y (s) T Y˙ (s) T ]T 根据 Newton-Leibniz 公式，则有式（17）和 （18）： Y (t−h) = Y (t)− ∫ t t−h Y˙ (s)ds (17) ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s)dsdθ = ∫ 0 −h [Y (t)−Y (t−θ)]dθ = hY (t)− ∫ t t−h Y (s)ds (18) 有如下积分不等式： − ∫ t t−h ρ(s) TWρ(s)ds ⩽ − 1 h ∫ t t−h ρ(s) T dsW ∫ t t−h ρ(s)ds (19) ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s) T RY˙ (s)dsdθ ⩽ − 2 h 2 ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s) T dsdθR ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s)dsdθ (20) 对式 (17)~(20) 沿系统式 (5) 轨迹的时间导 数，考虑式 (21)~(24) 则有 V˙ 1 (t) = ς˙ (t) T Pς (t)+ς (t) T Pς˙ (t) = [ Y (t) T Y (t−h) T ∫ t t−h Y (s) T ds ] . P11 P12 P13 ∗ P22 P23 ∗ ∗ P33 Y (t) Y (t−h) ∫ t t−h Y (s)ds (21) 第 4 期 冀秀坤，等：含时延约束的多智能体系统二分一致性 ·783·
·784· 智能系统学报 第15卷 V2(t)=p(t)'Qp(t)-p(t-h)Qp(t-h)= 31含固定时延的系统 Yo Yo']o Y() 假设智能体初始状态x(0)=[30-10010 02 (22) Y(-h)u -153「，智能体系统的连接权重如图1。E= Q12 Y(t-h) Y(t-h) On Y(t-h) max =3,则根据定理1可得t0<026s,分 V;(t)=hp(t)"Wp(t)-p(s)"Wp(s)dss 别取时延t0=0.1s、t0=0.25s、t0=0.3s进行仿 W22 真，如图2所示。 W11W2 W> 30 Agentl (23) Agent2 .0= -'z(dwo- 20 Agent3 Agent4 Agent5 -Agent6 10 -Y(-T())LDTZLDY(-T())- 0 系hror-frozo-Co (24) -10 结合式(21)(24)整理得： V(t)≤ξ(t)中E(t) -2 0 1015 20 25 其中 (a)to=0.1 s 5)=[Y(0Y(t-t(0)FYt-h) e-「Ysrd 30 —Agentl i-h -Agent2 若式(14)、(15)成立，则有（①<0，这意味着 0 Agent3 Agent4 系统式(13)是渐近稳定的，即系统式(1)可以在 Agent5 Agent6 控制协议式(3)下达到二分一致性。 10 3数值仿真分析 本文考虑有6个智能体，且其通信拓扑如图1 -10 所示。且V1={化，2，hV2={化4，s,6h满足结构平衡。 20 0 5 1015 2025 ts (b)t=0.25s 30 -Agentl Agent2 20 Agent3 ·Agent4 Agent5 10 Agent6 .. 1 0 图1多智能系统通信拓扑图 Fig.1 Communication topology of multi-agent systems -10 AAAA 由图1可写出拉普拉斯矩阵L: 1 -100 01 -20 -1 2 -1 0 0 0 U 10 15 20 25 -1 -1 3 1 0 0 L= 0 0 1 3 1 (25) (c)6=0.3s 0 0 0 2 1 2 图2固定时延条件下智能体状态 0 0 0 Fig.2 States of multi-agents with fixed-time delays
V˙ 2 (t) = ρ(t) TQρ(t)−ρ(t−h) TQρ(t−h) = [ Y (t) T Y˙ (t) T ] [ Q11 Q12 ∗ Q22 ] [ Y (t) Y˙ (t) ] − [ Y (t−h) Y˙ (t−h) ]T [ Q11 Q12 ∗ Q22 ] [ Y (t−h) Y˙ (t−h) ] (22) V˙ 3 (t) = hρ(t) TWρ(t)− ∫ t t−h ρ(s) TWρ(s)ds ⩽ h [ Y (t) TY˙ (t) T ] [ W11 W12 ∗ W22 ] [ Y (t) Y˙ (t) ] − 1 h ∫ t t−h [ Y (s) Y˙ (s) ]T ds [ W11 W12 ∗ W22 ]∫ t t−h [ Y (s) Y˙ (s) ] ds (23) V˙ 4 (t) = h 2 2 Y˙ (t) T ZY˙ (t)− ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s) T ZY˙ (s)dsdθ− ∫ 0 −h ∫ t t+θ Y˙ (s) T ZY˙ (s)dsdθ ⩽ h 2 2 Y (t−τ(t))T LD T ZLDY (t−τ(t))− 2 h 2 {[hY (t) T − ∫ t t−h Y (s) T ds ] Z [ hY (t)− ∫ t t−h Y (s)ds ]} (24) 结合式 (21)~(24) 整理得： V˙ (t) ⩽ ξ (t) Tψξ (t) 其中 ξ (t) = [Y (t) T Y (t−τ(t))T Y (t−h) T Y˙ (t−h) T ∫ t t−h Y (s) T ds] T V˙ 若式 (14)、(15) 成立，则有 (t) < 0 ，这意味着 系统式 (13) 是渐近稳定的，即系统式 (1) 可以在 控制协议式 (3) 下达到二分一致性。 3 数值仿真分析 V1 = {v1, v2, v3} V2 = {v4, v5, v6} 本文考虑有 6 个智能体，且其通信拓扑如图 1 所示。且 ， ，满足结构平衡。 1 1 −1 1 2 3 4 1 5 6 1 1 1 图 1 多智能系统通信拓扑图 Fig. 1 Communication topology of multi-agent systems 由图 1 可写出拉普拉斯矩阵 L： L = 2 −1 −1 −1 2 −1 −1 −1 3 0 0 1 0 0 1 3 0 0 0 −1 0 0 0 −1 0 0 0 −1 2 −1 0 0 0 −1 −1 2 (25) 3.1 含固定时延的系统 x(0) = [30 −10 0 10 −15 3]T E = max ∑ vjϵNi ai j = 3 τ0 < 0.26 τ0 = 0.1 τ0 = 0.25 τ0 = 0.3 假设智能体初始状态 ，智能体系统的连接权重如 图 1。 ，则根据定理 1 可得 s，分 别取时延 s、 s、 s 进行仿 真，如图 2 所示。 Agent1 Agent2 Agent3 Agent4 Agent5 Agent6 Agent1 Agent2 Agent3 Agent4 Agent5 Agent6 Agent1 Agent2 Agent3 Agent4 Agent5 Agent6 −20 −10 0 0 5 10 15 20 25 10 20 30 状态值 x t/s −20 −10 0 0 5 10 15 20 25 10 20 30 状态值 x t/s −20 −10 0 0 5 10 15 20 25 10 20 30 状态值 x t/s (a) τ0 = 0.1 s (b) τ0 = 0.25 s (c) τ0 = 0.3 s 图 2 固定时延条件下智能体状态 Fig. 2 States of multi-agents with fixed-time delays ·784· 智 能 系 统 学 报 第 15 卷