似方法。b和R的关系按下式确定: 当R(1724h时,b=√16R2+h2-0675h 当R)724h时,b=R 般说来,当R≥0.5h时,按R和按b算得的应力值相差并不大,因而在这 种情况下可不必按当量半径计算应力,而当R<0.5h时,则必须把R换算成b以 后,才能应用式(16-7a)计算应力。 因此,式(16-7a改写为 P a1=1(1+。lg+02673 (16-7a’) 2)荷载作用于板边缘中部(荷位②),荷位下板底的最大弯拉应力 P a。=21161+0541g+008975 在试验验证上述公式时发现,当板处于同地基保持完全接触的状态时,计算 结果同实测值相符。但在板边缘由于板温度翘曲变形或地基塑性变形而同地基 脱空时,实测应力值要比式(168a)的计算结果偏高10%左右。为此,凯利 ( E F. Kelley)根据试验结果,提出了经验修正公式: 1.R)P a=2141+054.人1F+42354F2(16-82) 计算板边应力σe时,当R<0.5h时,也应将R′改成b进行计算。 3)荷载作用于板角隅(荷位③),最大拉应力产生在板的表面离荷载圆中心为 的分角线上(见图16-4)。 √2R)P (16-9a) x1=2√al,6=√2 在温度梯度和地基塑性变形的影响下,板角隅也会发生同地基相脱空的现 象。试验表明,板角隅上翘时,实测应力值要比按式(16-%a)算得的大30~50 左右。对此,凯利又提出了经验修正公式: R (16-9a′) 在以上诸式中,P为车轮荷载,1为板的相对刚性半径,即 1=k=1(1-4)K 上述三种荷位时的最大应力计算公式(16-7a16-8a16-%a和169a)可写成下 P 述一般形式:0=C
6 似方法。b 和 R 的关系按下式确定： 当 时， ＝ 当 时， R h b R h h R h b R + − = 1724 16 0 675 1724 2 2 . . . . 一般说来，当 R≥0.5h 时，按 R 和按 b 算得的应力值相差并不大，因而在这 种情况下可不必按当量半径计算应力，而当 R<0.5h 时，则必须把 R 换算成 b 以 后，才能应用式(16-7a)计算应力。 因此，式(16-7a)改写为： ｉ ＝11(1 ｃ ) 0 2673 2 . + lg + . l b P h （１6－7a′) 2)荷载作用于板边缘中部(荷位②)，荷位下板底的最大弯拉应力： ｅ ＝2116(1 054 ｃ ) 0 08975 2 . + . lg + . l R P h (16－8a) 在试验验证上述公式时发现，当板处于同地基保持完全接触的状态时，计算 结果同实测值相符。但在板边缘由于板温度翘曲变形或地基塑性变形而同地基 脱空时，实测应力值要比式(16-8a)的计算结果偏高 10%左右。为此，凯利 (E.F.Kelley)根据试验结果，提出了经验修正公式： e ( ) l R R P h ' . . lg lg . ＝ ｃ 2116 1 054 1 4 2 54 + + 2 （１6－8a′) 计算板边应力σe 时，当 R<0.5h 时，也应将 R′改成 b 进行计算。 3)荷载作用于板角隅(荷位③)，最大拉应力产生在板的表面离荷载圆中心为 x1 的分角线上(见图 16-4)。 ｃ = − 3 1 2 0 6 2 R l P h . (16-9a) x1 = 2 1 l , 1 = 2R 在温度梯度和地基塑性变形的影响下，板角隅也会发生同地基相脱空的现 象。试验表明 ，板角隅上翘时，实测应力值要比按式(16-9a)算得的大 30～50% 左右。对此，凯利又提出了经验修正公式： ｃ ． ＝ Ｒ 3 1 1 2 − 2 l P h （16－9a′) 在以上诸式中，P 为车轮荷载，l 为板的相对刚性半径，即： ( ) l D K E h K c c = = − 4 3 2 4 12 1 （16－10） 上述三种荷位时的最大应力计算公式(16-7a,16-8a,16-9a 和 16-9a′)可写成下 述一般形式：σ=C P h 2
