荷载作用于两种地基模型上无限大板中部时弯矩相等的原则,即式(16-15)算得 的弯矩相等,建立地基反力模量与弹性模量之间的关系,再将此关系代入相应 的k地基板边、板角应力公式,从而得到相当于弹性半空间体地基板在板边和 板角隅受荷时的弯曲应力计算式: (1)当车轮荷载在板边时 am=0529(1+0541)2(a-071) (2)当车轮荷载在板角时 m22/1-179)057 以上两式中a2=19,E(- RUE 各符号意义同前 上述公式适用于h/R≥0.5的情况 大量计算表明,按照上述方法求得的板边的弯曲应力与按式(16-15)算得的板 中弯曲应力之比,在常用的板厚(hR)与模量比(Ec/Es)范围内,约等于1.5,或者 说等厚板在同一车轮作用于板中及板边时,则边缘的弯矩约为板中弯矩的1.5 倍。如果对混凝土路面板进行等强度设计,则板中及板边所需厚度分别为: 6M 6M 与 h 又知板边弯矩近似等于板中弯矩的1.5倍,即M。≈1.5M,故有 6×1.M1 6M 式中:he、h一分别为板边、板中的厚度 Me、M 分别为板边、板中的弯矩 [a]一一混凝土的容许弯拉应力 由此可见,按板边受荷时所产生的最大弯矩计算得的板边厚度,要较板中受 荷时所需厚度约大25% 、有限尺寸矩形板 生产实践中的混凝土路(道)面板都具有有限尺寸,而且大都属于有限尺寸的 矩形板,真正的无限大板实际并不存在 对于弹性半空间体地基上有限尺寸矩形板的板中、板边和板角作用车轮荷载 时,求解相应位置的挠度和弯矩(属非轴对称课题),在数学上遇到很大困难,故 至今尚未得到解析表达式。 有限元方法是结构和连续介质应力分析中的一种较新而较有效的计算方法。 采用有限元法分析水泥混凝土路面的荷载应力,有着比§162中的积分解(解平 衡微分方程)优越的地方,主要表现在: 1.可以按板块的实际大小求解有限尺寸的板,从而消除无限大板的假设所
11 荷载作用于两种地基模型上无限大板中部时弯矩相等的原则，即式(16-15)算得 的弯矩相等，建立地基反力模量与弹性模量之间的关系，再将此关系代入相应 的 k 地基板边、板角应力公式，从而得到相当于弹性半空间体地基板在板边和 板角隅受荷时的弯曲应力计算式： (1)当车轮荷载在板边时 max = 0.529(1+ 0.54c ) 2 (0 − 0.71) P h (2)当车轮荷载在板角时 max . = − . − 3 1 179 1 10 2 2 0 15 0 P h c 以上两式中 ( ) ( ) 0 2 2 191 3 1 1 = − − . h R E E c s s c 各符号意义同前 上述公式适用于 h/R≥0.5 的情况。 大量计算表明，按照上述方法求得的板边的弯曲应力与按式(16-15)算得的板 中弯曲应力之比，在常用的板厚(h/R)与模量比(Ec/Es)范围内，约等于 1.5，或者 说等厚板在同一车轮作用于板中及板边时，则边缘的弯矩约为板中弯矩的 1.5 倍。如果对混凝土路面板进行等强度设计，则板中及板边所需厚度分别为： h M i i = 6 与 h M e e = 6 又知板边弯矩近似等于板中弯矩的 1.5 倍，即 Me≈1.5Mi，故有 h M M e h i i = i = = 6 15 15 6 123 . . . 式中：he、hi——分别为板边、板中的厚度； Me、Mi——分别为板边、板中的弯矩； ［σ］——混凝土的容许弯拉应力。 由此可见，按板边受荷时所产生的最大弯矩计算得的板边厚度，要较板中受 荷时所需厚度约大 25%。 三、有限尺寸矩形板 生产实践中的混凝土路(道)面板都具有有限尺寸，而且大都属于有限尺寸的 矩形板，真正的无限大板实际并不存在。 对于弹性半空间体地基上有限尺寸矩形板的板中、板边和板角作用车轮荷载 时，求解相应位置的挠度和弯矩(属非轴对称课题)，在数学上遇到很大困难，故 至今尚未得到解析表达式。 有限元方法是结构和连续介质应力分析中的一种较新而较有效的计算方法。 采用有限元法分析水泥混凝土路面的荷载应力，有着比§16-2 中的积分解(解平 衡微分方程)优越的地方，主要表现在： 1．可以按板块的实际大小求解有限尺寸的板，从而消除无限大板的假设所
