清华大学：《量子力学》课程教学资源（教案讲义）第三章力学量用算符表达（3.2）Hermitian算符的主要性质.doc

1 §3.2 Hermitian 算符的主要性质 1. 算符的本征方程定义：设 F ˆ 是一个算符，则 F  =   ˆ 称为 F ˆ 的本征方程，  称为本征值，  称为 F ˆ 的属于  的本征函数，或本征态。可以证明：如果算符 F ˆ 是 Hermitian 算符，那么在 F ˆ 的本征态下，力学量 F 的涨落为零，这里“涨落”的定义是 2 2 2 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) . F F F F F d       − = −  还可以证明：如果算符 F ˆ 是 Hermitian 算符，那么当  是 F ˆ 的本征态的时候， F / 0    = ，其中 F 是 F ˆ 在  上的平均值，  是  的变分（这意味着  是 F 的极大值点或者极小值点或者鞍点）。关于本征值和本征函数的物理意义，量子力学的基本假设是：算符 F ˆ 的本征值集 {} 就是力学量 F 的测量值集； F ˆ 的本征函数   代表力学量 F 有确定值  的量子状态。 2．Hermitian 算符的本征值定理：Hermitian 算符的本征值都是实数。证明：本征方程是 F  =   ˆ , 所以    ) = ( ) ˆ (F     , 在 Hermitian 算符的定义式 ˆ ˆ       ( ) ( ) F d F d   =   中让  =  =  ，那么 ˆ ˆ ( ) ( ) ( ) , F d F d             =   也就是       =     d  d 2 2 | | | | , 而 | | 0 2      d , 所以   =  . ▌ 定理的推论：Hermitian 算符的平均值必是实数。由于这个定理，我们要求所有的物理量（或称为“可观察量”）的算符都是 Hermitian 算符。不难证明：坐标算符和动量算符都是 Hermitian 算符。以 ˆ x p 为例，其 Hermitian 性证明如下。 ( ) i i ( ) i ( ) . ˆ ˆ x x p dx dx dx p dx x x            + + + + +     − − − − −   = − = − + =       ▌ 这里用到了分部积分法则和   0   = = 。在一定条件下，坐标算符和动量算符所构成的函数也是 Hermitian 算符。事实上，如果 F ˆ 和 G ˆ 都是 Hermitian 算符而且 FG GF ˆ ˆ = ˆ ˆ ，那么 FG ˆ ˆ 也是 Hermitian 算符。因此，角动量算符是 Hermitian 算符。定理的逆定理也是成立的，即，全体本征值都为实数的算符必是 Hermitian 算符。但是，并不是所有的 Hermitian 算符都一定代表可观察量。 3. 本征函数系的正交性定义：若两个函数  1 和  2 满足 1 2   d 0,  =  则称它们是正交的。正交性定理：同一个 Hermitian 算符的属于不同本征值的本征函数必是彼此正交的

2 证明：设 Hermitian 算符 F ˆ 有两个本征函数 1 和 2 ，分别属于本征值 1 和 2 且   1 2  ，那么 1 1 1 F ˆ  =   , 2 2 2 F ˆ  =   , 所以 1 2 2 1 2 ( )        F d d ˆ   =   ( )     = F  d =    d 1 2 1 1 2 ˆ , 由于 1  2 ，所以 1 2 = 0     d . ▌ 注意，这个定理的结论与 F ˆ 的本征值谱是分立（离散）谱还是连续谱无关。彼此“正交”的几何意义就是彼此垂直。如果 F ˆ 的本征值谱是非简并的和离散的，本征值为 1 ,2 ,  ，本征函数为 1 ,2 ,  ，那么波函数是平方可积的，因而可以有限地归一化，所以我们有 , ( , 1,2, ) k l kl     d k l  = =  其中    =  = k l k l kl 1. 0,  . 这称为函数系 k , k = 1,2,  的正交归一关系，或正交归一性。为简单起见，以下记      d ( , ),    称为  和  的“内积”。它的主要性质有： ( , ) 0,    其中当且仅当  = 0 时 = 号成立， 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ), c c c c          + = + 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ) ( , ) ( , ),        c c c c + = + ( , ) ( , ).      = 这样，函数系 k 的正交归一性就可以写为 ( , ) ,    k l kl = 而算符的 Hermitian 共轭的定义可以写为 ˆ ˆ ( , ) ( , ), ( , )       F F+ =  所以 Hermitian 算符就定义为 ˆ ˆ ( , ) ( , ). ( , )       F F =  如果 F ˆ 的本征值谱是连续的，那么本征函数就不是平方可积的。这时候，本征函数系可以“按  函数归一化”。关于这个问题，我们将在以后再做说明。 4. 简并情形如果出现简并（即一个本征值有若干个线性独立的本征函数）的情形，则正交性定理不能保证同一本征值的不同本征函数是彼此正交的。但是我们不难证明，经过对本征函数进行适当的重新组合，可以使它们仍然是彼此正交的。假如 1 2 3    , , , 是属于同一本征值的不同本征函数，彼此并不正交（但各自仍然是归一的）。那么我们可以按照下面的方法组成一套新的本征函数 1 2 3    , , , 彼此是正交的。比如，让   1 1 = ，而 2 1 1 2 2    = + c c ，那么 1 2 ( , ) 0   = 导致 1 1 1 2 1 2 c c ( , ) ( , ) 0     + = ，所以 1 2 1 2 c c = − ( , )   ， 2 c 则由 2 的归一化来决定。依此类推。在线性代数里，这称为 Schmidt 正交化程序

