模拟滤波器的设计 (一)巴特沃思低通滤波器( Butterworth) 由 n(x2)2 O 求H2(s) H(s2)sd=H()H (s) 1+() H2(S)H(-S)的极点: 1+()2=0→() N =92e22N,k=1,2,,2N 2k=1)z 例如÷1) 12N=±J e 2N或e e 21 Nk=1.2 (2k+1)丌 或者=e2N,k=0,1
模拟滤波器的设计 （一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth） 2 H ( j) a N c 2 1 ( ) 1 + = H (s) a 2 / 2 1 ( ) ( ) ( ) 1 ( ) a a a s j N c H j H s H s s j = = − = + H (s)H ( s) a a − 的极点： 2 2 1/ 2 1 2 1 ( ) 2 2 1 ( ) 0 ( ) 1 ( 1) , 1,2, ,2 N N N k c c c k j N c s s s j j j e k N − + + = − = − = = ＝ 例如： 3 (2 1) 1/ 2N 2N 2N 2N (2 1) 2 N ( 1) , 1,2 , 0,1 k j j j k j j e e e k e k − + − = = = = = = 或 或者 由 求
模拟滤波器的设计 (一)巴特沃思低通滤波器( Butterworth) 极点特点 (1)极点分布在半径为9的圆上,共2N个极点, 每个极点间隔为△w=x/N,H(s)有N个极点 (2)H(s)为稳定系统,极点不能落在虚轴上,极点在S左半平面
模拟滤波器的设计 （一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth） 极点特点： C (1) 2 H(s) N N 极点分布在半径为 的圆上，共 个极点， 每个极点间隔为 w= /N， 有 个极点 ( ) H s a (2) 为稳定系统，极点不能落在虚轴上,极点在S左半平面 jΩ σ 0 1 s 2 s 3 s 4 s 5 0 s s
模拟滤波器的设计 (一)巴特沃思低通滤波器( Butterworth) "由极点求H(s)传递函数: H2(S)H2(-s)的左半平面的极点即为H(s)的极点,个数为N 2N 极点分别是: S,=9e k=1.2N 又:|H2(八2)a0=1→H(19)0=1 寸∏(=)= Q H(S)= k=
模拟滤波器的设计 （一）巴特沃思低通滤波器（ Butterworth） ▪由极点求Ha (s)传递函数： ( ) ( ) ( ) H s H s H s N a a a − 的左半平面的极点即为 的极点，个数为 ： 极点分别是： 1 2 1 ( ) 2 2 , 1,2, , k j N k c S e k N − + = = 2 0 0 0 1 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) | 1, 0 ) ( ) ( ) a a a s j N N N k C N C a N k k H j H j H s s s H s s s = = = = = = = = = = = − k k＝ 又 ＝ 时, (s-s
采用对3dB截止频率S归一化 (s)= (S-SK H(s) N-l SS 式中S/2=j2/ k=0g9 令=99c—归一化频率 C 归一化巴特沃斯的传输函数为 H,()=N-I 令p=j—归一化复变量 ∏(p-Pk) p=s/Q 2k+1 j丌(六+ Pk为归一化极点Pk=e 22N k=0,1,2,,N-1 ●N由参量s、s点n、a3确定 a/10 N lg ksp sp k g 1010-1 2和2的富裕量 P Ola C2。=(10 2N c2,=92,(100-1)2N
令λ＝Ω/Ωc——归一化频率 令p＝j λ ——归一化复变量 − = − = 1 0 ( ) 1 ( ) N k c k c a s s H s − = − = 1 0 ( ) 1 ( ) N k k a p p H p 采用对3dB截止频率 c 归一化 c c 式中 s/ = j/ 归一化巴特沃斯的传输函数为 ) 2 2 1 2 1 ( N k j k p e + + = pk 为归一化极点 k=0, 1, 2, … , N-1 c p = s/ − = − = 1 0 ( ) ( ) N N k k c a s s H s N 由参量 p 、 s、αp 、αs 确定 p s sp = 10 1 10 1 /10 10 − − = s p α α / sp k sp sp k N lg lg = − N c p p 2 1 0.1 (10 1) − = − N c s s 2 1 0.1 (10 1) − = − s和p 的富裕量
低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下: (1)根据技术指标Qp、92、Q、9。求出滤波器的阶数N gk N 10°m10 g /10 (2)求出归一化极点P,得到归一化传输函数Ha(P) (+2k+1 e (P) k=0.1.2 ∏(P-Pk) k=0 (3)将H(p)去归一化。将P=S/9代入H(P),得到实际的滤波器 传输函数H(s) Butterworth AF的特点: (1)=O时,无衰减 (2)N越大,通带内衰减越慢,阻带内衰减越快,最平的幅频相应滤波器 (3)3dB不变特性
低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： （1）根据技术指标 p、p、 s、s 求出滤波器的阶数N p s sp = 10 1 10 1 /10 10 − − = s p α α / sp k sp sp k N lg lg = − （2）求出归一化极点 p k ，得到归一化传输函数 H ( p) a − = − = 1 0 ( ) 1 ( ) N k k a p p H p ) 2 2 1 2 1 ( N k j k p e + + = k=0, 1, 2, … , N-1 （3）将 Ha ( p) 去归一化。将 p = s/c 代入 Ha ( p) ，得到实际的滤波器 传输函数 H (s) a Butterworth AF 的特点： （1） （2）N越大，通带内衰减越慢，阻带内衰减越快，最平的幅频相应滤波器 （3）3dB不变特性 = 0时，无衰减