1991年9月 西安电子科技大学学报 Sep 1991 第l8卷第3期 JOURNAL OF XIDIAN UNIVERSITY VoL1& No 光学谐振腔中光束的完备态与自再现波型 高致慧安毓英 (技术物理系) 摘要本文用光学传翰矩阵理论給出了光学谐振腔中光束的本征态与宄备 态,分析给出了在菲涅耳数NF足够大时光腔光束的特征与完备描述,讨论了在 各种光学谐振腔中的自再现波型.从理论上给出了描述光腔基模特性的统一处理 方法 关键词:光学谐振腔;本征态,完备态;自再现波型 1引言 兆学谐振腔的光性是激光理论的重要内容之一,它的研究直接关系到激光技术与 激光器件的设计。在现有的光学诺振腔理论中,往往仅给出光腔在某一镜面上光束的某 本征态,没有给出光腔光束特性的统一完备的描述。本文尝试用光学传输矩阵理论导出光 腔的本征态与完备态,研究各种本征态下光束的传播特性,通过完备态的分析给出了光腔 的白两现模所州应的白再现波型。从而讨论了各种类型光腔的基本特征,通过对光腔本征 态与完备态的分析给出了描述光腔光東特性的统一的处理方法,在NP足够大,即忽略衍 射效应的条件下,该方法较好地描述了光腔的基模特性,且简洁明了,其研究结论与文 献,2的结论是一致的。在非稳腔中,本文提出光腔的自再现波型是完备态中的两个本 征态的光束的迭加.直接导出了非稳腔的光束特征,这与文献中仅以一个本征态对应 的光束作为非稳腔的白再现波型是不同的.在文献3中还须以几何光学的物象关系给出 附加解才能描述非稳腔的特征,这是出于略去了完备态中的一个本征态而造成的, 2光腔的本征态与完备态 在忽略衍射效应,或菲涅耳数NP足够大吋,由传输光学理论,光腔内任一横截面上 的任一光线可由一列矢。来描述,r表示光线与z轴(儿轴)的距离,0表示光线与z 轴的夹角。规定光线出射方向在z轴的上方时,0>0;光线出射方向在z轴的下方时, 本文于19898月8收到
l991年 9月 第 18卷 第 3期 西 安 电 子 科 技 大 学 学 报 JOU RN AL OF XIDIAN U NIVERSITY 光学谐振腔中光束的完备态与 自再现 波型 高致 慧 安毓荚 (技术物理系) $cp_1991 VO1．1S N O 3 摘 要 本 文用 光 学传 输 矩阵理论 蛤 出了光 学谐 振腔 中光束 的本征 态 与完备 态，分析蛤 出了在 菲 涅耳敷 ^ 足 够 是时光腔 光束的特征 与完备描述 ．讨 论 了在 各种 光学谐振腔 中的 自再 现波型 ．从理论上给 出了描述 光腔基模 特性 的统一 处理 方 法 。 关键词 ：光学谐振腔 ；本征态 ；完 备态； 自再现波型 光兰堕堡竺 赫l丑逞邀堂墨笙 重要立曼 一，它的研究直接戈系到激光技术与 激光 器件的 设汁．存现有的光学谐振腔理论 中，往往仅给 j光腔 在某 一镜 面上光束舳柴 一 本征态，没有给 …光 腔光 特性 的统一 完备的描述 ．本文尝试用 光学 传输 矩阵理论导 fll光 腔的本征态 与完 箭态．研究各种本征态 下光求的传搔特性．通过 完备态的分析给 出了光腔 的 [I再现摸所 l牛闩应的 亡I再现波型 ．从而讨 论了各种类型光腔 的基 本特征。通过对光腔木征 态与完 备态的分析 给 {jj了描述光腔光束 特性 的统一 的处理 方法 ．存 ^ 足够大 。 即忽 略衍 射效应 的 条件 F，谈 方法 较好地 描述 了光腔 的基模 特性 ，且简 洁 明了 ．其 研究结 论与文 献 “ 的结论是 一致 的。在非 稳腔中，本文提 出光 腔 的 臼再 现波 是完备 态中 的两个本 征态的光束 的迭加 ．直 接导j；了非 稳腔的光束 特征。