5.同时本征函数但是在量子力学里,我们有一个更加“物理”的办法来解决简并本征函数的正交性,那就是考虑同时本征函数定理:若[F,G]=0,即是FG=GF,则F和G可以有同时(共同)本征函数,即存在φ使得 Fp=和Gφ=((A和是常数)同时成立我们不对这个定理进行严格的证明了该定理也很容易推广到多个算符的情形。假如我们有一系列算符{户,G,,…,它们是两两对易的,即满足[F,G]=[F,H=[G,H]=…=0,那么它们就可以有同时本征函数,即存在φ使得戶=,=四,应=同时成立,其中,山,是常数同时本征函数所描写的就是几个力学量同时有确定值的状态。这样,如果算符户的本征值λ有简并,我们就再引进另一个算符G,满足[F,G]=0,并求出F和 G的同时本征函数。如果对于F简并的(同时)本征函数对于G不再是简并的(即分属于G的不同的本征值),那么正交性定理仍然保证了它们是正交的。但也有可能F和G的同时本征函数仍然有简并那么我们就再引进第三个算符例如H,满足[F,G]=[F,H]=[G,H]=0,并求出F,G,H的同时本函数,如此等等,直到所有的简并完全去除为止。这时,是一组(而不是仅仅一个)量子数例如 (n,l,m,…)完全确定了一个量子态(即一个同时本征函数)。如果这些量子数都是分立量子数,那么这些同时本征函数的正交归一关系就是 (mn,中nm)= Emere6n 6.力学量的完备集某个力学量有简并本征函数的这种情形,多半出现在多自由度体系中。例如,如果一个粒子在三维空间中运动,按照经典力学它的自由度数就是3,这时候只用一个力学量来描写粒子的状态显然是不够定义:对于一个量子力学系统,一组彼此函数独立而又两两对易,并且完全去除简并的力学量的集合,称为它的完备力学量集。完备力学量集里所包含的力学量的数目,通常是在经典力学中该系统的自由度数之外,再加上一些具有“纯”量子力学起源的自由度,例如宇称,自旋,或者一些“内部”自由度(例如同位旋)。完备力学量集的选择不是唯一的。例如对于一个在三维空间中运动的无自旋粒子(不管它受到什么势场的作用),完备力学量集可以选为{元,},也可以选为{P2,P,P2}。但是,{,元,的同时本征函数一定不是系统的 Schrodinger方程的解,除去自由粒子以外,{B2,p2}的同时本征函数也不是 Schrodinger方程的解,所以这些选择不是最方便的。经常地,我们要求完备力学量集里包含系统的 Hamiltonian,这样的完备力学量集称为完备守恒量集(对于“守恒”这个术语我们以后还会解释)。 7.一般力学量的测量几率根据完备力学量集的定义和态的叠加原理,完备力学量集的全体算符的同时本征函数构成了表示该系统的量子状态的正交归一完备基底,也就是说,系统的任何状态都可以展开为这些状态的线性组合以离散本征值的情况为例,把完备力学量集的同时本征态记为vk,其中k代表一个量子数组,那么{vk}的正交归一关系是而任何状态v都可以展开为由于 (vk…,v)=∑a(vk,vk)=∑1x=a 所以v的展开式的系数就是 ak=(yr, y)

