第六章定态近似方法 量子态满足 Schroedinger方程ih,(1)=Bv(F, 但是可以精确求解的物理问题太少,大部分实际问题不能严格求解,只能用近似方法。 不同的问题用不同的近似方法 1)H不含时 求解定态 Schroedinger方程Hy(F)=E(F) 束缚问题:求能谱与态函数 散射问题:求散射几率 方法:定态微扰论,变分法,强耦合展开 2)H含时 能量无确定值,可以在不能级间产生跃迁 求跃迁几率 方法:含时微扰论 61定态微扰论思想 定态方程Hn)=Enn) 令H=0+B0, 要求:1)0包含了的主要部分,即很小。由于B0与均为算符,比较大小是 从经典对应来理解,严格来说,是比较这两个算符的矩阵元,见下面讨论 2)要求的定态方程p)0=En|)可严格求解。 思想:在H0表象逐级近似求解H0引趣的态和能谱的修正。 En=E0+E+E2+…, )=|n)o+)+n)° 代入待求的定态 Schroedinger方程 (户+0)n++)0+…)=(E+E+E+-(n)+
第六章 定态近似方法 量子态满足 Schroedinger 方程 ( ) ( ˆ i r, , t H r t ψ ψ ∂ = ∂ t) K K = 。 但是可以精确求解的物理问题太少，大部分实际问题不能严格求解，只能用近似方法。 不同的问题用不同的近似方法 1） Hˆ 不含时 求解定态 Schroedinger 方程 ( ) ( ) H r ˆψ ψ = E r K K 束缚问题：求能谱与态函数 散射问题：求散射几率 方法：定态微扰论，变分法，强耦合展开 2） Hˆ 含时 能量无确定值，可以在不能级间产生跃迁 求跃迁几率 方法：含时微扰论 6.1 定态微扰论思想 定态方程 ˆH n En = n 令 ( ) 0 1( ) Hˆ ˆ = H + Hˆ ， 要求：1） ( ) 0 Hˆ 包含了 Hˆ 的主要部分，即 ( ) 1 Hˆ 很小。由于 (0) Hˆ 与 ( ) 1 Hˆ 均为算符，比较大小是 从经典对应来理解，严格来说，是比较这两个算符的矩阵元，见下面讨论。 2）要求 (0) Hˆ 的定态方程 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) ˆH n En = n 0 可严格求解。 思想：在 ( ) 0 Hˆ 表象逐级近似求解 ( ) 1 Hˆ 引起的态和能谱的修正。 ( ) 0 1( ) (2) E E n n = + En + En +"， ( ) 0 1( ) ( ) 2 n n = + n + n +" 代入待求的定态 Schroedinger 方程 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 2 0 1 2 0 1 2 ˆ ˆ H H n n n + + n n + n +" " = E + E + E + n + n + n +" 1
在同一级近似,得到关于E和)的方程组。 零级近似: n)o)=Efo nyo) 严格求解得到E和n)0 级近似:B|m)9+n)=E0|+En) (P-E)=-(分0-E0)) 进入厅表象,求解E和|n。 二级近似:(P0-E)n)2=-(B0-E川n+EP) 进入厅表象,求解E和n}2。 般情形,只求到第一个不为零的修正项 求解微扰修正是在H0表象,要考虑H0的本征态是否有简并的情形 先考虑无简并情形。 62零级能量无筒并 1)将一级近似方程进入0表象 )=∑p)o( 了0-E 0)1:(0)(0 1)9=(0-E)) 左乘(m,得 2(E-E1)Smi to(in)=-)(m Hro n)0+E, Sm=-Hm+Em Sn 其中,Hm=0(ml0)0是在厅表象中的矩阵元,上式巳经考虑了的本征态的 正交归一化。 0+E0 当m=n时,E=P, 当m≠n时,叫(mn)=
在同一级近似，得到关于 ( ) 和i En ( )i n 的方程组。 零级近似： ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ˆH n En = n ， 严格求解得到 ( ) 和0 En (0) n 。 一级近似： ( ) 0 1 ( ) 1 0 ( ) ( ) ( ) 0 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ˆ ˆ H n H n n + = n E n + E n 0 即 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 0 1 1 ( ) ˆ ˆ H − = E n n n − H − E n ， 进入 ( ) 0 Hˆ 表象，求解 ( ) 和1 En ( ) 1 n 。 二级近似： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 2 1 1 1 ( ) ( ) 2 ( ) ˆ ˆ n n 2 H E n H E n − = − − n + E n ， 进入 ( ) 0 Hˆ 表象，求解 ( ) 和2 En (2) n 。 …… 一般情形，只求到第一个不为零的修正项。 求解微扰修正是在 ( ) 0 Hˆ 表象，要考虑 ( ) 0 Hˆ 的本征态是否有简并的情形。 先考虑无简并情形。 6.2 零级能量无简并 1）将一级近似方程进入 (0) Hˆ 表象： ( ) 1 0( ) (0) ( ) i n i = ∑ i n 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 1 1 1 ( ) 0 ˆ ˆ n n i ∑ H E− = i i n − H − E n 左乘( ) 0 m ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 1 0 1 0 1 (1) (1) ˆ i n mi n mn mn n mn i ∑ E E− = δ δ i n − m H n + E = −H + E δ ， 其中， ( ) 1 (0) (0) (1) ˆ Hmn = m H n 是 ( ) 1 Hˆ 在 (0) Hˆ 表象中的矩阵元，上式巳经考虑了 ( ) 0 Hˆ 的本征态的 正交归一化。 ( ) ( ) ( ) 0 0 ( ) 0 1( ) ( ) 1 ( ) 1 E E m n m mn n − n = −H + E δ mn 当m = n 时， ( ) ( n ) ， 1 1 En m = H 当m ≠ n 时， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 mn n m H m n E E = − ， 2
