第3章随机过程 各态历经性条件 设：x()是平稳过程()的任意一次实现（样本）， 则其时间均值和时间相关函数分别定义为： a==70h 如果平稳过程使下式成立 a=a R()=R() 则称该平稳过程具有各态历经性。 16
16 第3章 随机过程 ◆ 各态历经性条件 设：x(t)是平稳过程(t)的任意一次实现（样本）， 则其时间均值和时间相关函数分别定义为： 如果平稳过程使下式成立 则称该平稳过程具有各态历经性。 → − → − = + = + = = / 2 / 2 / 2 / 2 ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) lim ( ) 1 ( ) lim T T T T T T x t x t dt T R x t x t x t dt T a x t = = R( ) R( ) a a
第3章随机过程 “各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经 历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计 平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考 察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值 代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的 问题大为简化。 ◆具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定 成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均 能满足各态历经条件。 17
17 第3章 随机过程 ◆ “各态历经”的含义是：随机过程中的任一次实现都经 历了随机过程的所有可能状态。因此，在求解各种统计 平均（均值或自相关函数等）时，无需作无限多次的考 察，只要获得一次考察，用一次实现的“时间平均”值 代替过程的“统计平均”值即可，从而使测量和计算的 问题大为简化。 ◆ 具有各态历经的随机过程一定是平稳过程，反之不一定 成立。在通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均 能满足各态历经条件
第3章随机过程 [例3-1山设一个随机相位的正弦波为 5(1)=Acos(@1+0) 其中，A和o均为常数；是在(0,2π)内均匀分布的随机 变量。试讨论()是否具有各态历经性。 【解】()先求()的统计平均值： 数学期望 a0=E5o1-"4codar+02xd0 27(osa1cos0-sna1sn0N0 2caoso”cosa0-snasnm0=0 18
18 第3章 随机过程 ◆ [例3-1] 设一个随机相位的正弦波为 其中，A和c均为常数；是在(0, 2π)内均匀分布的随机 变量。试讨论(t)是否具有各态历经性。 【解】(1)先求(t)的统计平均值： 数学期望 (t) = Acos( t + ) c = = + 2 0 2 1 a(t) E[ (t)] Acos( c t ) d = − 2 0 (cos cos sin sin ) 2 t t d A c c [cos cos sin sin ] 0 2 2 0 2 0 = − = t d t d A c c
第3章随机过程 自相关函数 R(t,t2)=E[5(t)5(t2)】=E[Acos(o5+O)Acos(0,+0)] Eicos,.6,-i)+cos@.6,+4)+20] 号oso6-0+号cm时a.6+0+207a0 、c0s0(t2-t1)+0 令2-t1=t,得到 R(t1,t2)= 200s0=R() 可见，()的数学期望为常数，而自相关函数与t无关， 只与时间间隔π有关，所以()是广义平稳过程。 19
19 第3章 随机过程 自相关函数 令t2 – t1 = ，得到 可见， (t)的数学期望为常数，而自相关函数与t 无关， 只与时间间隔 有关，所以(t)是广义平稳过程。 cos ( ) 2 ( , ) 2 1 2 R A R t t = c = {cos ( ) cos[ ( ) 2 ]} 2 2 1 2 1 2 = E t − t + t + t + A c c = − + + + 2 0 2 1 2 2 1 2 2 1 cos[ ( ) 2 ] 2 cos ( ) 2 t t d A t t A c c cos ( ) 0 2 2 1 2 = t − t + A c ( , ) [ ( ) ( )] [ cos( ) cos( )] R t 1 t 2 = E t 1 t 2 = E A c t 1 + A c t 2 +
第3章随机过程 (2)求t)的时间平均值 a=典 Acos(@!+0)di=0 cod+cosi.()+ 丹芬原cosh+珍o2ar+ar+20 A2 2cos@t 比较统计平均与时间平均，有 a=a,R(t)=R(r) 因此，随机相位余弦波是各态历经的。 20
20 第3章 随机过程 (2) 求(t)的时间平均值 比较统计平均与时间平均，有 因此，随机相位余弦波是各态历经的。 → − = + = 2 2 cos( ) 0 1 lim T T c T A t dt T a → − = + + + 2 2 cos( ) cos[ ( ) ] 1 ( ) lim T T c c T A t A t dt T R → − − = + + + 2 2 2 2 2 { cos cos(2 2 ) } 2 lim T T T c T c c T dt t dt T A c A cos 2 2 = a = a,R( ) = R( )