这与文献 “ 中仅 以一个 本征态 对应 的光束 作为非稳腔 的 [I再现波型是 不 d的．在文 献 。 中还须 以几何光学 的物象荚系给 !IJ 附加 解 ‘能描述 非稳腔的特征．这是 由于略去 了完备态 中的一个卒 征态而造成 的． 2 光腔的本 态与完备态 在忽略 衍射效应 ，或 菲涅耳数 ^r，足够大时 ， 由传输光学 理论，光腔 内任一横截 面上 的 轴 任 的 一 夹 光 角 线 ． 可 规 由 定 一 光 列 线 久 射 [ 方 ：] 『 来 在 描：述 轴 。 的 r 上 表 方 示 时 光线，与 D> z 0 轴：光 c光 线 轴…射 的 方 距 向 离 在-：。 轴 表 的 示 下 光 方 线 时 与，： 本 文 】1989年8月8【lI5(到 维普资讯 http://www.cqvip.com
西安电子科技大学学报 第3期 0<0.光线。在腔内往返一周相应的列矢量为 L0" T是光线在腔内往返一周相应的变换矩阵或称往返矩阵,A、B、C、D为二阶往返矩阵T 的矩阵元素。 如果腔内光束存在本征态,则矩阵T作用于该本征矢量应等于某一常数值乘以该本 征矢量即有本征值方程 0为光学的木方刚[门P满足木板力附的木征交成称本板态,为本征力程 的本征值 若(3)式成立,与(1)联立,表明光束在腔内往返一周而分布特性不发生变化,只是按 比例变化一常数因子k,由再现模式的定义(,本征 是光腔的一个再现本征 模式 求解矩阵方程(3)式,移项得 (4) 将(2代人得 A-k (5) CD-k儿0 要使(5)中的木征向级有非零解,则其对应的矩阵行列式必须为零,有 0」 展开求解得本征值为 k,=1(A+D)+zY(A+D)2-4 (7) k2=2(4+D) 1√(A+D) 求解屮运爪了光线矩阵的性质4D-BC=1.将本征值k:代入(S求得本征欠,有 0
· 70 · 西安电子科技大学学报 第 3期 ． 光 …一……阴 有 [ r[ lA l r=lcDI (2) r是光线 在腔 内往返一 周相应 的变换矩 阵或 称往返矩 阵，A、 C D 为二 阶往返 矩阵 r 的矩 阵元 素． 如果 腔 内光束 存在本 征态 。则 矩阵 r作用于 该本 征矢 量应等 于某一 常数 值乘 以该本 征矢 量 印有本 征值方程 ． r [ ：] c 的 ， 本 式 征 为 f 光 i_【．学谐振腔的本征方程．[：]为满足本征方程的术征矢或称本征态．为本征方程 若 (3)式 成立， 与(1)联立 ，表 明光束 在腔 内往返 一周 而分 布特性 不 发生变 化， 只是 按 模 比例 式 变． 化一常数困讹由蒋现模式的定 。本征矢[是光腔的一个口再现本征 求解矩 阵方张(3)式 ，移项 得 棚一 。+ ㈤ [ 。 ：]=0 ㈣ 要使cs，中的本征向量[非零解，则其对应的矩阵行列式必须为零，有 Jc。D：一l-刮0 ㈣ 展开求 解得本征位 为 ： (+D)+ ] ； 』 求解中运用了光线矩阵的性质一D_c=．将术征位。代人cs求得本征父[：]．。有 维普资讯 http://www.cqvip.com
1991 学谐振腔中光束的完备态与自再现波型 71 C k.一D 其中 B k,-D 所以本征态为满足0=r/q1的所有光线所组成的光束,本征态可描述为 对应于本征值k2,求得本征矢为 有 k一D 其中 q1、q2描述了由某一点源发出的光到达参考面上的波而的曲率半径.在近轴区域也就是点 源距参考面的距离,q>0表示发光点在参考面rP的左边;q<0表示发光点在参考面的右 边.k1、k2是光腔的本征值 是光腔的本征态或本征解.这两个本征态构成 了光腔的完备态。任一光腔的光束特性都可由完备 态中的本征态的选加来描述。