第一篇电气工程基础篇 17· (3)因为功率不是电压或电流的一次函数,应用叠加定理来计算元件上的功率时,必须用叠加后的电流 或电压,否则会失去“交叉乘积项” (4)响应叠加时应注意参考方向。 叠加定理的相量形式为 =++…+= 复频域形式为 fs)=(s)+(x)+…+m()=2() 叠加定理用途很广,在线性电路的分析计算中,几乎到处都可用。例如,非正弦电源作用于电路的响应 等于各次谐波电源单独作用时的响应之叠加:又如动态电路瞬态分析,电路的全响应等于零输入响应与零状 态响应之叠加 图1-27例题的电路图 线性电路的可加性一般称为叠加定理。从叠加定理可推出齐次性原理。在线性电路中,若激励增大(或 缩小)K倍,则响应亦增大(或缩小)K倍,称为齐次性原理。 例题如图1-27所示电路,设N为线性无源网络。已知U1=8V,l2=12A时,U2=80V:UA=-8V,l2 4A时,U=0。求Ua=2V,l=2A时的Ux 解解压Ux与电路中的各独立电源之间的关系,满足叠加定理和齐次性原理 设Ux单独作用时,端口处的响应为U,即, Us K1= U 上式中K1为比例系数 同样,2单独作用时,响应为U。若其比例系数为K2,则有 lk,=Ua 当U4和a共同作用时,由叠加定理可得 UsKi+lok=U+U2=U 根据给出的条件,则有 8K1+12k2=80 8K1+4K2=0 解上述联立方程,可得K1=2.5,K2=5。因此,当U=2V和la=2A时,得 Ux=2×2.5+2×5=15V (二)戴维南定理和诺顿定理 1.戴维南定理 任意一个线性有源两端网络N[图1-28(a)],都可以等效为戴维南网络[图1-28(b)],图中U。为 的开路电压,R。为NA除源后的等效电阻。定理所说的等效,是对外接负载而言的,即图1-28(a)和(b)两端 接相同的负载时,则端口上有相同的电压和电流,而对于两个网格的内部并不等效 2.诺顿定理 任何一个线性有源两端网络N[图1-20a)],对外接负载电路来说,都可以等效为诺顿网络[图1-29 (b)],图中l为NA端口短路时的电流,R。为NA除源后的等效电阻
（!）因为功率不是电压或电流的一次函数，应用叠加定理来计算元件上的功率时，必须用叠加后的电流 或电压，否则会失去“交叉乘积项”； （"）响应叠加时应注意参考方向。 叠加定理的相量形式为 ! " # ! "$ % ! "& % … % ! "# # ! # $ # $ ! "$ 复频域形式为 （" %）# "（$ %）% "（& %）% … % "# （%）# ! # $ # $ "（$ %） 叠加定理用途很广，在线性电路的分析计算中，几乎到处都可用。例如，非正弦电源作用于电路的响应 等于各次谐波电源单独作用时的响应之叠加；又如动态电路瞬态分析，电路的全响应等于零输入响应与零状 态响应之叠加。 图 $ ’ &( 例题的电路图 线性电路的可加性一般称为叠加定理。从叠加定理可推出齐次性原理。在线性电路中，若激励增大（或 缩小）& 倍，则响应亦增大（或缩小）& 倍，称为齐次性原理。 例题 如图 $ ’ &( 所示电路，设 ) 为线性无源网络。已知 ’%$ # *+，(%& # $&, 时，’- # *.+；’/$ # ’ *+，(/& # ", 时，’- # .。求 ’/$ # &+，(/& # &, 时的 ’-。 解 解压 ’- 与电路中的各独立电源之间的关系，满足叠加定理和齐次性原理。 设 ’/$单独作用时，端口处的响应为 ’-$，即， ’/$ &$ # ’-$ 上式中 &$ 为比例系数。 同样，(%&单独作用时，响应为 ’-&。若其比例系数为 &&，则有 (/& && # ’-& 当 ’/$和 (/&共同作用时，由叠加定理可得 ’/$ &$ % (/& && # ’-$ % ’-& # ’- 根据给出的条件，则有 *&$ % $&&& # *. ’ *&$ % "&& { # . 