二、弹性半空间体地基板的荷载应力分析 弹性半空间地基是以弹性模量和泊松比表征的弹性地基。它假设地基为一各 向同性的弹性半无限体(故又称半无限地基)。地基在荷载作用范围内及影响所及 的以外部分均产生变形(图16-3b),其顶面上任一点的挠度不仅同该点的压力 也同其它各点的压力有关,即 q(xy=f[W(xy)](16-11) 1938年,霍格( A.H.A. Hogg)根据弹性 半空间体地基假设,轴对称竖向荷载下半 无限地基上无限大圆板的位移和应力作 了理论分析。翌年该理论分析即被苏联舍 赫捷尔(O.,Ⅲ exte)应用于刚性路面计 算中。当弹性半空间体地基上作用任意竖 向轴对称荷载q(r)时如图(16-5)所示,其表 图16-5挠度计算图式 面的挠度为 W(r)= E 引()J(5r)d5(16-12) 式中:q(5)一荷载qr)的享格尔( Hankel函数 Jo(ξr)一第一类零阶贝塞尔(Besl)函数 5一一任意参变量 Es,μs-—分别为地基的弹性模量和泊松比。 对于外荷载与弹性地基板本身均属于轴对称的情况下,方程(16-4)变为: DV2VW(r)=p(r)-g(r) (16-13) 其中:V2一一拉普拉斯算子,即 d W()p(r)q(r)—一分别为随坐标变化的板的挠度、荷载与反力 此时板内径向弯矩M与切向弯矩M的表达式为 1 d M=D(a+d=)Hr)(16-14) 当荷载作用于板中时(见图16-6),应用弹性地基上无限大板轴对称课题的理 论解来计算荷载位置的弯矩。即将式(16-12)代入式(16-13)中可解得板挠度方程 式(16-5)的贝塞尔函数解W(r),再将它代入式(16-14)便得圆形均布荷载下板在单 位宽度内所产生的最大弯矩为
7 二、弹性半空间体地基板的荷载应力分析 弹性半空间地基是以弹性模量和泊松比表征的弹性地基。它假设地基为一各 向同性的弹性半无限体(故又称半无限地基)。地基在荷载作用范围内及影响所及 的以外部分均产生变形(图 16-3b)，其顶面上任一点的挠度不仅同该点的压力， 也同其它各点的压力有关，即： q(x,y)=f［Ｗ(x,y)］ （16－11） 1938 年，霍格(A.H.A.Hogg)根据弹性 半空间体地基假设，轴对称竖向荷载下半 无限地基上无限大圆板的位移和应力作 了理论分析。翌年该理论分析即被苏联舍 赫捷尔(O.Я.Ⅲextep)应用于刚性路面计 算中。当弹性半空间体地基上作用任意竖 向轴对称荷载 q(r)时如图(16-5)所示，其表 面的挠度为： ( ) W r ( ) ( ) E q J r d s s ( ) = − 2 1 2 0 0 (16-12) 式中： q (ξ)——荷载 q(r)的享格尔(Hankel)函数； Ｊ0(ξr)——第一类零阶贝塞尔(Bessel)函数； ξ——任意参变量； Es,μs——分别为地基的弹性模量和泊松比。 对于外荷载与弹性地基板本身均属于轴对称的情况下，方程(16-4)变为： D W(r) = p(r) − q(r) 2 2 （16-13） 其中：2——拉普拉斯算子，即2= d r r d d r 2 2 1 d + ； W(r),p(r),q(r)——分别为随坐标变化的板的挠度、荷载与反力。 此时板内径向弯矩 Mr 与切向弯矩 Mt 的表达式为： M D ( ) d d r r d dr W r r c = − ( + ) 2 2 M D ( ) r d dr d dr W r t = − + c ( ) 1 2 2 （16－14） 当荷载作用于板中时(见图 16-6)，应用弹性地基上无限大板轴对称课题的理 论解来计算荷载位置的弯矩。即将式(16-12)代入式(16-13)中可解得板挠度方程 式(16-5)的贝塞尔函数解 W(r)，再将它代入式(16-14)便得圆形均布荷载下板在单 位宽度内所产生的最大弯矩为： 图 16-5 挠度计算图式
图16-6在无限大圆板上的圆形均布荷载图16-7距离集中荷载作用点为r处的弯矩 CP(1+u) =M= 2aR P (16-15) 当轮载距计算点一定距离时,可作为集中荷载,则距集中荷载作用点r处板 在单位宽度内的弯矩(见图16-7)为: A+ B)P=MP M,=(B+H A)P=M,P (16-16) 以上两式中:M一一单位板宽内的辐向弯矩,MN·/m M一单位板宽内的切向弯矩,MN·/ P—一作用在板上的车轮荷载,MN; C—一随aR值而变的系数,即 C=[u(ari) dt其值可从表16-1中查,其中J1(aRt)为第一类一阶贝塞尔 函数 A和B—一随ar值而变的系数,其中 1(ar) T ar Jo 1tt w,(art) B 2丌 art+3dr Jo(art)一一第一类零阶贝塞尔函数; t一任意参变量; 一一与板的弯曲刚度有关的弹性特征系数,即: 16E 12D(-2)E:(-2) R—一—车轮荷载当量圆半径,m r一集中荷载作用点至求算弯矩点间的距离,m; h一板厚,m; E、E一一分别为混凝土和基础的弹性模量,MPa: c、μ 分别为混凝土和基础的泊松比 M—一取με为0.15时均布荷载位置下的弯矩系数,其值随αR变化,可由 表16-1中查得:
8 r 图 16-6 在无限大圆板上的圆形均布荷载图 16-7 距离集中荷载作用点为 r 处的弯矩 ( ) M M CP r t M P c = = + = 1 2 0 R （16－15） 当轮载距计算点一定距离时，可作为集中荷载，则距集中荷载作用点 r 处板 在单位宽度内的弯矩(见图 16-7)为： Mt = ( A+ cB)P = Mt P Mr = (B + c A)P = Mr P （16－16） 以上两式中：Mr——单位板宽内的辐向弯矩，MN·/m； Mt——单位板宽内的切向弯矩，MN·/m； P——作用在板上的车轮荷载，MN； C——随αR 值而变的系数，即 ( ) C tJ Rt t = dt + 1 3 0 1 其值可从表 16-1 中查，其中 J1(αRt)为第一类一阶贝塞尔 函数。 A 和 B——随αr 值而变的系数，其中 ( ) A r tJ rt t = dt + 1 2 1 1 3 0 ( ) ( ) B J rt tJ rt rt t t = − dt + 1 2 1 0 1 2 3 0 ] Ｊ0（αrt）——第一类零阶贝塞尔函数； t——任意参变量； α——与板的弯曲刚度有关的弹性特征系数，即： α＝ ( ) ( ) ( ) E D h E E s s s c 2 1 c s 1 6 1 1 2 3 2 2 3 − = − − R——车轮荷载当量圆半径，m； r——集中荷载作用点至求算弯矩点间的距离，m； h——板厚，m； Ec、Es——分别为混凝土和基础的弹性模量，MPa； μc、μs——分别为混凝土和基础的泊松比； M0——取μc 为 0.15 时均布荷载位置下的弯矩系数，其值随αR 变化，可由 表 16-1 中查得：
C与M。系数值 表16-1 R 0.02 0.0453 0.4143 0.3336 0.0436 0.04 0.0767 0.3509 1.5 0.3228 0.0394 0.06 0.1029 0.3139 0.3113 0.1257 0.2875 0.2994 0.0322 0.146002672 0.2872 0.0292 0.2 0.2231 0.2042 1.9 0.2750 0.0265 0.2749 0.1677 2.0 0.2627 0.0240 0.3107 0.1422 0.2385 0.0198 0.3354 0.1228 0215310.0164 0.6 0.3517 0.1073 0.1935 0.0136 0.3615 0.0945 0.0113 0.3662 0.0838 0.1547 0.0094 0.3669 0.0746 2.6 0.1378 1.0 0.3644 0.0667 2.7 0.1227 0.3593 0.0598 0.0537 0.0970 1.3 0.3435 0.0484 3.0 0.0863 M,M—一分别为距离集中荷载作用点rm)处的辐向和切向弯矩系数其值随 r变化,可由表16-2查得,μc取0.15 应当指出,在上述理论中所称的无限大圆形簿板,应符合下列条件: S=3-HcEs RB 1-Eh3=10 式中:S一一板的刚性指数 RB一与板面积相等的圆形板的半径,m 其余符号意义同前 A,B,M,M,系数值 表162 00203603028080334904024140037900165-0010800354 004|0305210225702715033911.50034200178-0012700315 006027290193502344030191600310001860013900282 0080.25010.170702082027251.70028000192-0015000251 0.1102324015300187902554180.025400195|-0015600225 02017750098801245019231910023000196001610201 03|01458006810090001560200020900195-0016300180 04|0123600473|00658013072100173-00189|-0016300144 05|0.10681003200048001116220.0143-001790015700115 06009330020300343009632300118001680015000093