带来的误差(此误差随荷载接近板边缘和相对刚度半径的增大而增加) 2.可以考虑各种荷载情况(包括荷载组合和荷载位置),而不必象前述方法那 样规定若干种典型的荷位,并且能解算简单的荷载组合情况。因此,可以用于 符合实际荷载情况的应力分析 3.可以计及板的实际边界条件,如接缝的传荷能力、板和地基的脱空(不连 续接触)等 4.所解得的结果是整个板面上的位移场和应力场,从而可以更全面地分析 板的受荷情况 现行《公路水泥混凝土路面设计规范》(JTJ012-94)用有限元法分析了荷 载作用下板的极限应力值,由此给出了应力计算诺谟图 §164水泥混凝土路面温度应力分析 水泥混凝土路面板内不同深处的温度,随气温的变化而变化。这种变化使混 凝土板出现膨胀和收缩变形的趋势。当变形受阻时,板内便产生胀缩应力或翘 曲应力。 胀缩应力 当气温缓慢变化时,板内温度均匀升降,则面板沿断面的深度均匀胀缩。设 x为板的纵轴,y为板的横轴。如有一平面尺寸很大的板,在温差影响下板内任 点的应变为: EIOr-Ho, +aAr a△t (16-19) 式中:εx、εy-一分别为板纵向和横向应变 dx、σy-一分别为板纵向和横向的温度应力,MPa a—一水泥混凝土的线膨胀系数,约为1×105; △t一一板温差,℃ 其余符号意义同前 由于板与基层之间的摩阻约束,在温度升降时板中部不能移动,即 y=0,以此代入上式,解得面板胀缩完全受阻时所产生的应力为 Ea△ 对于板边缘中部或窄长板,则ex=0和σy=0,则有 x=Eea△t (16-21) 对未设接缝的混凝土路面板,当温度下降15℃时,其最大收缩应力可按式 (16-20)计算。取E=3×10MPa,p=0.15,4t=15℃,则 3×104×10-5×15 5.29 MPa 1-0.15 在混凝土浇筑后的初期,混凝土尚未完全硬化,其抗拉强度不足以抵抗收缩
12 带来的误差(此误差随荷载接近板边缘和相对刚度半径的增大而增加)； 2．可以考虑各种荷载情况(包括荷载组合和荷载位置)，而不必象前述方法那 样规定若干种典型的荷位，并且能解算简单的荷载组合情况。因此，可以用于 符合实际荷载情况的应力分析； 3．可以计及板的实际边界条件，如接缝的传荷能力、板和地基的脱空(不连 续接触)等； 4．所解得的结果是整个板面上的位移场和应力场，从而可以更全面地分析 板的受荷情况。 现行《公路水泥混凝土路面设计规范》（JTJ012-94）用有限元法分析了荷 载作用下板的极限应力值，由此给出了应力计算诺谟图。 §16-4 水泥混凝土路面温度应力分析 水泥混凝土路面板内不同深处的温度，随气温的变化而变化。这种变化使混 凝土板出现膨胀和收缩变形的趋势。当变形受阻时，板内便产生胀缩应力或翘 曲应力。 一、胀缩应力 当气温缓慢变化时，板内温度均匀升降，则面板沿断面的深度均匀胀缩。设 x 为板的纵轴，y 为板的横轴。如有一平面尺寸很大的板，在温差影响下板内任 一点的应变为： x ( x y ) E = − + t 1 y ( y x ) E = − + t 1 （16－19） 式中：εx、εy——分别为板纵向和横向应变； σx、σy——分别为板纵向和横向的温度应力，MPa； α——水泥混凝土的线膨胀系数，约为 1×10-5； Δt——板温差，℃。 其余符号意义同前。 由于板与基层之间的摩阻约束，在温度升降时板中部不能移动，即 εx= εy=0，以此代入上式，解得面板胀缩完全受阻时所产生的应力为： x y E t = = − − 1 （16－20） 对于板边缘中部或窄长板，则εx=0 和σy=0，则有 σx=-EcαΔt (16-21) 对未设接缝的混凝土路面板，当温度下降 15℃时，其最大收缩应力可按式 (16-20)计算。取 Ec=3×104MPa,μc=0.15,Δt=-15℃，则 i = − MPa − = − 3 10 10 15 1 015 529 4 5 . . 在混凝土浇筑后的初期，混凝土尚未完全硬化，其抗拉强度不足以抵抗收缩
