当各时点的间隔相等时，即T=-==T,式(5-5)可演化为 7-2 (5-6) n-I 式(5-4)形式上表现为首末两项观察值折半，故称为“首末折半法"”。 「5-41根据表5-1中年末总人口数序列.计算1991~2000年间的年平均人口数 解：根据式(5-6)得 433+15823++125909+126583 Y=. -=120967.4(万人) 11=1 2.根据相对数或平均数时间数列计算序时平均数 相对数和平均数是两个有联系的相对数对比求得，用符号表示即c=。因此，由相对 数或平均数序列计算序时平均数，不能直接根据该相对数或平均数序列中各项观察值简单平 均计算（即不应当用c-Σc/n的公式），而应当先分别计算构成该相对数或平均数序列的 分子序列和分母序列的序时平均数，再对比求得。用公式表示为： c- (5-7) [例55]某企业上半年合同交货情况如表5-4所示，计算上半年平均合同履约率。 表5-4 合同交货情况 月份 1 3 A56 合同定货量（万件 20 30 25 20 合同交货量（万件 26 20 履约率(%) 95 90 100 95 97 100 解：根据式(5-7)，得 =09+27+25+38+29+20/6=958% (20+30+25+40+30+20)/6 [例5-6]某企业下半年劳动生产率资料如表5-5所示，计算平均月劳动生产率和下 半年平均职工劳动生产率。 表5-5某企业下半年劳动生产率资料 6月7月8月9月10月11月12月 (a)总产值/万元 87 91949610298 91 (b)月末职工人数/人 460 470480 4Q0 400 480 450 (c)劳动生产率/（元/人）19481957197920002103 20211957 6
6 当各时点的间隔相等时，即 T1=T2=.=Tn-1，式（5–5）可演化为： 1 2 . 2 2 1 1 - + + + + = - n Y Y Y Y Y n n （5–6） 式（5–4）形式上表现为首末两项观察值折半，故称为“首末折半法” 。 [例 5–4]根据表 5–１中年末总人口数序列，计算 1991～2000 年间的年平均人口数。 解：根据式（5–6）得 120967 .4 11 1 2 126583 115823 125909 2 114333 = - + + + + = L Y （万人） 2.根据相对数或平均数时间数列计算序时平均数 相对数和平均数是两个有联系的相对数对比求得，用符号表示即 b a c = 。因此，由相对 数或平均数序列计算序时平均数， 不能直接根据该相对数或平均数序列中各项观察值简单平 均计算（即不应当用 c = S c / n 的公式），而应当先分别计算构成该相对数或平均数序列的 分子序列和分母序列的序时平均数，再对比求得。用公式表示为： b a c = （5–7） [例 5-5]某企业上半年合同交货情况如表 5–４所示，计算上半年平均合同履约率。 表 5–4 合同交货情况 月 份 1 2 3 4 5 6 合同定货量（万件） 合同交货量（万件） 履约率（％） 20 19 95 30 27 90 25 25 100 40 38 95 30 29 97 20 20 100 解：根据式（5–7），得： 95 .8 % (20 30 25 40 30 20 )/ 6 (19 27 25 38 29 20 )/ 6 = + + + + + + + + + + c = [例 5–6 ]某企业下半年劳动生产率资料如表 5–5 所示，计算平均月劳动生产率和下 半年平均职工劳动生产率。 表 5–5 某企业下半年劳动生产率资料 6 月 7 月 8 月 9 月 10 月 11 月 12 月 （a）总产值/万元 （b）月末职工人数/人 （c）劳动生产率/（元/人） 87 460 1 948 91 470 1 957 94 480 1 979 96 480 2 000 102 490 2 103 98 480 2 021 91 450 1 957