9 C 与 M0 系数值 表 16-1 R C M0 R C M0 0.02 0.0453 0.4143 1.4 0.3336 0.0436 0.04 0.0767 0.3509 1.5 0.3228 0.0394 0.06 0.1029 0.3139 1.6 0.3113 0.0356 0.08 0.1257 0.2875 1.7 0.2994 0.0322 0.1 0.1460 0.2672 1.8 0.2872 0.0292 0.2 0.2231 0.2042 1.9 0.2750 0.0265 0.3 0.2749 0.1677 2.0 0.2627 0.0240 0.4 0.3107 0.1422 2.1 0.2385 0.0198 0.5 0.3354 0.1228 2.2 0.2153 0.0164 0.6 0.3517 0.1073 2.3 0.1935 0.0136 0.7 0.3615 0.0945 2.4 0.1732 0.0113 0.8 0.3662 0.0838 2.5 0.1547 0.0094 0.9 0.3669 0.0746 2.6 0.1378 1.0 0.3644 0.0667 2.7 0.1227 1.1 0.3593 0.0598 2.8 0.1091 1.1 0.3521 0.0537 2.9 0.0970 1.3 0.3435 0.0484 3.0 0.0863 Mr，Mt——分别为距离集中荷载作用点 r(m)处的辐向和切向弯矩系数其值随 r 变化，可由表 16-2 查得，μc 取 0.15。 应当指出，在上述理论中所称的无限大圆形簿板，应符合下列条件： S E E R h c s s c B = − − 3 1 1 2 2 3 3 ≥10 式中：S——板的刚性指数； RB——与板面积相等的圆形板的半径，m； 其余符号意义同前。 A，B， Mr , Mt 系数值 表 16-2 r A B Mr Mt r A B Mr Mt 0.02 0.3603 0.2808 0.3349 0.4024 1.4 0.0379 -0.0165 -0.0108 0.0354 0.04 0.3052 0.2257 0.2715 0.3391 1.5 0.0342 -0.0178 -0.0127 0.0315 0.06 0.2729 0.1935 0.2344 0.3019 1.6 0.0310 -0.0186 -0.0139 0.0282 0.08 0.2501 0.1707 0.2082 0.2725 1.7 0.0280 -0.0192 -0.0150 0.0251 0.1 0.2324 0.1530 0.1879 0.2554 1.8 0.0254 -0.0195 -0.0156 0.0225 0.2 0.1775 0.0988 0.1245 0.1923 1.9 0.0230 -0.0196 -0.0161 0.0201 0.3 0.1458 0.0681 0.0900 0.1560 2.0 0.0209 -0.0195 -0.0163 0.0180 0.4 0.1236 0.0473 0.0658 0.1307 2.1 0.0173 -0.0189 -0.0163 0.0144 0.5 0.1068 0.0320 0.0480 0.1116 2.2 0.0143 -0.0179 -0.0157 0.0115 0.6 0.0933 0.0203 0.0343 0.0963 2.3 0.0118 -0.0168 -0.0150 0.0093
07008220011200235008392400098001540013900075 08100729000400014900735250008200141-00129100061 00649-000170080006462600069-00127-0011700050 100058000062100025005712700057001142001050040 1.1|0.0520-0.0098-000200.0505280.00480.0102-0.00950.0033 L210046700127-00057004482910004100091-00085100027 1300420001490008600398301000340080-000750002 般现场浇筑的混凝土路面均能符合上述条件,故不需验算。同时,只有当 荷载中心点与板边距离(m)大于1.5/a时,才能用公式(16-15)(16-16进行计算 当单后轴汽车的两侧后轮同时作 用在板上时,由于两组车轮相距较远 其中一组后轮对另一组后轮下板所引 起的附加弯矩,相对来说是很小的 般可不予考虑。 至于两组后轮中央处板所承受的 弯矩要较一组后轮下板所产生的弯矩 小很多,一般也不予计算。所以对单后 轴车的两组后轮,通常仅按双轮胎的 组后轮的均布荷载来计算板的最大弯 矩。 