应力,板将出现开裂。 当混凝土板温度升高时,如果未设置胀缝,板的膨胀受阻,板内将出现膨胀 应力。如果板温升高15℃,则压应力为5.29MPa。这一数值虽小于混凝土的抗 压强度,但要注意在此压力作用下是否出现曲屈现象。 为了减少收缩应力,在混凝土板内设置各种接缝,板被划分为有限尺寸的板 块。这时板的自由收缩受到板与基础的摩阻力所约束,此摩阻力随板的自重而 变。因变形受阻而产生的板内最大应力出现于板长的中央,其值可近似按下式 deY·f·L/2 (16 式中: 混凝土容重,约为0024MN/m3 板长 f——板与基础之间的摩擦系数,同基础类型、板的位移量和位移反 复情况等因素有关,一般为10~2.0 板划分为有限尺寸板块后,因收缩而产生的应力很小,可不予考虑 二、翘曲应力 由于混凝土板、基层和土基的导热性能较差,当气温变化较快时,使板顶面 与底面产生温度差,因而板顶与板底的胀缩变形大小也就不同。当气温升高时 板顶面温度较其底面高,板顶膨胀变形较板底的大,则板中部隆起:相反,当 气温下降时,板顶面温度较其底面板低,板顶收缩变形较板底大,因而板的边 缘和角隅翘起,如图16-9所示。由于板的自重、地基反力和相邻板的钳制作用 使部分翘曲变形受阻,从而使板内产生翘曲应力。由气温升高引起的板中部隆 起受到限制时,板底面出现拉应力;而当气温降低引起的板四周翘起受阻时, 板顶面出现拉应力。 为了分析翘曲应力,威斯特卡德对文克勒地基板作了如下假设:温度沿板断 面呈直线变化、板和地基始终保持接触,不计板自重,从而导出了板仅受地基 约束时的翘曲应力计算公式。 对有限尺寸板,沿板长L)和板宽(B)方向的翘曲应力分别为 Ea△tCx+HC 2 2 Ea△tC,+Cx (16-23) 在板边缘中点 Ea△t (16-24) △t一一板顶面与板底面的温度差,℃ Cx,Cy—与L或B/有关的系数,其数值可从图16-12中的曲线3查取 也可按下式计算: Cx或Cy=1 2 cos a coshλ (tan a+tanh 2) sin 22+sinh 22
13 应力，板将出现开裂。 当混凝土板温度升高时，如果未设置胀缝，板的膨胀受阻，板内将出现膨胀 应力。如果板温升高 15℃，则压应力为 5.29MPa。这一数值虽小于混凝土的抗 压强度，但要注意在此压力作用下是否出现曲屈现象。 为了减少收缩应力，在混凝土板内设置各种接缝，板被划分为有限尺寸的板 块。这时板的自由收缩受到板与基础的摩阻力所约束，此摩阻力随板的自重而 变。因变形受阻而产生的板内最大应力出现于板长的中央，其值可近似按下式 计算： σt=·f·L/2 (16－22) 式中：——混凝土容重，约为 0.024MN/m3； L——板长，m； f——板与基础之间的摩擦系数，同基础类型、板的位移量和位移反 复情况等因素有关，一般为 1.0～2.0。 板划分为有限尺寸板块后，因收缩而产生的应力很小，可不予考虑。 二、翘曲应力 由于混凝土板、基层和土基的导热性能较差，当气温变化较快时，使板顶面 与底面产生温度差，因而板顶与板底的胀缩变形大小也就不同。当气温升高时， 板顶面温度较其底面高，板顶膨胀变形较板底的大，则板中部隆起；相反，当 气温下降时，板顶面温度较其底面板低，板顶收缩变形较板底大，因而板的边 缘和角隅翘起，如图 16-9 所示。由于板的自重、地基反力和相邻板的钳制作用， 使部分翘曲变形受阻，从而使板内产生翘曲应力。由气温升高引起的板中部隆 起受到限制时，板底面出现拉应力；而当气温降低引起的板四周翘起受阻时， 板顶面出现拉应力。 为了分析翘曲应力，威斯特卡德对文克勒地基板作了如下假设：温度沿板断 面呈直线变化、板和地基始终保持接触，不计板自重，从而导出了板仅受地基 约束时的翘曲应力计算公式。 对有限尺寸板，沿板长(L)和板宽(B)方向的翘曲应力分别为： x c x c y c E C C = + − t 2 1 2 y c y c x c E C C = + − t 2 1 2 （16－23） 在板边缘中点： x c x E = C t 2 (16-24) Δt——板顶面与板底面的温度差，℃； Cx，Cy——与 L/l 或 B/l 有关的系数，其数值可从图 16-12 中的曲线 3 查取； 也可按下式计算： Cx 或 Cy=1 ( ) 2 2 2 − + + cos cosh sin sinh tan tanh