第3章随机过程 ▣相关函数和协方差函数之间的关系 B(t1,t2)=Rt1,t2)-a(t)a(t2) 若a(t)=a(t2),则Bi1,2)=R(t1,t2) ◆互相关函数 R(t1,t2)=E[5(t1)n(t2)] 式中(t)和()分别表示两个随机过程。 因此，R,)又称为自相关函数。 11
11 第3章 随机过程 相关函数和协方差函数之间的关系 若a(t1 ) = a(t2 )，则B(t1 , t2 ) = R(t1 , t2 ) ◆ 互相关函数 式中(t)和(t)分别表示两个随机过程。 因此，R(t1 , t2 )又称为自相关函数。 ( , ) ( , ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 B t t = R t t − a t a t ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 1 2 R t t E t t =
第3章随机过程 3.2平稳随机过程 ▣3.2.1平稳随机过程的定义 ◆定义： 若一个随机过程()的任意有限维分布函数与 时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和 所有实数4，有 fn(x1,x2,.,xn;t1,t2,.,tn） =fn(x1,x2,.,xn:t1+A,t2+△，.，tn+△) 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程， 简称严平稳随机过程。 12
12 第3章 随机过程 ⚫ 3.2 平稳随机过程 ◼ 3.2.1 平稳随机过程的定义 ◆ 定义： 若一个随机过程(t)的任意有限维分布函数与 时间起点无关，也就是说，对于任意的正整数n和 所有实数，有 则称该随机过程是在严格意义下的平稳随机过程， 简称严平稳随机过程。 ( , , , , , , ) ( , , , , , , ) 1 2 1 2 1 2 1 2 = n n + + n + n n n f x x x t t t f x x x t t t ； ；
第3章随机过程 ◆性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的 推移而改变，即它的一维分布函数与时间无关： f(x)=f(x) 而二维分布函数只与时间间隔τ=2-t有关： f3(x1,x2;t1,t2)=f3(x1,x2;T) ◆数字特征： E]=广xf(x)s,=a R(t1,t2)=E[5(t1)5(t1+T)] )dx d;=R(t) 可见，（1)其均值与无关，为常数a； (2)自相关函数只与时间间隔有关。 13
13 第3章 随机过程 ◆ 性质： 该定义表明，平稳随机过程的统计特性不随时间的 推移而改变，即它的一维分布函数与时间t无关： 而二维分布函数只与时间间隔 = t2 – t1有关： ◆ 数字特征： 可见，（1）其均值与t无关，为常数a； （2）自相关函数只与时间间隔有关。 ( , ) ( ) 1 1 1 1 1 f x t = f x ( , ; , ) ( , ; ) 2 1 2 1 2 2 1 2 f x x t t = f x x − E (t) = x1 f 1 (x1 )dx1 = a ( , ; ) ( ) ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 x x f x x dx dx R R t t E t t = = = + − −
第3章随机过程 数字特征： (x(x )dx,=a R(t,t2)=E[5(t)5(t+t川 =广xx,(x,x2;z)k=R) 可见，（1)其均值与t无关，为常数a; (2)自相关函数只与时间间隔x有关。 把同时满足(1)和（2)的过程定义为广义平稳随 机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反 之不一定成立。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为 平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的 实际意义。 14
14 第3章 随机过程 ◆ 数字特征： 可见，（1）其均值与t 无关，为常数a ； （2）自相关函数只与时间间隔 有关。 把同时满足（1）和（2）的过程定义为广义平稳随 机过程。显然，严平稳随机过程必定是广义平稳的，反 之不一定成立。 在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为 平稳的随机过程。因此，研究平稳随机过程有着很大的 实际意义。 − E (t) = x1 f 1 (x1 )dx1 = a ( , ; ) ( ) ( , ) [ ( ) ( )] 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 x x f x x dx dx R R t t E t t = = = + − −
第3章随机过程 3.2.2各态历经性 ◆问题的提出：随机过程的数字特征（均值、相关函数） 是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际 中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出 这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函 数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢？ ◆回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一 个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性” (又称“遍历性”)。具有各态历经性的过程，其数 字特征（均为统计平均)完全可由随机过程中的任一 实现的时间平均值来代替。 ◆下面，我们来讨论各态历经性的条件。 15
15 第3章 随机过程 ◼ 3.2.2 各态历经性 ◆ 问题的提出：随机过程的数字特征（均值、相关函数） 是对随机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际 中常常很难测得大量的样本，这样，我们自然会提出 这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本函 数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? ◆ 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一 个有趣而又非常有用的特性，称为“各态历经性” （又称“遍历性”）。具有各态历经性的过程，其数 字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一 实现的时间平均值来代替。 ◆ 下面，我们来讨论各态历经性的条件