第三章离散傅立叶变换DFT §3.0引言 §3.1离散傅立叶变换的定义 §3.2频率抽样理论 §3.3离散傅立叶变换⑩DFT)的定理和性质 §3.4DFT应用举例 小结
第三章 离散傅立叶变换DFT §3.0 引言 §3.1 离散傅立叶变换的定义 §3.2 频率抽样理论 §3.3 离散傅立叶变换(DFT)的定理和性质 §3.4 DFT应用举例 小结
§3.0引言 、DFT是仅适用于有限长序列的又一种傅立叶变换形式 1、x(n)是时域中有限长的序列(0~N-1) 2、DFT实质是X(e/)在频域上等间隔的抽样 3、时域中按 Nyquist抽样,则在频域中保留原信号频谱形状、无混叠 4、DFT理论:在频域中按适当间隔抽样,则在时域保留原序列的形状、无混叠 二、DFT的重要性 1、使信号频域离散化,使得用计算机在频域进行信号处理成为可能 2、有多种快速算法,大大提高了信号处理速度。 3、DFT本身可用于随机信号的功率谱估计及信号的谱分析等方面,使这些处 理过程可用数字计算实现
§3.0 引言 一、DFT是仅适用于有限长序列的又一种傅立叶变换形式 二、 DFT的重要性 1、x(n) 是时域中有限长的序列 （ 0 ~ N-1 ） 3、时域中按Nyquist抽样，则在频域中保留原信号频谱形状、无混叠 4、DFT理论：在频域中按适当间隔抽样，则在时域保留原序列的形状、无混叠 2、DFT实质是 X (e j ) 在频域上等间隔的抽样 1、使信号频域离散化，使得用计算机在频域进行信号处理成为可能。 2、有多种快速算法，大大提高了信号处理速度。 3、DFT本身可用于随机信号的功率谱估计及信号的谱分析等方面，使这些处 理过程可用数字计算实现
§3.1离散傅立叶变换的定义 3.1.1DFT的定义 用计算机实现信号的频谱分析及其它方面的工作,对信号的要求是: 时域和频域都是离散的,且都是有限长 (k)=∑(n)e ∞0<k<∞x(m)R(n) X(k)R(k) DET x(n =∑X(ke <n< x(n) X(k) N 唯 k=0 设x(n是长度为M的有限长序列定义x(m)的N(N≥M点离散傅立叶变换为 X(k)=DFTLx(n]=2 x(n)w k=0,1,2,N-1 =0 x(n)=IDFT[X(K)]=2 X(k)WN n=0,1.2 N-1 nk 其中W=eNN称为DT变换区间长度
§3.1 离散傅立叶变换的定义 3.1.1 DFT的定义 用计算机实现信号的频谱分析及其它方面的工作，对信号的要求是： 时域和频域都是离散的，且都是有限长 nk N j N k X k e N x n 1 2 0 ( ) 1 ~ ( ) ~ − = = nk N j N n X k x n e 1 2 0 ( ) ~ ( ) ~ − − = = − k − n − = = = 1 0 ( ) [ ( )] ( ) N n kn W N X k DFT x n x n − = − = = 1 0 ( ) 1 ( ) [ ( )] N k kn WN X k N x n IDFT X k k = 0 , 1 , 2 , … , N-1 n = 0 , 1 , 2 , … , N-1 N j N W e 2 − 其中 = x(n) X (k) DFT 唯 一 ( ) ( ) ~ x n RN n ( ) ( ) ~ X k R k N N称为DFT变换区间长度 设 x(n) 是长度为M的有限长序列,定义 x(n) 的N ( ) N M 点离散傅立叶变换为
例x(n)=R4(n),求x(n)的8点和16点DFT X(eJa 解:N=8时 7 X(k)=∑x(m)W8 ∑e8 0 sin(k) /2 k=0 丌 sin(k) X(k) N=8 N=16时 X(k)=2xN16=26 丌 15 3-J k n=0 01234567 zk sin( k) k=0,1 Xk sin( k) N=16 小结: DFT变换区间长度N不同,变换结果X(k)不同 k 当N足够大时,X()包络可逼近X(e曲线 0246810121415 X(k)表示Ok=(2/N频点的幅度谱线
例 x(n) = R4 (n) ，求 x(n) 的8点和16点DFT 解 ： N＝8时 = = − = = 7 0 3 0 8 2 8 ( ) ( ) n n j kn kn X k x n W e ) 8 sin( ) 2 sin( 8 3 k k e j k − = = = − = = 15 0 3 0 16 2 16 ( ) ( ) n n j kn kn X k x n W e N＝16时 ) 16 sin( ) 4 sin( 16 3 k k e j k − = k = 0 , 1 , … , 7 k = 0 , 1 , … , 15 0 π/2 π 2π ( ) j X e N＝8 X (k) k 0 1 2 3 4 5 6 7 N＝16 X (k) k 0 2 4 6 8 10 12 1415 DFT变换区间长度N不同，变换结果 X (k) 不同 当N足够大时， X (k) 的包络可逼近 ( ) 曲线 j X e X (k) 表示 N k k = (2 / ) 频点的幅度谱线 小结：
3.1.2DFT和ZT、F之间的关系 设序列x(n)的长度为N,其Z变换,傅立叶变换和DFT分别为 X(z=ZTLx(n]=2x(n)z N-1 X(e)=ft[x(n]=e x(n) y Y(k)=DFTEx(n)=2x(n)wkn k=0,1, 2 则X(k)=X() k=0.1 N-1 X(k)=X(e k=0.1.2.N-1 X(k的物理意义: 1.x(m)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样 2.X(k)是x(n)的傅立叶变换X(e")在[0,2m上的N点等间隔样
3.1.2 DFT和 ZT、FT之间的关系 设序列 x(n) 的长度为N，其Z变换，傅立叶变换和DFT分别为 − = − = = 1 0 ( ) [ ( )] ( ) N n n X z ZT x n x n z − = = = 1 0 ( ) [ ( )] ( ) N n kn W N X k DFT x n x n k = 0 , 1 , 2 , … , N-1 − = − = = 1 0 ( ) [ ( )] ( ) N n j j n X e FT x n x n e 则 k = 0 , 1 , 2 , … , N-1 k N j z e X (k) X (z)| 2 = = k N j X k X e 2 ( ) ( )| = = k = 0 , 1 , 2 , … , N-1 X(k)的物理意义： 1. x(n) 的N点DFT是 x(n) 的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样 X (k) 是 的傅立叶变换 ( ) 在[0，2π]上的N点等间隔采样 j 2. x(n) X e