3 5. 同时本征函数但是在量子力学里，我们有一个更加“物理”的办法来解决简并本征函数的正交性，那就是考虑同时本征函数。定理：若 ] 0 ˆ , ˆ [F G = ，即是 F ˆ G ˆ = G ˆ F ˆ ，则 F ˆ 和 G ˆ 可以有同时（共同）本征函数，即存在  使得 F ˆ  =  和 G ˆ  =  （  和  是常数）同时成立。我们不对这个定理进行严格的证明了。该定理也很容易推广到多个算符的情形。假如我们有一系列算符 , } ˆ , ˆ , ˆ {F G H  ，它们是两两对易的，即满足 , ˆ ] 0 ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [F G = F H = G H = = ，那么它们就可以有同时本征函数，即存在  使得 F ˆ  =  ，G ˆ  =  ， H ˆ  =  同时成立，其中 , ,  是常数。同时本征函数所描写的就是几个力学量同时有确定值的状态。这样，如果算符 F ˆ 的本征值  有简并，我们就再引进另一个算符 G ˆ ，满足 ] 0 ˆ , ˆ [F G = ，并求出 F ˆ 和 G ˆ 的同时本征函数。如果对于 F ˆ 简并的（同时）本征函数对于 G ˆ 不再是简并的（即分属于 G ˆ 的不同的本征值），那么正交性定理仍然保证了它们是正交的。但也有可能 F ˆ 和 G ˆ 的同时本征函数仍然有简并，那么我们就再引进第三个算符例如 H ˆ ，满足 , ˆ ] 0 ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [F G = F H = G H = ，并求出 F G H ˆ , ˆ , ˆ 的同时本征函数，如此等等，直到所有的简并完全去除为止。这时，是一组（而不是仅仅一个）量子数例如 (n,l,m, ) 完全确定了一个量子态（即一个同时本征函数）。如果这些量子数都是分立量子数，那么这些同时本征函数的正交归一关系就是 ( , ) .      nlm n l m nn ll mm       = 6. 力学量的完备集某个力学量有简并本征函数的这种情形，多半出现在多自由度体系中。例如，如果一个粒子在三维空间中运动，按照经典力学它的自由度数就是 3，这时候只用一个力学量来描写粒子的状态显然是不够的。定义：对于一个量子力学系统，一组彼此函数独立而又两两对易，并且完全去除简并的力学量的集合，称为它的完备力学量集。完备力学量集里所包含的力学量的数目，通常是在经典力学中该系统的自由度数之外，再加上一些具有“纯”量子力学起源的自由度，例如宇称，自旋，或者一些“内部”自由度（例如同位旋）。完备力学量集的选择不是唯一的。例如对于一个在三维空间中运动的无自旋粒子（不管它受到什么势场的作用），完备力学量集可以选为 { , , } x y z ˆ ˆ ˆ ，也可以选为 { , , } ˆ ˆ ˆ x y z p p p 。但是， { , , } x y z ˆ ˆ ˆ 的同时本征函数一定不是系统的 Schrödinger 方程的解，除去自由粒子以外， { , , } ˆ ˆ ˆ x y z p p p 的同时本征函数也不是 Schrödinger 方程的解，所以这些选择不是最方便的。经常地，我们要求完备力学量集里包含系统的 Hamiltonian H ˆ ，这样的完备力学量集称为完备守恒量集（对于“守恒”这个术语我们以后还会解释）。 7. 一般力学量的测量几率根据完备力学量集的定义和态的叠加原理，完备力学量集的全体算符的同时本征函数构成了表示该系统的量子状态的正交归一完备基底，也就是说，系统的任何状态都可以展开为这些状态的线性组合。以离散本征值的情况为例，把完备力学量集的同时本征态记为  k ，其中 k 代表一个量子数组，那么 { }  k 的正交归一关系是 ( , ) ,    k k kk   = 而任何状态  都可以展开为 . k k k   = a 由于 ( , ) ( , ) , k k k k k k k k k k          = = =   a a a 所以  的展开式的系数就是 ( , ), k k a =  