解上述联立方程，可得 &$ # &)0，&& # 0。因此，当 ’/$ # &+ 和 (/& # &, 时，得 ’- # & 1 &20 % & 1 0 # $0+ （二）戴维南定理和诺顿定理 $3 戴维南定理 任意一个线性有源两端网络 )［, 图 $ ’ &（* 4）］，都可以等效为戴维南网络［图 $ ’ &* （5）］，图中 ’6 为 ), 的开路电压，*6 为 ), 除源后的等效电阻。定理所说的等效，是对外接负载而言的，即图 $ ’ &（* 4）和（5）两端 接相同的负载时，则端口上有相同的电压和电流，而对于两个网格的内部并不等效。 &3 诺顿定理 任何一个线性有源两端网络 )［, 图 $ ’ &（7 4）］，对外接负载电路来说，都可以等效为诺顿网络［图 $ ’ &7 （5）］，图中 (/ 为 ), 端口短路时的电流，*6 为 ), 除源后的等效电阻。 第一篇 电气工程基础篇 · $( ·
新编电气工程师手册 图1-28戴维南定理 1-29诺顿定理 诺顿定理和戴维南定理是对偶的,是电路中非常有用的两个定理,这两个定理的最大优点是能把一个复 杂的有源线性网络等效为一个最简单的有源二端网络,从而极大简化了分析计算工作。例如仅需计算网络 中某一支路的电压或电流时,可将除掉这一支路外的其余部分用一有源线性二端网络来置换,这样处理后求 解则是十分方便的 应用戴维南(诺顿)定理时应注意的几个问题 (1)定理规定的条件是,被等效置换的有源二端网络必须是线性的,外接电路可以是线性的,也可以是非 线性的,有源的。 (2)当外接电路与被等效网络之间有磁耦合、控制与受控制关系时,定理不适用。 3)当被等效网络中有受控源时,等效电阻要用“加压求流”或“开路电压除端口短路电流”的方法来求 不能用串并联法来求,求得的等效电阻可能是正值,也可能是负值 (4)在画等值电压源(电流源)时应注意极性,要与开路电压(短路电流)相一致。 例题如图1-30a)电路中,R1=19,R2=2,ls=3A,R4=40,μ=2,试用戴维南定理求电压U4 c 图1-30例题的电路 解应用戴维南定理求解时必须做三件工作,即求出网络的开路电压U、等效电阻R。和做出其等值 路图 (1)开路电压U。将图(a)网络中R4移去,剩下部分为有源二端网络,如图(b)所示。图中 U4=R1I+Ruao U4、R1la_1×3
图 ! " #$ 戴维南定理 图 ! " #% 诺顿定理 诺顿定理和戴维南定理是对偶的，是电路中非常有用的两个定理，这两个定理的最大优点是能把一个复 杂的有源线性网络等效为一个最简单的有源二端网络，从而极大简化了分析计算工作。例如仅需计算网络 中某一支路的电压或电流时，可将除掉这一支路外的其余部分用一有源线性二端网络来置换，这样处理后求 解则是十分方便的。 应用戴维南（诺顿）定理时应注意的几个问题。 （!）定理规定的条件是，被等效置换的有源二端网络必须是线性的，外接电路可以是线性的，也可以是非 线性的，有源的。 （#）当外接电路与被等效网络之间有磁耦合、控制与受控制关系时，定理不适用。 （&）当被等效网络中有受控源时，等效电阻要用“加压求流”或“开路电压除端口短路电流”的方法来求， 而不能用串并联法来求，求得的等效电阻可能是正值，也可能是负值。 （’）在画等值电压源（电流源）时应注意极性，要与开路电压（短路电流）相一致。 例题 如图 ! " &（( )）电路中，!! * !!，!# * #!，"+& * &,，!’ * ’!，"* #，试用戴维南定理求电压 #’。 图 ! " &( 例题的电路图 解 应用戴维南定理求解时必须做三件工作，即求出网络的开路电压 #-、等效电阻 !- 和做出其等值电 路图。 （!）开路电压 #- 将图（)）网络中 !’ 移去，剩下部分为有源二端网络，如图（.）所示。图中 #’- * !! "+& /!#’- #’- * !! "+& ! ""* ! 0 & ! " # * " &1 · !$ · 新编电气工程师手册
