2对面电荷分布的情形,设面电荷密度 为σ(r)。类似,将面电荷无限分割为圆状面电 荷元o(r)dS,它在自身产生的电势不会大于 a.a/2(a为面元半径,见P26的第17节例 110),该电势随dS→0(a少0)而趋于零 于是,U(r)≈U(r),其静电能为: 2(P)U(r)dS(323) 2
2. 对面电荷分布的情形，设面电荷密度 为 。类似，将面电荷无限分割为圆状面电 荷元 ，它在自身产生的电势不会大于 （a为面元半径，见P26的第1.7节例 1.10），该电势随 ( )而趋于零。 于是 ，U1(r) ≈ U(r) ，其静电能为： ( ) e r ( ) e r dS dS → 0 a →0 0 / 2 e a = S e e W ( )U( )dS 2 1 r r (3.2.3)
3.线电荷分布的情况,不能将静电能写为: =5∫4(0或W =5J4(U 因为()dl在自身所在处产生的电势不仅不趋 于零,而且会按lnr(r为离线元的垂直距离) 趋于无穷。进一步,可证U(D也会趋于无穷大。 这在物理上意味着:要把电荷从极端分散状态压 缩到一条几何线上,外界需要作无穷大的功。这 显然是办不到的。因此,在计算静电能时,无论 线径怎样小的带电体均不能当作线电荷处理
3. 线电荷分布的情况，不能将静电能写为： 1 ( ) ( ) 2 e e L W l U l dl = 或 1 1 ( ) ( ) 2 e e L W l U l dl = 因为 在自身所在处产生的电势不仅不趋 于零，而且会按 （r为离线元dl的垂直距离） 趋于无穷。进一步，可证U1(l)也会趋于无穷大。 这在物理上意味着：要把电荷从极端分散状态压 缩到一条几何线上，外界需要作无穷大的功。这 显然是办不到的。因此，在计算静电能时，无论 线径怎样小的带电体均不能当作线电荷处理。 ( ) e l dl ln r
4.多个帶电体组成的糸统的静电能。设有 N个带电体,体积分别为,V.,VN。可将空 间的总电势U(r)分为两部分(请思考!为什麼?) U/(r)=U(r)+U(r) 式中U()表示除第个带电体外其余所有带电体 在r处产生的电势,U0(r)则表示第个带电体 在r处产生的电势。按照前述结论,可得: =22(W=20ou
4. 多个带电体组成的系统的静电能。设有 N个带电体，体积分别为V1，V2…，VN。可将空 间的总电势U(r)分为两部分(请思考！为什麽?) ( ) ( ) ( ) ( ), i U U U = + i r r r 式中Ui (r)表示除第i个带电体外其余所有带电体 在 r 处产生的电势， 则表示第i个带电体 在 r 处产生的电势。按照前述结论，可得： ( ) ( ) i U r ( ) 1 1 1 1 ( ) ( ) ( )[ ( ) ( )] 2 2 i i N N i e e e i i i V V W U dV U U r dV = = = = + r r r r ( ) ( ) , 2 1 ( ) ( ) 2 1 1 1 ( ) = = = + N i V e i N i V i e i i r U r dV r U r dV
可写成:W=W自+W互, 其中, >:(r)z(r)d,叫自能 Hn=∑22O(叫互能 点电荷间、线电荷间可以计算互能。但是,不 能计算点电荷、线电荷的自能(为无穷大)
W W自 W互, 可写成： e = + 其中， ( ) ( ) 1 1 1 ( ) ( ) , 2 i N N i i e i i V W W U dV = = 自 = = 自 r r 1 1 ( ) ( ) . 2 i N e i i V W U dV = 互 = r r 叫自能 叫互能 点电荷间、线电荷间可以计算互能。但是，不 能计算点电荷、线电荷的自能（为无穷大）
[例31]求体电荷密度为P、半径为R的均匀带电 球的静电能(带电体的介电常量设为0)。 [解]以球心为原点,取球坐标(r日,卯)。根据第 章17节例111的结果取R1=0,R2=R,可得: U(r)=(3R2-r2) 于是,积分得: 68 0 4TORS W (3R4-r)rsin edrdedo 68 15E 当P固定时,将随R→>0而趋于零。 如果用总电量q=47R2/3表示,上述结果可写成: 3(q2)这时若固定q令R→0,则 5(4zER丿)W→,即点电荷的自能发散
[例3.1] 求体电荷密度为 、半径为R 的均匀带电 球的静电能（带电体的介电常量设为 ）。 [解] 以球心为原点，取球坐标（ ）。根据第 一章1.7节例1.11的结果取R1 = 0，R2 = R，可得： e 0 r, , (3 ) 6 ( ) 2 2 0 U R r e = − r 于是，积分得： 2 2 2 0 1 (3 ) sin 2 6 e e e r R W R r r drd d = − 2 5 0 4 . 15 e R = 当 固定时，We将随 而趋于零。 如果用总电量 表示，上述结果可写成： e R → 0 4 / 3 3 q = R e 2 0 3 . 5 4 e q W R = 这时若固定q，令 ，则 ，即点电荷的自能发散。 R → 0 We →