平均月劳动生产率： (∑a)/n (6,/2+b2+.+bn/2)n-1) (91+94+96+102+98+9)/6 (460/2+470+480+480+490+480+450/2)/(7-1) =2003.5 下半年平均月劳动生产率： Ja (6,/2+b2+.+bn12)1n-) 91+94+96+102+98+91 =(460/2+470+480+480+490+480+450/2)/(7-) =12021 或：平均月劳动生产率乘月份个数，即nc-2003.5×6-12021(元/人) 5.2.3增长量和平均增长量 1.增长量 增长量是报告期水平与基期水平之差，用以说明现象在一定时期内增减的绝对水平，也 称增长水平。由于所选择基期的不同，增长量可分为逐期增长量和累积增长量 逐期增长量是报告期水平与其前一期水平之差，说明本期较上期增减的绝对数量：累积 增长量是报告期水平与某一固定基期水平之差，说明报告期与某一固定时期相比增减的绝对 数量。 设增长量为△上，逐期增长量和累积增长量的一般形式可以写为： 逐期增长量：△Y=y-Y(i=,2,.,n) (5-8 累积增长量：△Y=y,-Y。（i=1,2,m (5-9) 逐期增长量与累积增长量之间存在一定的关系：各逐期增长量的和等于相应时期的累积 增长量：两相邻时期累积增长量之差等于相应时期的逐期增长量。用公式分别表示为 化，-y)=y-xi=l2.,m) (5-10) Y,-Y-(Y-Y)=-y=l,2,.,m) (5-11) 具体计算实例见表5-6。 表5-619901999年国内生产总值 (单位：亿元) 年份199019911992199319941995199619971998.1999 7
7 解：从表 5–5 中可以看到，劳动生产率的分子总产值是时期指标，分母职工人数是时 点指标。根据式（5–7）得 平均月劳动生产率： ( / 2 / 2)/( 1) ( )/ 1 + 2 + + - = Â b b b n a n L n 2003. 5 (460 / 2 470 480 480 490 480 450 / 2) /(7 1) (91 94 96 102 98 91)/ 6 = + + + + + + - + + + + + = 下半年平均月劳动生产率： ( / 2 / 2)/( 1) 1 + 2 + + - = Â b b b n a L n 12021 (460 / 2 470 480 480 490 480 450 / 2)/(7 1) 91 94 96 102 98 91 = + + + + + + - + + + + + = 或：平均月劳动生产率乘月份个数 n，即nc = 2003. 5¥ 6 = 12021(元/人) 5.2.3 增长量和平均增长量 1.增长量 增长量是报告期水平与基期水平之差，用以说明现象在一定时期内增减的绝对水平， 也 称增长水平。由于所选择基期的不同，增长量可分为逐期增长量和累积增长量。 逐期增长量是报告期水平与其前一期水平之差，说明本期较上期增减的绝对数量；累积 增长量是报告期水平与某一固定基期水平之差， 说明报告期与某一固定时期相比增减的绝对 数量。 设增长量为ΔYi，逐期增长量和累积增长量的一般形式可以写为： 逐期增长量：DY = Y i - Y i - 1 ( i =1,2,.,n) （5–8） 累积增长量：DY = Y i - Y 0 ( i =1,2,.n) （5–9） 逐期增长量与累积增长量之间存在一定的关系： 各逐期增长量的和等于相应时期的累积 增长量；两相邻时期累积增长量之差等于相应时期的逐期增长量。用公式分别表示为： Â= - - = - n i Yi Y i Y n Y 1 1 0 ( ) (i = 1 ,2 ,L,n ) （5–10） ( ) ( 1 ,2 , , ) 0 1 0 1 Y Y Y Y Y Y i n i - - i - - = i - i - = L （5–11） 具体计算实例见表 5–6。 表 5–6 1990 ~1999 年国内生产总值 （单位：亿元） 年份 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999
国内生产总值18547.921617.926638.134634.446759.458478.167884.674462.678345.281910.9 逐期增长量 3070 5020.27996.3121251171879406.56578 3882.6 3565.7 累积增长量 3070 8090.216086.528211.539930.249336.755914759797.3 6336 2.平均增长量 平均增长量是观察期名逐期增长量的名知时平均数，用于描述现象在观密阳内平均每期增 减的数最，也称平均增长水平。它可以根据逐期增长量求得，也可以根据累积增长量求得 设平均增长量为△了，其计算公式为： ∑化，-Y) A7= yn-。 (5-12) n n 式中，刀为逐期增长量个数，它等于观察数据的个数减1， [例5-7]以表5-1资料，计算19912000年国内生产总值年平均增长量 解：根据式(5-12)得 47=3070++74927_89403.6-1854797085.7 10 11-1 10 =7085.57(亿元) 5.3时间序列的速度指标分析 时间序列的速度分析指标有：发展速度、增长速度、平均发展速度、平均增长速度四种， 5.3.1发展速度 发展速度是同一现象在两个不同时期发展水平对比的结果，用于描述现象在观察期内的 相对发展变化程度，说明报告期水平是基期水平的百分之几或若干倍。当发展速度的计算结 果大于100%，表明现象发展水平上升，反之，表明现象发展水平下降。当分子指标特别大而 分母指标特别小的时候，也可以用倍数和翻番数表示，反之，可以用千分数或万分数表示 其计算公式： 发展速度=报告期水平一×100% (5-13) 基期水平 由于采用的基期不同，发展速度可以分为环比发展速度和定基发展速度。环比发展速度 是报告期水平与前一时期水平之比，说明现象逐期发展变化的程度：定基发展速度是报告期 水平与某一固定时期水平之比，说明现象在整个观察期内总的发展变化程度，有总速度之称 设发展速度为：，环比发展速度和定基发展速度的一般形式可以写为： 环比发展速度：X,= Y (i=1.,n) (5-14) (i=1,.,n) (5-15) 环比发展速度与定基发展速度之间存在者重要的数量关系：(1)观察期内各个环比发展 速度的连乘积等于相应时期的定基发展速度：(2)两个相邻的定基发展速度，等于相应时期 的环比发展速度。即 8
8 国内生产总值 逐期增长量 累积增长量 18547.9 － － 21617.9 3070 3070 26638.1 5020.2 8090.2 34634.4 7996.3 16086.5 46759.4 12125 28211.5 58478.1 11718.7 39930.2 67884.6 9406.5 49336.7 74462.6 6578 55914.7 78345.2 3882.6 59797.3 81910.9 3565.7 63363 2.平均增长量 平均增长量是观察期各逐期增长量的序时平均数， 用于描述现象在观察期内平均每期增 减的数量，也称平均增长水平。它可以根据逐期增长量求得，也可以根据累积增长量求得。 设平均增长量为DY ，其计算公式为： n Y Y n Y Y n n i i i Y 1 0 1 ( ) - = Â - = - D = （5–12） 式中，n 为逐期增长量个数，它等于观察数据的个数减 1。 [例 5–7 ]以表 5–1 资料，计算 1991~2000 年国内生产总值年平均增长量 解：根据式（5–12）得 10 70855. 7 11 1 89403. 6 18547. 9 10 3070 7492. 7 = - - D ＝ ＋ ＋ ＝ L Y = 7085. 57 （亿元） 5.3 时间序列的速度指标分析 时间序列的速度分析指标有：发展速度、 增长速度、平均发展速度、平均增长速度四种。 5.3.1 发展速度 发展速度是同一现象在两个不同时期发展水平对比的结果， 用于描述现象在观察期内的 相对发展变化程度，说明报告期水平是基期水平的百分之几或若干倍。当发展速度的计算结 果大于100%，表明现象发展水平上升，反之，表明现象发展水平下降。当分子指标特别大而 分母指标特别小的时候，也可以用倍数和翻番数表示，反之，可以用千分数或万分数表示。 其计算公式： 发展速度＝ ¥ 100 % 基期水平 报告期水平 （5–13） 由于采用的基期不同， 发展速度可以分为环比发展速度和定基发展速度。环比发展速度 是报告期水平与前一时期水平之比，说明现象逐期发展变化的程度；定基发展速度是报告期 水平与某一固定时期水平之比， 说明现象在整个观察期内总的发展变化程度， 有总速度之称。 设发展速度为 Xi，环比发展速度和定基发展速度的一般形式可以写为： 环比发展速度： ( 1 , , ) 1 i n Y Y X i i i = = L - （5–14） 定基发展速度： ( 1 , , ) 0 i n Y Y X i i = = L （5–15） 环比发展速度与定基发展速度之间存在着重要的数量关系：（1）观察期内各个环比发展 速度的连乘积等于相应时期的定基发展速度；（2）两个相邻的定基发展速度，等于相应时期 的环比发展速度。即