为了求得完整的,还需知道(mn 由近似到一级的归一化(忽略二级及二级以上高级修正) 1=()=(+)+)) n=0(nn)0+ (1)+(n), 由于(l)=1, (ln9+("(on)) 要求(mn)的实部为零,只有虚部,即 =Id E ep+0=可m 0)(近似到一级) m)(近似到一级 说明:(mn)=a的贡献只是增加一个相因子,a的取值不影响几率计算的结果 取a=0,近似到一级的定态 Schroedinger方程的解是 En H 2)将二级近似方程进入0表象 1}2=∑eon)2 (HO-Et) 左乘(m,得 ∑(E-E0)(n)=-∑(H-E"bn)n+E°bm, Em-E)(mln)2=-∑mo()+Emln)+Ean
为了求得完整的 ( ) 1 n ，还需知道( ) 0 1( ) m n 。 由近似到一级的归一化（忽略二级及二级以上高级修正）： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 0 1 ( ) 0 ( ) 0 (1) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 = = n n n + n n + n = n n + n n + n n 1 ， 由于 ( ) 0 ( ) 0 n n =1， 有 ( ) 0 1( ) ( ) 1 ( ) 0 n n + = n n 0， ( ) ( ) ( ) ( ) ( )* 0 1 0 1 n n + = n n 0， 要求( ) 0 ( ) n n 1 的实部为零，只有虚部，即 ( ) 0 ( ) 1 n n = iα 故 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 0 0 0 0 mn m n n m H n n n n i n m E E α ≠ = + = + + − ∑ 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 0 i mn m n n m H e n m E E α ≠ = + − ∑ （近似到一级） ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 i mn m n n m H e n m E E α ≠ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − ∑ 0 （近似到一级） 说明：( ) 0 ( ) 1 n n = iα 的贡献只是增加一个相因子，α 的取值不影响几率计算的结果。 取α = 0 ，近似到一级的定态 Schroedinger 方程的解是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 0 0 0 0 n n nn mn m n n m E E H H n n m ≠ E E ⎧ = + ⎪ ⎨ ⎪ = + ⎩ − ∑ 。 2）将二级近似方程进入 (0) Hˆ 表象： ( ) 2 0( ) (0) ( ) i n i = ∑ i n 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 0 2 1 1 ( ) 0 ( ) 0 ( ) 1 ( ) 2 (0) ˆ ˆ n n i i n H E i i n H E i i n E n ≠ ∑ ∑ − = − − + n 左乘( ) 0 m ，得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 1 1 0 1 2 i n mi mi n mi n mn i i n E E δ δ i n H E i n E ≠ ∑ ∑ − = − − + δ ， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 0 2 1 (0) 1 1 0 1 2 m n mi n n mn i n E E m n H i n E m n E δ ≠ − = −∑ + + 3
当m=n时,(|n) EP=∑Hm()=∑ HO 当m≠n时,可以得到(mn)(自己看书,计算)。 于是,近似到二级的定态 Schroedinger方程的解是 E=E0)+H(1 3)收敛性讨论: 微扰论能实际应用的条件是收敛性,即 这就是0远小于的意义:在H0表象,H(0的矩阵元远小于H0的两个对应能级之差 由此可知 1)上述方法只适用于户有分离谱。对于连续谱,|E9-E→0,上述不等式不可能存立。 2)有简并时也不能用。有简并时,对态求和∑包含了与n)有相同能量E的简并 态,此时E-E=0,上述不等式也不可能存立。 例题:带电谐振子在外电场中的运动 电荷q,场强E,=_h2d2 2m dx mo'x'-gex 对于弱电场E,取 厅=0+B,B 2m dx 零级故似:的叫pE,E-(:p0,尼米多项式以(,无筒并 级近似:Ep=H
当m = n 时， ( ) 0 1( ) n n = iα = 0， ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 2 (0) (1) (1) 0 0 0 0 in ni in n ni i n i n i n n i n i H H H E H i n ≠ ≠ E E ≠ E E = = = − − ∑ ∑ ∑ 当m ≠ n 时，可以得到( ) 1 ( ) m n 2 （自己看书，计算）。 于是，近似到二级的定态 Schroedinger 方程的解是 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 0 1 0 0 1 0 0 0 0 in n n nn i n n i in i n n i H E E H E E H n n i n E E ≠ ≠ ⎧ ⎪ = + + ⎪ − ⎨ ⎪ ⎪ = + + ⎩ − ∑ ∑ 2 3）收敛性讨论： 微扰论能实际应用的条件是收敛性，即 ( ) ( ) ( ) 1 0 0 1 in n i H E E− ， 即 ( ) 1 0( ) ( ) H E in n − Ei 0 。 