哈尔滨工业大学：《高等统计学》课程教学资源（PPT课件）第五讲 主成分分析

主成分系数的确定 o前提假设 E(X)=0c0v(X,X)=∑ ○第一主成分的糸数满足: H1=11+12 X,+∴+L,X.=LX pp max D(1=max cov(Y1, Y=maxu 2u

主成分系数的确定  前提假设  第一主成分的系数满足： Y1 = u1 1X1 + u1 2X2 ++ u1 p X p = u1 X E(X) = 0 cov(X, X) =  1 1 1 max 1 1 max D(Y ) = max cov(Y ,Y ) = u u

系数的求解 max uu L=1 L=uΣn-(ulu-1)

系数的求解 L = u u − (u  u −1) u  u = 1 max u u

结论 O若∑的特征值为 >,>∷> 对应的单位特征向量为 12 22 P2 P P

结论  若 的特征值为 对应的单位特征向量为：  1  2   p , 1 12 11               u p u u  , 2 22 21               u p u u                pp p p u u u  2 1 

OP个主成分分别是: uI 1141 L X,+…+L1X 2 2 pp Y2=2X1+n2X2+…+2nXn 或Y=UX L X,+…+LX 2 pp p 且(1)D(Y2)=气2,i=1,2,…p (2)cov(Y, r)=Ucov(X, X)u xA=U2U

 P个主成分分别是： 且（1） （2） 或        = + + + = + + + = + + + p p p p p p p p p p u X u X u X u X u X u X u X u X u X Y Y Y     1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2 1 D(Yi ) = i , i = 1,2,  . p cov(Y,Y ) = Ucov(X, X)U 或 Y = UX  = UU

主成分的保留 主成分总方差=原变量的总方差 r(U2U)=tr(A) ∑D()=∑D(X) ∑λ=∑q

主成分的保留   = = = p i i p i D Yi D X 1 1 ( ) ( )   = = = p i ii p i i 1 1   主成分总方差=原变量的总方差 tr(UU) = tr()