第一篇电气工程基础篇 (2)等效电阻R。图(b)电路a短接后如图(c)所示,图中U4=0,所以受控源pU4=0,短路电流l由分 流得 R1+R2 3=1A 所以,等值电阻 =-39 (3)做出戴维南等值电路等效网络如图(d)所示。注意极性,可得 3)=-12V R。+R4 (三)特勒根定理 特勒根定理和基尔霍夫定律一样,是电路理论中一个重要定理。特勒根定理应用很广,例如可以方便地 证明复功率守恒、互易定理等 1.特勒根定理 对于一个具有n个节点和b条支路的网络,若取各支路电流与电压的参考方向一致,则有 式中和;分别是电路n的支路电压和支路电流,它表明在任何瞬间,一个网络中全部支路吸收(或发出) 的功率代数和等于零,即整个网络的功率是平衡的,因此特勒根定理一又称为特勒根功率定理。 2.特勒根定理 设两个拓扑图相同的集总参数网络N和N,取各对应支路电压和电流参考方向一致,并分别用i、a和i u表示,对于任何瞬间,有 0 上式每一项均为电压和电流相乘,具有功率的量纲,但电压和电流不是在同一网络内,又非真实功率,因此特 勒根定理二习惯上称为似功率定理 应用特勒根定理时应注意,电压和电流必须满足KCL和KVL的约束 例如图1-31a)和(b)共有3个节点和4条支路,各支路上电压和电流方向如图中所示,不管支路元件 性质如何,都用一条线段代替,并分别用b1、b2、b3和b4表示,节点用1、2和3表示,则图(a)和(b)可画成图 (c),具有相同的拓扑结构。设图(a)为N网络,图(b)为N网络,根据KCL和KVL,可得 u1i1+u2i2+3i34+i4=20×(-3)+8×3+12×2+12×1 60+24+24+12=0 从而验证了特勒根定理二 很显然,图1-31(a)和(b)网络中电源发出的功率等于电阻消耗的功率,也验证了特勒根定理一。 (四)电路等效变换 电路等效变换,是简化电路分析和计算的一种手段。所谓等效变换,是指将电路中的一部分变成新的电 路,该新电路与原来电路的元件参数、连接方式等不同,但对未变换部分的电路却保持着原来的电压和电流 亦即变换前后,对未变换部分有相同的外特性 1.星形网络和三角形网络的等效变换
（!）等效电阻 !" 图（#）电路 $# 短接后如图（%）所示，图中 "& ’ (，所以受控源!"& ’ (，短路电流 #)%由分 流得 #)% ’ !* !* + !! ·#), ’ * * + ! - , ’ *. 所以，等值电阻 !" ’ "&" #)% ’ / , * ’ / ," （,）做出戴维南等值电路 等效网络如图（0）所示。注意极性，可得 "& ’ !&") !" + !& ’ & / , + & （ / ,）’ / *!1 （三）特勒根定理 特勒根定理和基尔霍夫定律一样，是电路理论中一个重要定理。特勒根定理应用很广，例如可以方便地 证明复功率守恒、互易定理等。 *2 特勒根定理一 对于一个具有 $ 个节点和 % 条支路的网络，若取各支路电流与电压的参考方向一致，则有 ! % & ’ * ’& ·(& ’ ( 式中 ’& 和 (& 分别是电路 $ 的支路电压和支路电流，它表明在任何瞬间，一个网络中全部支路吸收（或发出） 的功率代数和等于零，即整个网络的功率是平衡的，因此特勒根定理一又称为特勒根功率定理。 !2 特勒根定理二 设两个拓扑图相同的集总参数网络 3 和 34 ，取各对应支路电压和电流参考方向一致，并分别用 (、’ 和 ) (、 ) ’ 表示，对于任何瞬间，有 ! % & ’ * ’& ·) (& ’ ( 和 ! % & ’ * ) ’& ·(& ’ ( 上式每一项均为电压和电流相乘，具有功率的量纲，但电压和电流不是在同一网络内，又非真实功率，因此特 勒根定理二习惯上称为似功率定理。 