这就是 ( ) 1 Hˆ 远小于 (0) Hˆ 的意义：在 (0) H 表象， ( ) 1 H 的矩阵元远小于 ( ) 0 H 的两个对应能级之差。 由此可知： 1）上述方法只适用于 ( ) 0 Hˆ 有分离谱。对于连续谱， ( ) 0 0( ) 0 E E i n − → ，上述不等式不可能存立。 2） (0) Hˆ 有简并时也不能用。有简并时，对态求和 i ∑ 包含了与 (0) n 有相同能量 的简并 态，此时 (0) En ( ) 0 0( ) 0 E E n i − = ，上述不等式也不可能存立。 例题：带电谐振子在外电场中的运动 电荷q ，场强ε ， 2 2 2 2 2 1 ˆ 2 2 d H m x m dx = − + ω ε − = q x 对于弱电场ε ，取 ( ) 0 1( ) Hˆ ˆ = H + Hˆ ， ( ) 2 2 0 2 2 2 1 ˆ 2 2 d H m x m dx = − + ω = ( ) 1 ， Hˆ = −qε x 零级近似： ( ) 0 0 ( ) 0 0 ( ) ( ) ˆH n En = n ， ( ) 0 1 2 E n n ω ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ = ，厄米多项式 ( ) 0 ( ) n ψ x = x n ，无简并。 一级近似： ( ) ( ) ， 1 1 E H n nn = = −qε xnn 4
E()-E (E0-E 进入坐标表象: v{()=(n)=-(+1(7+1)0-√(xtn-19 imho 2m(+9m) 二级近似:E2)= 8 h 2 E()-E 故精确到第二级,有 能否有精确解? nd+1mo'x'-qexv(x)=Ev(x) 2m dx 2 配平方:|-d2+1 2m d-2+molx-_ge ()=/+ya 2m2 v(x) mo 有 2m dx 2 m52w(5)=E+ amgen 解为 v(5)=v(x-,厄米多项式 mo
( ) 0 0( ) , 1 , 1 1 ˆ 2 2 mn m n m n n n x m x n m δ δ ω + − ⎛ ⎞ + = = ⎜ + ⎜ ⎝ ⎠ = ⎟ ⎟ ， xnn = 0 ， ( ) 。 1 0 En = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 2 mn m n n m n n n n H n n n m q n E E m E E E E ε ≠ ω + − ⎛ ⎞ + = = − ⎜ ⎟ + + − − ⎝ ⎠ − ∑ = 0 n − ( ) ( ) ( ) 0 0 3 1 1 1 2 q n n n n m ω = + + − = − 。 进入坐标表象： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 3 1 1 1 2 n q x x n n x n n x n m 0 ψ ω = = + + − − = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 0 1 1 3 1 2 n n q n x n m ψ ψ ω = + + − − = x 。 二级近似： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 1 , 1 , 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 2 1 2 2 2 m n m n mn n m n m n n m n m n n H q q E E E m m E E δ δ ε ε ω ω + − ≠ ≠ ⎛ ⎞ + ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ = = = − − − ∑ ∑= 故精确到第二级，有 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 0 1 0 0 0 1 1 3 1 2 2 1 2 n n n n n n n q E n m q x x x x n x n m ε ω ω ψ ψ ψ ψ ψ ψ ω + − ⎧ ⎛ ⎞ = + ⎜ ⎟ − ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ = + = + + − ⎪ ⎩ = = x 。 能否有精确解？ ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 2 d m x q x x E x m dx ω ε ψ ψ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + − = ⎝ ⎠ = 配平方： ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 d q q m x x E x m dx m m ε ε ω ψ ω ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ − + ⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ + ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ = 2 ψ 令 2 q x m ε ξ ω = − ， 有 ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 d q m E m dx m ε ω ξ ψ ξ ψ ξ ω ⎛ ⎞ ⎛ ⎜ ⎟ − + = ⎜ + ⎝ ⎠ ⎝ = ⎞ ⎟ ⎠ 解为 ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 , n n n n q q E n E n m m q x m ε ε ω ω ω ω ε ψ ξ ψ ω ⎧ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ + = ⎜ ⎟ + → = ⎜ ⎟ + − ⎪ ⎪ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎨ ⎪ ⎛ ⎞ = − ⎜ ⎟ ⎪ ⎩ ⎝ ⎠ = = 厄米多项式 5