本征态所相应的本征 R M R,) 波型在光腔内任一截面上的选加构成了光腔共振棋 的自再现波型。由此可以统一的分析任一光腔中任 截而上的基模光束特性 为便于问题的讨论,假定光学谐振腔为共轴球 一L/2 面镜腔。坐标原点在腔的中心处,腔长为L,M1 球面镜的曲率半径为R1,M2球而镜的曲率半径为 R,规定相对于腔内为凹面镜R>0,凸面镜图1份轴光线在光腔中的传播 R<0,在z点处作一参考横截面rp,一份轴光线在P而上的列矢量刈p见图1 由r出发在腔内往返一周的往返矩阵为T 云→x,Tx,n t十 L 2 2
1991 光学谐振腔中光束的完备态与 自再现波型 ·7t · = 竿 ，一南 ， = 其中 = 所 以本 征态 为满足 0=r／q。的所 有光 线所 组成 的光束 ．本 征态可描述为 啦 ～ … … 有 (8) (9) (】0) … 舯 南 = m 、 2 描述 了由某一点源发出的光到达参考丽上的波面的曲率半径．在近轴区域也就是点 源距参 考面的距离 ． >0表示发光 点在参考面 的左边 ： <0表示发 光点 在参考面的右 边．、是光腔的本征侬．[：]、[：1是光腔的本征态或本征解．这两个本征态构成 了光腔 的完备态．任一光腔 的光束 特性都 可 由完备 态 中的本 征态的迭加 来描述 ．本 征态所相 应的本征 渡型在光 腔 内任一截面上 的迭加 构成了光腔共振模 的 自再现 波型． 由此可 以统一 的分 析任 一光腔 中任 一 截 面上 的基模 光束特性 ． 为便于问题 的讨论，假定光学谐振 腔为共轴球 面镜 腔 ．坐 标 原 点在 腔 的 中心 处 ， 腔长 为 L 球 面镜 的曲率半 径为 ， 球 面镜的 曲率半径 为 ，， 规 定 相 对 于 腔 内 为 凹 面 镜 >0， 凸 丽 镜 — — 一 — — — 圈 I 仿轴光线伍光腔中的传播 。，在z点赴作一参考横截面 一傍轴光线在而上的列矢量为[：]见图． [：]由，一出发在腔内往返一周的往返矩阵为r _ m ． ¨ ● }： ， ： 一 v— 儿一 ， ： 一 r= ¨lI 一 维普资讯 http://www.cqvip.com
72 西安电了科技大学学报 第3期 式中T表示光束经曲*半径为R的反射镜的反射矩阵 T表示光束经长为L的均匀介质屮的传播矩阵 H(13)得知阵元素为 2 B-(-){[1-2(+)[1-2.l]-2(+) 1-2(左+2)+(+x (14) 2 2 H(14)式叮求得光腔的本征值与本征态住江一截面上的表达式,根据本征值k、k2的取值 不同,光腔叮以分为三种情况 1.k为两根k1=k2=2(4+D) 对应,A+D|=1 (15) 2k为两共轭复根k一k2(k2=k) 刈应」A+D|<1 (16 3.k为两不等的实根k1≠k 对应于A+D}>1 (17) (15)、(16}、(17)式分别对应」光学谐振腔的临界腔,稳定腔与非稳定腔,因此本征值 的三种取值情况对应了光腔的三大类型。出此叮以看到对于完备态屮本征态与本征值的分 析可以求得任一光腔中优一横截而上共振模的自再现波型 3光腔共振模的再现波型 按本征值的不同分三类进行讨论 31临界腔|A+D1
· 72 · 西安电于科技大学学搬 第 3斟 式 中 裘示光求 经曲率 、衽 为 R 的反射 镜的反射矩阵 表示光 经长 为 的均匀 介质 中的传播矩阵。 小(13)得知 阵元索 为 一 I1-寿(+=)lI一寿L]一寿[+：] (一z){[一云(+：)][一2]一寿(+z)) + I1- (+z)]+(L+=) c=一寿(一2)一2 = (拿一zIE-2(一2)一2]+(1-2) (14) 山(14)式 ·-』求得 光腔 的本 征f1．【与本征 态在 仟一 截而上的 达式 ．