复旦大学博士生宏观经济学讲义第二章OLG模型 第二章OLG模型 交叠世代模型同样解决了新古典增长中的消费和储蓄问题,并作为个人的跨 期选择的结果。不同于拉姆齐模型的是,这里假定个人的生命是有限的,在同 个时期同时存在出生不同年代的人。那么是无限期生存模型的那些不足使得人们 去研究叠代模型呢?有人认为现实中的人的生命是有限的,但是我们发现当完全 互爱的代际关系,叠代模型与拉姆齐无限期解模型是等价的。其实最主要的问题 是,无限期解模型,每一期和下一期都是类似的,因此并没有凸现出,现实经济 中同时存在老人和青年,人面临一生中的储蓄,退休等生命周期问题,也不能分 析这两种人的不同消费和储蓄动机对社会保障、资本积累的影响,即在这个框架 下政府的税收政策对均衡产出和工人劳动力供给和退休决定的影响 第一节两期寿命 Diamond模型 代表性家庭生存两期。考虑一个t期出生的个人,我们用c表示他(她)在 第一期(年轻时)的消费,用cx+1表示他在第二期(老年时)的消费。家庭的 偏好为如下: U=l(cu)+(1+p)u(c2x+1) (1.1) 其中p为主观贴现率。个人只在青年的时候工作,无弹性地供给1单位劳动 力,工资为ν,在t期进行储蓄并在t+1期消费,收益率为r*1。因此他面临如 下的预算 Clt+ St= w (12) c+l=s(1+r+1) (1.3) 效用最大化的一阶条件为 l(Cu)+(1+n+1)(1+p)u(c2x+)=0 即 t(cu)1+r+1 (15) (c2x+1)1+ 即MRS=MRT。同样我们可以用外生变量w和n+1来表示s: 主要参见了布兰查德和费歇尔(1989)第三
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG 模型 1 第二章 OLG 模型1 交叠世代模型同样解决了新古典增长中的消费和储蓄问题，并作为个人的跨 期选择的结果。不同于拉姆齐模型的是，这里假定个人的生命是有限的，在同一 个时期同时存在出生不同年代的人。那么是无限期生存模型的那些不足使得人们 去研究叠代模型呢？有人认为现实中的人的生命是有限的，但是我们发现当完全 互爱的代际关系，叠代模型与拉姆齐无限期解模型是等价的。其实最主要的问题 是，无限期解模型，每一期和下一期都是类似的，因此并没有凸现出，现实经济 中同时存在老人和青年，人面临一生中的储蓄，退休等生命周期问题，也不能分 析这两种人的不同消费和储蓄动机对社会保障、资本积累的影响，即在这个框架 下政府的税收政策对均衡产出和工人劳动力供给和退休决定的影响。 第一节 两期寿命 Diamond 模型 代表性家庭生存两期。考虑一个t 期出生的个人，我们用c1t 表示他（她）在 第一期（年轻时）的消费，用c2 1 t + 表示他在第二期（老年时）的消费。家庭的 偏好为如下： 1 U uc uc tt t ( ) (1 ) ( ) 1 21 ρ − = ++ + (1.1) 其中 ρ 为主观贴现率。个人只在青年的时候工作，无弹性地供给 1 单位劳动 力，工资为wt ，在t 期进行储蓄并在t +1期消费，收益率为rt + 1 。因此他面临如 下的预算： c sw 1tt t + = (1.2) c sr 21 1 t tt + + = + (1 ) (1.3) 效用最大化的一阶条件为： uc r uc '( ) (1 )(1 ) '( ) 0 1 1 21 tt t + ++ = + + ρ (1.4) 即 1 1 2 1 '( ) 1 '( ) 1 t t t uc r u c ρ + + + = + (1.5) 即MRS MRT = 。同样我们可以用外生变量wt 和rt + 1 来表示st ： 1 主要参见了布兰查德和费歇尔（1989）第三章
复旦大学博士生宏观经济学讲义第二章OLG模型 St=Wr-Clr=S(wt, rt +1) 将方程式(14)写为 (Cn,r+1,w)=u(c)+(1+n+)1+p)n(+n+1)(-c)=0(16) 那么,通过隐函数定理,可以求出 a/at =1+ /el"(c)+(1+n+1)2(1+p)2un(c2+) (1.7) 因此0<sw<1,因此这可以得出两个时期的消费都是正常商品 那么储蓄对利率的反应呢?我们知道由于存在收入效应和替代效应,所 以符号并不确定,取决于风险系数。当效用函数为CRRA时,如 ,6>0.,0≠l;u(c)=logc,b=1 因此 (1+r+1)-)0 (1+p)+(1+n+)y=0 (1.8) 当θ<1时,利率的增加导致替代效应大于收入效应,因此储蓄增加。因为 σ=1/θ>1,也即跨其替代弹性大于1,这意味着当跨其替代弹性较大时,利率 的上升导致个人更愿意多进行储蓄。 考虑一个新古典生产函数,要素价格由以下给出: n=f(k)-5 (1.9) f(k)-kf(k) 考虑资本市场 (1.11 或者考虑当人口增长率为n,那么1.11可变为 K+I lt 所以, s(w,n+)s(f(k)-kf(k),∫(k)-6) 1+n 在稳态时,有k=k+1=k,所以