而|a代表了在状态v中包含状态vk的几率,也就是在状态v下测量完备力学量集的各力学量,得到vk所对应的那些本征值的几率。这就是波函数的几率解释的一般表述。现在v的归一化同时体现为 (vv)=∑|aP2=1 但是严格说来,我们在这里还有一个问题需要交代。前面我们说“任何状态v都可以展开为v的线性组合”,那么有什么条件能保证这个展开一定是可行的呢?显然,只有在{k}“足够多”的时候它们的线性组合才能表达任意的波函数,换句话说,{vk}这个函数系必须是“完备的”。函数系的“完备性”是一个比较复杂的问题。我们在这里仅以一元函数为例加以说明。如果一个正交归一函数系{un(x)}能使展开式 v(x)=∑an1(x) 对任何v(x)都成立,我们就称这个函数系是“完备的”。那么在什么情况下{un(x)}是完备的呢?把 a,=(u,(x),(x)=u(x)w(x)ar 再代回上式,我们得因为y(x)是任意的,所以必须有 ∑un(x)u2(x')=b(x-x) 这个条件就称为函数系{un(x)}的“(强)完备性条件”。反过来说,如果上式成立,我们就可以借助 v(x)=∫o(x-x)(x)dx2=∑u1(x(x)v(x)d =∑1(x)x(x)d 得到v(x)在{un(x)}上的展开式。这里要注意别把完备性条件和正交归一条件弄混,后者是 ∫n(x)nx)tr=m 我们在上面很容易就证明了 Hermitian算符本征函数系的正交性,但是要证明它的完备性显然要困难得多,因为完备函数系一定包含了无穷多个函数,而完备性是这无穷多个函数的“整体性质”。当然在数学上,“什么样的算符的本征函数系是完备的”这个问题是有答案的,但是我们不想做详细的介绍了(请参看教材)。从物理上说,函数系的完备性尽管很重要,我们却经常不对它做严格的证明。一方面这是因为有些函数系的完备性已经由数学家证明过,另一方面也是因为物理上的“完备性”通常只意味着取这些基本函数来展开我们要研究的波函数已经“足够多”了,而这并不是数学意义上的完备性比如这些基本函数的数目经常不是无穷多。 8.不确定关系的准确形式与[F,G=0的情形相反,如果[F,G]≠0,那么F和G就不能同时有确定值。比如,我们已经知道[x,p3]=ih≠0,同时又从粒子波动性实验的直接分析中看到了△x·4≈h,所以这二者必然是有的联系的。下面我们就从[FG]≠0导出F和G的不确定关系的准确描写。定义偏差算符为: △F=F-F,(F是F的平均值) 那么 △F=(F-F)=F-F=0, (AF)2=(F-F)2=(F2-2FF+F2)=F2-2FF+F2=F2-F2 (△F)2这个量(所谓“均方偏差”)就描写了力学量户的测量值的偏差程度。如果[F,G]=iC≠0,那么(AF)2和(△G)2有什么关系?计算的方法如下