吃去血， (5-16) YYY Y。Y。Ya (5-17) 利用上述关系，可以根据一种发展速度去推算另一种发展速度。 5.3.2增长速度 增长速度也称增长率，是增长量与基期水平之比，用于说明报告期水平较基期水平的相 对增减程度。它可以根据增减量求得，也可以根据发展速度求得。其基本计算公式为： 增长速度()=基期水平 增减量报告期水平一基期水平 基期水平 (5-18) =发展速度(X)-1 从上式可以看出，增长速度等于发展速度减1，因此，当发展速度大于1时，增长速度 为正值，表示正增长：当发展速度小于1时，增长速度为负值，表示负增长。 由于采用的基期不同，增长速度也可分为环比增长速度和定基增长速度。前者是逐期增 长量与前一时期水平之比，用于描述现象逐期增长的程度，后者是累积增长量与某一固定时 期水平之比，用于描述现象在观察期内总的增长程度。 设增长速度为△X环比增长速度和定基增长速度的公式可写为： 环比增长速度：AY==兰-1口=l (5-19) 定基增长遽度：△Y==-1=l, (5-20) 。 Yo 需要指出，环比增长速度与定基增长速度之间没有直接的换算关系。在由环比增长速度 推算定基增长速度时，可先将各环比增长速度加1后连乘，再将结果减1，即得定基增长速 度。 [例5-8]我国19952002年邮电业务总量及其动态分析指标如表5-7所示。从表中 可以看出所计算的发展速度和增长速度的关系。 表5-7邮电业务总量及其速度分析指标计算表 年份 19951996199719981999200020012002 邮电业务总量（亿元）989 134217732431333147435933722 发展速度环比 135.7132.1137.1137.0142.4125.1121.7 (%) 定基100135.7 179.3245.8336.8479.6599.9730.1 增长速度环比 35.732.137.137.042.425.121.7 (%)定基10035.779.3145.8236.8379.6499.9630.1 5.3.3平均发展速度和平均增长速度 平均发展速度是现象各个时期环比发展速度的平均数，用于描述现象在整个观察期内平 9
9 ( ) 1 0 ’ = ’为连乘符号 - Y Y Y Y n i i （5–16） 0 1 1 0 - - ¸ = i i i i Y Y Y Y Y Y （5–17） 利用上述关系，可以根据一种发展速度去推算另一种发展速度。 5.3.2 增长速度 增长速度也称增长率， 是增长量与基期水平之比，用于说明报告期水平较基期水平的相 对增减程度。它可以根据增减量求得，也可以根据发展速度求得。其基本计算公式为： ( ) 1 ( ) = - D = = X X 发展速度 基期水平 报告期水平－基期水平 基期水平 增减量 增长 速度 （5–18） 从上式可以看出，增长速度等于发展速度减 1，因此，当发展速度大于 1 时，增长速度 为正值，表示正增长；当发展速度小于 1 时，增长速度为负值，表示负增长。 由于采用的基期不同， 增长速度也可分为环比增长速度和定基增长速度。前者是逐期增 长量与前一时期水平之比，用于描述现象逐期增长的程度，后者是累积增长量与某一固定时 期水平之比，用于描述现象在观察期内总的增长程度。 设增长速度为ΔX，环比增长速度和定基增长速度的公式可写为： 环比增长速度： 1 ( 1 , , ) 1 1 1 i n Y Y Y Y Y X i i i i i = - = L - D = - - - （5–19） 定基增长速度： 1 ( 1 , , ) 0 0 0 i n Y Y Y Y Y X i = i - = L - D = （5–20） 需要指出，环比增长速度与定基增长速度之间没有直接的换算关系。在由环比增长速度 推算定基增长速度时，可先将各环比增长速度加 1 后连乘，再将结果减 1，即得定基增长速 度。 [例 5–8 ]我国 1995~2002 年邮电业务总量及其动态分析指标如表 5–7 所示。从表中 可以看出所计算的发展速度和增长速度的关系。 表 5–7 邮电业务总量及其速度分析指标计算表 年 份 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 邮电业务总量 （亿元） 989 1 342 1 773 2 431 3 331 4 743 5 933 7 221 发展速度 环比 － 135.7 132.1 137.1 137.0 142.4 125.1 121.7 （％） 定基 100 135.7 179.3 245.8 336.8 479.6 599.9 730.1 增长速度 环比 － 35.7 32.1 37.1 37.0 42.4 25.1 21.7 （％） 定基 100 35.7 79.3 145.8 236.8 379.6 499.9 630.1 5.3.3 平均发展速度和平均增长速度 平均发展速度是现象各个时期环比发展速度的平均数， 用于描述现象在整个观察期内平