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG 模型 2 s w c sw r t t t tt =−= 1 1 (, ) + 将方程式(1.4)写为 1 ζ ρ ( , , ) '( ) (1 )(1 ) '((1 )( )) 0 c r w uc r u r w c 11 1 1 1 1 tt t t t t t t − + ++ = ++ + + − = (1.6) 那么，通过隐函数定理，可以求出 1 2 1 1 1 21 / ''( ) 1 1 / ''( ) (1 ) (1 ) '( ) t t w ttt t s c w uc s w w c u c r uc ζ ζ ρ − + + ∂ ∂ ∂∂ = =− =+ = ∂ ∂ ∂ ∂ ++ + (1.7) 因此0 1 < < sw ，因此这可以得出两个时期的消费都是正常商品。 那么储蓄对利率的反应呢？我们知道由于存在收入效应和替代效应，所 以符号并不确定，取决于风险系数。当效用函数为 CRRA 时，如 1 1 ( ) 1 c u c θ θ − − = − ，θ > ≠ 0, 1 θ ；uc c ( ) log = ，θ =1 因此 (1 ) / 1 1/ (1 )/ 1 (1 ) (1 ) (1 ) t t t t r s w r θ θ θ θθ ρ − + − + + = + ++ (1.8) 当θ <1时，利率的增加导致替代效应大于收入效应，因此储蓄增加。因为 σ = > 1/ 1 θ ，也即跨其替代弹性大于 1，这意味着当跨其替代弹性较大时，利率 的上升导致个人更愿意多进行储蓄。 考虑一个新古典生产函数，要素价格由以下给出： r fk t t = − '( ) δ (1.9) w f k kf k t t tt = − ( ) '( ) (1.10) 考虑资本市场 Ls w r K t tt t (, ) + 1 1 = + (1.11) 或者考虑当人口增长率为n ，那么 1.11 可变为 1 1 1 1 1 ( , ) (1 ) t t tt t t t K L sw r nk L L + + + + + = =+ (1.12) 所以， 1 1 ( , ) ( ( ) '( ), '( ) ) 1 1 tt t t t t t s w r s f k kf k f k k n n + δ + − − = = + + (1.13) 在稳态时，有 * kk k t t = = + 1 ，所以
复旦大学博士生宏观经济学讲义第二章OLG模型 k=S((K)-k/()f()-。 (1.14) 1+n (1.14)隐含地定义了k。将均衡条件(113)写为 p(k,k+1)=(1+n)k+1-s(f(k)-kf(k),f(k)-d)=0(1.15) 因此 ao/ak Skf"(k) (1.16) a/ak+11+n-Sf"(k+1) 因为s符号未定,所以“的值也不定,当s>0时,“+>0。即使 dk+>0 我们仍可能会有三种情况,因此我们需要确定均衡存在、唯一的条件。 k 图2-1,储蓄与稳态 均衡稳定的条件是 因此图1-1中,k和k2是稳定的均衡资本 我们来分析在稳态时的效率。因为稳态时的人均消费为
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG 模型 3 *** * * ( ( ) '( ), '( ) ) 1 sfk kf k f k k n − −δ = + (1.14) (1.14)隐含地定义了 * k 。将均衡条件(1.13)写为 φ( , ) (1 ) ( ( ) '( ), '( ) ) 0 k k n k s f k kf k f k tt t t t t t + + 1 1 =+ − − − = δ (1.15) 因此 1 1 1 / ''( ) / 1 ''( ) t t wt t t t rt dk k s k f k dk k n s f k φ φ + + + ∂∂ − =− = ∂ ∂ +− (1.16) 因为sr 符号未定，所以 t 1 t dk dk + 的值也不定，当sr > 0 时， 1 0 t t dk dk + > 。即使 1 0 t t dk dk + > ， 我们仍可能会有三种情况，因此我们需要确定均衡存在、唯一的条件。 均衡稳定的条件是 1 | |1 t t dk dk + < (1.17) 因此图 1－1 中， * 0 k 和 * 2 k 是稳定的均衡资本。 我们来分析在稳态时的效率。因为稳态时的人均消费为 kt + 1 kt k k t t = + 1 A B C * 1 k * 2 k * 0 k 图 2－1， 储蓄与稳态