当荷载相等而形成对称的多组车 轮作用在一块板上时,例如双后轴汽车 的四组后轮,平板挂车的多组后轮以及图168对称的多组车轮荷载作用在一块板上的弯 飞机起落架上的两组或四组轮子等,则 巨计算图式 应选其中一组轮子作主轮,按圆形均布荷载计算板所受的最大弯矩M;对其它 各组轮子则按集中荷载计算其在主轮轮迹中心下板所承受的附加辐向弯矩M和 切向弯矩M,然后把这些M和M按下式转算为x向弯矩和y向弯矩(如图16-8) M=M cOS B M,=Msin B+M coS B (16-17) 式中:Mx和M——分别为转算得的板在单位宽度上的x向弯矩和y向弯矩, NmB一集中荷载作用点与主轮轮迹中心点连线同同轴的夹角,度 最后把所有各个轮子对板所引起的x向弯矩与y向弯矩分别迭加起来,得出 ∑Mx和∑M。 例如,在图16-8所示的四组轮子中,选1号轮组作为主轮,按圆形均布荷 载计算弯矩;对2号、3号和4号三组轮子,按集中荷载计算弯矩,则总弯矩为: >M=(Mo +M2+Ma cos'B+M sin?B+M,4) >M=(MoL+M,+M3 sin?B +M cos B+M (16-18) 按上述方法所算得的弯矩,只是板中部受荷时所产生的弯矩。由于荷载作用 于板边、板角隅时的弯矩,弹性半空间体地基板尚没有解答,过去曾根据车轮
10 0.7 0.0822 0.0112 0.0235 0.0839 2.4 0.0098 -0.0154 -0.0139 0.0075 0.8 0.0729 0.0040 0.0149 0.0735 2.5 0.0082 -0.0141 -0.0129 0.0061 0.9 0.0649 -0.0017 0.0080 0.0646 2.6 0.0069 -0.0127 -0.0117 0.0050 1.0 0.0580 -0.0062 0.0025 0.0571 2.7 0.0057 -0.0114 -0.0105 0.0040 1.1 0.0520 -0.0098 -0.0020 0.0505 2.8 0.0048 -0.0102 -0.0095 0.0033 1.2 0.0467 -0.0127 -0.0057 0.0448 2.9 0.0041 -0.0091 -0.0085 0.0027 1.3 0.0420 -0.0149 -0.0086 0.0398 3.0 0.0034 -0.0080 -0.0075 0.0022 一般现场浇筑的混凝土路面均能符合上述条件，故不需验算。同时，只有当 荷载中心点与板边距离(m)大于 1.5／α时，才能用公式(16-15)、(16-16)进行计算。 当单后轴汽车的两侧后轮同时作 用在板上时，由于两组车轮相距较远， 其中一组后轮对另一组后轮下板所引 起的附加弯矩，相对来说是很小的，一 般可不予考虑。 至于两组后轮中央处板所承受的 弯矩要较一组后轮下板所产生的弯矩 小很多，一般也不予计算。所以对单后 轴车的两组后轮，通常仅按双轮胎的一 组后轮的均布荷载来计算板的最大弯 矩。 当荷载相等而形成对称的多组车 轮作用在一块板上时，例如双后轴汽车 的四组后轮，平板挂车的多组后轮以及 飞机起落架上的两组或四组轮子等，则 应选其中一组轮子作主轮，按圆形均布荷载计算板所受的最大弯矩 M0；对其它 各组轮子则按集中荷载计算其在主轮轮迹中心下板所承受的附加辐向弯矩Mr 和 切向弯矩 Mt，然后把这些 Mr和 Mt按下式转算为 x 向弯矩和 y 向弯矩(如图 16-8)： Mx = Mr + Mt cos sin 2 2 My = Mr + Mt sin cos 2 2 （16-17） 式中：Mx 和 My——分别为转算得的板在单位宽度上的 x 向弯矩和 y 向弯矩， MN·m/m； β——集中荷载作用点与主轮轮迹中心点连线同 x 同轴的夹角，度。 最后把所有各个轮子对板所引起的 x 向弯矩与 y 向弯矩分别迭加起来，得出 ΣMx 和ΣMy。 例如，在图 16-8 所示的四组轮子中，选 1 号轮组作为主轮，按圆形均布荷 载计算弯矩；对 2 号、3 号和 4 号三组轮子，按集中荷载计算弯矩，则总弯矩为： M x = M + Mr + Mr + Mt + Mt ( cos sin ) 01 2 3 2 3 2 4 M y = M + Mt + Mr + Mt + Mr ( sin cos ) 01 2 3 2 3 2 4 （16-18） 按上述方法所算得的弯矩，只是板中部受荷时所产生的弯矩。由于荷载作用 于板边、板角隅时的弯矩，弹性半空间体地基板尚没有解答，过去曾根据车轮 图 16-8 对称的多组车轮荷载作用在一块板上的弯 矩计算图式