4 而 2 | | k a 代表了在状态  中包含状态  k 的几率，也就是在状态  下测量完备力学量集的各力学量，得到  k 所对应的那些本征值的几率。这就是波函数的几率解释的一般表述。现在  的归一化同时体现为 2 ( , ) | | 1. k k   = =  a 但是严格说来，我们在这里还有一个问题需要交代。前面我们说“任何状态  都可以展开为  k 的线性组合”，那么有什么条件能保证这个展开一定是可行的呢？显然，只有在 { }  k “足够多”的时候，它们的线性组合才能表达任意的波函数，换句话说， { }  k 这个函数系必须是“完备的”。函数系的“完备性”是一个比较复杂的问题。我们在这里仅以一元函数为例加以说明。如果一个正交归一函数系 {u (x)} n 能使展开式 ( ) ( ) n n n  x a u x = 对任何  ( ) x 都成立，我们就称这个函数系是“完备的”。那么在什么情况下 {u (x)} n 是完备的呢？把 a u x x u x x dx n n n ( ( ), ( ) ( ) ( )   )  = =  再代回上式，我们得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , n n n n n n    x u x u x x dx u x u x x dx     = =               因为  ( ) x 是任意的，所以必须有 ( ) ( ) ( ). n n n u x u x x x      = − 这个条件就称为函数系 {u (x)} n 的“（强）完备性条件”。反过来说，如果上式成立，我们就可以借助 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n n n n n x x x x dx u x u x x dx u x u x x dx        = − =       =        得到  ( ) x 在 {u (x)} n 上的展开式。这里要注意别把完备性条件和正交归一条件弄混，后者是 ( ) ( ) . m n mn u x u x dx   =  我们在上面很容易就证明了 Hermitian 算符本征函数系的正交性，但是要证明它的完备性显然要困难得多，因为完备函数系一定包含了无穷多个函数，而完备性是这无穷多个函数的“整体性质”。当然在数学上，“什么样的算符的本征函数系是完备的”这个问题是有答案的，但是我们不想做详细的介绍了（请参看教材）。从物理上说，函数系的完备性尽管很重要，我们却经常不对它做严格的证明。一方面这是因为有些函数系的完备性已经由数学家证明过，另一方面也是因为物理上的“完备性”通常只意味着取这些基本函数来展开我们要研究的波函数已经“足够多”了，而这并不是数学意义上的完备性，比如这些基本函数的数目经常不是无穷多。 8. 不确定关系的准确形式与 ] 0 ˆ , ˆ [F G = 的情形相反，如果 ] 0 ˆ , ˆ [F G  ，那么 F 和 G 就不能同时有确定值。比如，我们已经知道 [ , ] i 0 ˆ ˆ x x p =  ，同时又从粒子波动性实验的直接分析中看到了 x     x p ，所以这二者必然是有的联系的。下面我们就从 ] 0 ˆ , ˆ [F G  导出 F 和 G 的不确定关系的准确描写。定义偏差算符为： , F ˆ = F ˆ − F ( F 是 F ˆ 的平均值) 那么 ˆ ˆ  = − = − = F F F F F ( ) 0, 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( 2 ) 2 .  = − = − + = −  + = − F F F F FF F F F F F F F 2 ) ˆ (F 这个量（所谓“均方偏差”）就描写了力学量 F ˆ 的测量值的偏差程度。如果 0 ˆ ] i ˆ , ˆ [F G = C  ，那么 2 ) ˆ (F 和 2 ) ˆ (G 有什么关系？计算的方法如下

5 引入 2 ˆ ˆ I F G d ( ) ( i ) ,     =  −   其中  是一个实参数，所以我们必有 I( ) 0.   另一方面，由于 F ˆ 和 G ˆ 都是 Hermitian 算符，所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) i , i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , i , +i , , ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ , ( ) i , ( ) +i , ( ) , ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ , ( ) i , [ , ] , ( ) ˆ ˆ ˆ ˆ , ( ) i , [ , ] , ( ) ˆ ( I F G F G F F F G G F G G F F G G F G F F G G F F G G                                              =  −   −  =   −     +   =  −     +  =  −   +  =  − +  =  2 2 2 ˆ ˆ ˆ F F G G ) i[ , ] ( ) .   − +  其中注意 ]. ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ ] [ ˆ , ˆ [F G = F − F G − G = F G 根据二次三项式的判别式的性质，在 I( )  0 时必有 2 2 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( ) ( ) ( i[ , ] ) . 4 4     − = F G F G C 这就是准确的 Heisenberg 不确定关系。在数学上，它称为 Schwarz 不等式。对于 [x ˆ , p ˆ x ] = i  ，有 C =  ˆ ，所以 . 4 ( ˆ) ( ˆ ) 2 2 2  x  px  也有时记 2 2 ( ) , ( ) , ˆ ˆ x x   x x p p     称为均方根偏差，那么， . 2   x  px  对于某些量子状态，上面那些不等式中的  号恰好取 = 号，这样的状态通常称为“最小测不准态”。应用不确定关系的一个例子：谐振子的零点能。现在 1 1 2 2 2 ˆ ˆ ˆ , 2 2 H p m x m = +  所以， 1 1 2 2 2 ˆ ˆ . 2 2 E p m x m = +  对于谐振子， p = x = 0 ，所以 2 2 2 2 p p x x ˆ =  =  ( ) , ( ) ˆ ˆ ˆ ， 1 1 2 2 2 ( ) ( ) . ˆ ˆ 2 2 E p m x m =  +   假设只考虑“最小测不准态”，那么就有 . 4 ( ˆ) ( ˆ) 2 2 2  x  p = 求 E 在这个约束条件下的极小值，可设

清华大学：《量子力学》课程教学资源（教案讲义）第三章 力学量用算符表达（3.2）Hermitian算符的主要性质

清华大学：《量子力学》课程教学资源（教案讲义）第三章力学量用算符表达（3.2）Hermitian算符的主要性质