复旦大学博士生宏观经济学讲义第二章OLG模型 f(k)-(n+6)k 所以资本积累的黄金律由下式给出 f(gold )=n+8 因此如果f(k’)<n+δ,则将出现被称为动态无效的情况,因为这个时候通 过永久地减少资本积累,增加当期消费,并可以使以后各代的消费都增加。 ∫(k)-(1+n)k+1+(1-6)k (1.20) 因此有 dc=-(1+ndk>0 (1.21) f(k+)-(n+a)lk>0 (1.22) 例一假定效用函数为 U=log(cu)+(1+p) log(c2t+1) (123) 生产函数为 f(k)=k,0<a<1 (1.24) 可以计算出,储蓄方程 (1.25) 要素价格分别为: (1-a)k 鬥t=a (12 同时有 k (1+m)(2+p) (1.28) 稳态均衡条件可以表示为: (1-a)(k) (1+n)(2+p) (129)
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG 模型 4 ** * c fk n k = −+ ()( ) δ (1.18) 所以资本积累的黄金律由下式给出 * '( ) gold fk n = +δ (1.19) 因此如果 * fk n '( ) < +δ ，则将出现被称为动态无效的情况，因为这个时候通 过永久地减少资本积累dk ，增加当期消费，并可以使以后各代的消费都增加。 c f k nk k tt t t = −+ +− ( ) (1 ) (1 + 1 δ) (1.20) 因此有 (1 ) 0 dc n dk t =− + > (1.21) ( '( ) ( )) 0 dc f k n dk tj tj + + = −+ > σ (1.22) 例一 假定效用函数为 1 Uc c tt t log( ) (1 ) log( ) 1 21 ρ − = ++ + (1.23) 生产函数为 ( ) ,0 1 t t fk kα = << α (1.24) 可以计算出，储蓄方程： 2 t t w s ρ = + (1.25) 要素价格分别为： t (1 ) w kt α = −α (1.26) 1 t t r kα α − = (1.27) 同时有 1 (1 ) (1 )(2 ) t t k k n α α ρ + − = + + (1.28) 稳态均衡条件可以表示为： * * (1 )( ) (1 )(2 ) k k n α α ρ − = + + (1.29)
复旦大学博士生宏观经济学讲义第二章OLG模型 ,当 (1.30) (1+n)(2+p) 同时有 (1-a)k c li =0 (1.32) 因此k=0不是稳态点 4(1+n)(2+p)(1+n)(2+p) 2)P=a0D)(133) 因此k=k不是稳态点 同时这也意味着,任何kog{0,k}都将收敛于k,这意味着资本存量和增长 率都有上界。如下所揭示的 (1-a)k (1.34) k+1(1-a)k k,(1+n)(2+p)→ [im k -=0 资本累积的黄金律为 (136 (1.37) n 比较两种资本积累水平,当 (1.38) (1.39) 时,经济处于动态无效。因为a和上式右边都处于(0,1),因此存在a值满足
复旦大学博士生宏观经济学讲义 第二章 OLG 模型 5 1 * 1 (1 ) [ ] (1 )(2 ) k n α α ρ − − = + + ，当 * k ≠ 0 (1.30) 同时有 1 1 (1 ) (1 )(2 ) t t t dk k dk n α α α ρ − + − = + + (1.31) 1 0 limt t k t dk dk + → = ∞ (1.32) 因此k = 0 不是稳态点。 而 * 1 1 1 1 (1 ) (1 ) | .[ ] (0,1) (1 )(2 ) (1 )(2 ) t t t k kk t dk dk n n α α α α α α + ρ ρ − + − = = − − = =∈ ++ ++ (1.33) 因此 * k k = 不是稳态点。 同时这也意味着，任何 * k k 0∉{0, }都将收敛于 * k ，这意味着资本存量和增长 率都有上界。如下所揭示的； 1 1 (1 ) γ (1 )(2 ) t t k t k k k n α α ρ − + − = = + + (1.34) 1 1 1 (1 ) γ lim [lim ] 0 t t (1 )(2 ) t t t k k t k k k k n α α α ρ − + − ∞ →∞ →∞ − == = + + (1.35) 资本累积的黄金律为 * 1 ( ) gold k n α α δ − = + (1.36) 1 * 1 1 () [ ] gold k n α α α α δ − − = + (1.37) 比较两种资本积累水平，当 (1 ) (1 )(2 ) n n α α ρ δ − > ++ + ， (1.38) 即 (1 )(2 ) n n n δ α ρ δ + < + + ++ (1.39) 时，经济处于动态无效。因为α 和上式右边都处于(0,1) ，因此存在α 值满足