均发展变化的程度。 平均增长速度说明现象在整个观察期内平均增长变化的程度，也称平均增长率，它通常 用平均发展速度减1来求得。即： 平均增长速度：平均发展速度一1 (5-21) 平均发展速度的计算通常采用水平法和累计法· 1.水平法（几何平均法) 根据各期的环比发展速度采用几何平均法计算，计算公式为： (5-22) 式中，下为平均发展速度：：为各期环比发展速度：·为环比发展速度的个数。 平均发展速度的计算公式还可以表示为： X- YY Yn (i=1,2,n)） (5-23) [例5-9]根据表5-7资料，计算我国1995^2002年邮电业务总量平均发展速度。 解：根据式(5-22)，得 X-1/135.7%×132.1%×137.1%×137.0%×142.4%×125.1%×121.7 =132.8% 根据式(5-23)，得 应用水平法计算平均发展速度的基本思想和原理是，从最初水平6出发，每期按平均 发展速度灭发展，经过期后将达到最末水平，即6×X”=了。因此，用水平法计算 的平均发展速度推算出的最末期数值与最末期实际观察值是一致的。从计算公式可以看出， 按水平法计算的平均发展速度，实际上只与序列的最初观察值和最末观察值y有关，而 与其它各观察值无关，这一特点表明，水平法旨在考察现象在最末一期所应达到的发展水平 所以，在实际应用中，如果我们所关心的是现象在最后一期应达到的水平，例如最末期所达 到的工业生产能力、产值、人口数、产量、产值、国民收入、工资总额、劳动生产率、单位 成本、商品流通费等的增长等，采用水平法计算平均发展速度比较合适。 2.计法方程式法) 用解高次方程的正根来计算平均发展速度。采用这种计算方法，要求现象在初期水平基 础上，按某一平均发展速度达到的各期水平之和，与各期实际水平总和相一致，即： yX+yx2+.+yx”=∑y X+2+.+X”= (5-24) Yo
10 均发展变化的程度。 平均增长速度说明现象在整个观察期内平均增长变化的程度，也称平均增长率，它通常 用平均发展速度减 1 来求得。即： 平均增长速度= 平均发展速度－1 （5–21） 平均发展速度的计算通常采用水平法和累计法。 1.水平法（几何平均法） 根据各期的环比发展速度采用几何平均法计算，计算公式为： n n n X = x · x · · x · x 1 2 L -1 （5–22） 式中， X 为平均发展速度；Xi为各期环比发展速度；n 为环比发展速度的个数。 平均发展速度的计算公式还可以表示为： n n i i Y Yn Y Y Y Y Y Y X 1 1 0 2 0 1 = ¥ ¥ ¥ = - K （i = 1,2 ,K, n ) （5–23） [例 5–9]根据表 5–7 资料，计算我国 1995~2002 年邮电业务总量平均发展速度。 解：根据式（5–22），得 132. 8% 135. 7% 132. 1% 137. 1% 137. 0% 142. 4% 125. 1% 121. 7 7 = X = ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ ¥ 根据式（5–23），得 132 .8 % 989 7221 X = 7 = 应用水平法计算平均发展速度的基本思想和原理是，从最初水平 Y0 出发，每期按平均 发展速度 X 发展，经过 n 期后将达到最末水平 Yn，即 Y0 n n ¥ X = Y 。因此，用水平法计算 的平均发展速度推算出的最末期数值与最末期实际观察值是一致的。从计算公式可以看出， 按水平法计算的平均发展速度，实际上只与序列的最初观察值 Y0和最末观察值 yn 有关，而 与其它各观察值无关， 这一特点表明， 水平法旨在考察现象在最末一期所应达到的发展水平。 所以，在实际应用中，如果我们所关心的是现象在最后一期应达到的水平，例如最末期所达 到的工业生产能力、产值、人口数、产量、产值、国民收入、工资总额、劳动生产率、单位 成本、商品流通费等的增长等，采用水平法计算平均发展速度比较合适。 2．累计法（方程式法） 用解高次方程的正根来计算平均发展速度。采用这种计算方法，要求现象在初期水平基 础上，按某一平均发展速度达到的各期水平之和，与各期实际水平总和相一致，即： Â = + + + = n i i n Y X Y X Y X Y 1 0 2 0 0 L 0 1 2 Y Y X X X n i i n Â= + +L + = （5–24）