根据 本征伍 k、 的取fi：【 不同．光腔 ”f以分 为三种情 况 ' 1一 为 两露根 kf= k2一 +D) 1 对应 ，： =1lA+Dl= 1 (15) ‘ 2．女为两共轭 复根 k 一k 忙 kI) ' 对应 JA+Dl<1 (16) 3． 为两不等 的实 根 k ≠k2 ． ’ 1 对应 】 IlA+D．>1 (17) 05)，(16)、(17)式分 别对应 J：光 学谐 振腔 的临 界腔，稳定腔 与非稳 定腔 ．冈此木征伍 的三种取价情况对应了光腔的三太类剐．山此可以看到对于完备态中本征卷与本征伍的分 析可 以求得 任一 光腔 中ft一横 截而上共振模的 白再现波 础． 3 匕腔共振模 的 白再现波型 按本 征缸的不 嗣分 三类 进行讨论 3．1临界腔 I 十Dl一 1 维普资讯 http://www.cqvip.com
1991 光学诺振腔中光束的完备态与自再现波型 73 k2=k=亏(A+D) +D)-D 41=qx=4=C (18) B 2B 或 本征态为 因为k为两重实根,完备态中的两个本征态是相同的.所以临界腔的自再现波型就是由 本征态(19)来描述,它表示任一截面上的自再现波型是由距z点q处作为点光源发出的球 面波型。 z点处波型的等相位面曲率半径为q,具体讨论如下: (1)平行平面腔R1=R2=∝ 将R代人(14)式得 c D 01 2B D一A 往返矩阵与z无关,q=∞与z无关。表明光腔内任一横截而上的等相位面柑同,均 为平面光波,曲*中心在无穷远处.即平行平而腔的自再现波型为平面光波。在忽略衍射 效应或菲涅耳数N足够大时,这一结论是正确的;与文献③是一致的 (2)共心腔R+R2=L 考虑一对称共心腔,R1=R2=R=L/2,代人(14)式得 (-)[-3+8( +z)+L (22) 8 (会--3 +3 由(18)式 = Z (23) 往返矩阵氵z有关,q与z有关,由图2可见 (1)z=0,q=0,笄相位而曲率半径为苓,曲率中心原心0处
1991 光学谐振腔中光束的完备态与 自再现波型 ·73 · 七，= 七：一 七= ( + D) k-D +D)一D 一 D ql gz q — ～ ————云—一 一—互 一 或 一 一 (18) 因为 为两重实根，完备态 m 中的两 蜘 个本征 心 态是相同 阴 的．所以临界腔的 自再现波型就是由 本 征态(19)来描 述 ，它 表示任一 截面上 的 自再现波 型是 由距 z点 q处作 为点光源 发 出的球 z点处 波型的等相位而 曲率半 径为 ，具 体讨 论如下 ： (1)平行平 面腔 R1=R2=。。 将 R代人(14)式得 ： [ ： ] czo fld(18) ； = ∞ (20 往返矩阵与 z无关， =o。与 z无关．表咧光腔内任一横截面上的等相位面柑同，均 为平面光波 ，曲率 中心 在无 穷远 处．即平行平面腔的 臼再 现渡型为平面 光波．在忽略衍射 效应或菲涅耳数 Ⅳ，足 够大 时，这一结论是正 确的；与文献 。 是一致 的． (2)共 心腔 Rl+ 2；L 考虑一 对称共 心 腔，R。；R2；R=L／2 ，代人(14)式得 = 一 ，+8(+z) 由(18)式 g 一D 一3i8lLz)一(一z)+，一 往返矩 阵 。z有 ， 与 z有戈 ， 由圈 2可 见． (1)z=0， =0，等 椭位 而曲率 半径为零， 曲率中心 ：原心 0处 ． (22) (23) + 一2 3 一 、 L + L 一2 8 一L 3．一． 3 一 [、Z一， 8、 一Z，一L 一2 一2 ， l＼l 8 一IlL ，●Il 打 C D 维普资讯 http://www.cqvip.com