应用特勒根定理时应注意，电压和电流必须满足 567 和 517 的约束。 例如图 * / ,（* $）和（#）共有 , 个节点和 & 条支路，各支路上电压和电流方向如图中所示，不管支路元件 性质如何，都用一条线段代替，并分别用 %*、%!、%, 和 %& 表示，节点用 *、! 和 , 表示，则图（$）和（#）可画成图 （%），具有相同的拓扑结构。设图（$）为 3 网络，图（#）为 34 网络，根据 567 和 517，可得 ) ’* (* + ) ’! (! + ) ’, (, ) ’& + (& ’ !( -（ / ,）+ 8 - , + *! - ! + *! - * ’ / 9( + !& + !& + *! ’ ( 从而验证了特勒根定理二。 很显然，图 * / ,（* $）和（#）网络中电源发出的功率等于电阻消耗的功率，也验证了特勒根定理一。 （四）电路等效变换 电路等效变换，是简化电路分析和计算的一种手段。所谓等效变换，是指将电路中的一部分变成新的电 路，该新电路与原来电路的元件参数、连接方式等不同，但对未变换部分的电路却保持着原来的电压和电流， 亦即变换前后，对未变换部分有相同的外特性。 *2 星形网络和三角形网络的等效变换 第一篇 电气工程基础篇 · *: ·
新编电气工程师手册 (c) 图1-31网络图 (a)N网络:(b)网络:(c)线 星形网络与三角形网络的等效变换见表1-2 表1-2星形网络与三角形网络的等效变换 R2d 30232 星形变换为三角形 角形变换为星形 R2=2+R2R3+R3R1 RuR 变换公式 R12+R2R3+R3R1 Ra=Ri+ Ry R3+ R3R1 RxRa 参数 R12=R23=R31=R△R1=R2=R3=Ry 对称 R△=3Ry 2.对称网络的等效变换 对称网络的等效变换见表1-3
图 ! " #! 网络图 （$）% 网络；（&）%’ 网络；（(）线图 星形网络与三角形网络的等效变换见表 ! " )。 表 ! " ) 星形网络与三角形网络的等效变换 电 路 图 变 换 公 式 星形变换为三角形 三角形变换为星形 !!) * !! !) + !) !# + !# !! !# !)# * !!) + !) !# + !# !! !! !#! * !!) + !) !# + !# !! !) !! * !#! !!) !!) + !)# + !#! !) * !!) !)# !!) + !)# + !#! !# * !)# !#! !!) + !)# + !#! 参数 对称 !!) * !)# * !#! * !! !! * !) * !# * !" !! * #!" ), 对称网络的等效变换 对称网络的等效变换见表 ! " #。 · )- · 新编电气工程师手册
第一篇电气工程基础篇 21· 表1-3对称网络的等效变换 变换前网络 变换后网络 与对称 轴Y-Y相 正向 交的支路 对 电流 和i3为零 对称,但电 源极性相 反 与对称轴Y Y相交的 支路间 电压为零 3.两种电源模型的等效变换 两种电源模型的等效变换见表1-4 表1-4两种电源模型的等效变换 电路图 变换 公式 备注 方框内的实际电源模型进行变换
表 ! " # 对称网络的等效变换 名称 变换前网络 变换后网络 备注 正向 对称 与 对 称 轴 $ " $ 相 交 的 支 路 电流 !!、!% 和 !# 为零 反向 对称 网 络 &’ 对称，但电 源 极 性 相 反。 与对称轴 $ " $ 相交的 各 支 路 间 电压为零， 即 "!% ( "%# ( "#! ( ’ #) 两种电源模型的等效变换 两种电源模型的等效变换见表 ! " *。 表 ! " * 两种电源模型的等效变换 电路图 变换 公式 #+ ( $+ ·%, 或 $+ ( #+ %, 备注 方框内的实际电源模型进行变换 第一篇 电气工程基础篇 · %! ·