∴p4+A=PA)+Pa=Pw)=1 pa=1-P() 例：一批小麦种子播种后，发芽的概率为0.9，求不发芽的概率。 A:发芽p(A)=0.9 A:不发芽求：p同=？ pa=1-P(4)=1-0.9=0.1 2.条件概率 事件A发生条件下，事件B发生的概率，记作pB/A) P(B/A)-P(B.A) P(A) 如图因为A发生条件下，关心B事件是否发生。此时A已排除在外，W可以缩小 到A,在A范围内考察B发生的概率。 六pB/)=S 但S=SB/S-PAB S S/S.P(A) ·pB/A=P P(A) 例：同一品种的大豆种子，。保存在仓库甲，发芽率为0.91。二保存在仓库乙，发 芽率是0.88，把这两个仓库的种子混合播种，问种子的发芽率是多少？ 解：B1:甲库取出的种子 P)=号 B:乙库取出的种子Pa,)广号 A:种子发芽率，求pA=? 甲库取出的种子发芽率：B1A 乙库取出的种子发芽率：B2A
36 ∴ p(A + A) = P(A)+ P(A) = P(W ) = 1 ∴ p(A) = 1− P(A) 例：一批小麦种子播种后，发芽的概率为 0.9，求不发芽的概率。 A：发芽 p(A) = 0.9 A ：不发芽 求： p(A) =？ p(A) = 1− P(A) = 1− 0.9 = 0.1 2.条件概率 事件 A 发生条件下，事件 B 发生的概率，记作 p(B/ A) p(B/ A)= P(A) P（B A） 如图因为 A 发生条件下，关心 B 事件是否发生。此时 A 已排除在外，W 可以缩小 到 A，在 A 范围内考察 B 发生的概率。 ∴ ( ) A AB S S p B/ A = 但 ( ) P(A) P AB S S S S S S A w AB w A AB = = / / ∴ ( ) ( ) P(A) P AB p B / A = 例：同一品种的大豆种子， 3 1 保存在仓库甲，发芽率为 0.91。 3 2 保存在仓库乙，发 芽率是 0.88，把这两个仓库的种子混合播种，问种子的发芽率是多少？ 解：B1：甲库取出的种子 ( ) 3 1 P B1 = B2：乙库取出的种子 ( ) 3 2 P B2 = A：种子发芽率，求 p(A) =？ 甲库取出的种子发芽率：B1A 乙库取出的种子发芽率：B2A
A=B1A+B2A,B1A与B2A互不相容 .p(A)=P(BA+BA)=P(BA)+P(B2A) p(BA)=P(A/B).P(B.) P(B2 A)=P(A/B2 ).P(B2) 己知p4/B)=0.091, PA/B2)=0.88 六p80=0.91×3 P(B,A=0.88×号 P4=PB,4+PB,=091x+088×号=0.89 3.乘法定理 (1)乘法定理 由条件概率pB1A)=P,pa/B)=P P(A) P(B) .p(AB)=P(A)P(B/A)=P(B)P(A/B) 例：从装有三只雄鼠两只雌鼠的笼子里依次取出两只，试求取出的两只都是雌鼠的 概率？ 解：A1:第一次取出雌鼠 A2:第二次取出雌鼠 A:取出的两只都是雌鼠 )-子1A)-号 ，=44小=41A)=号0 (2)独立事件的乘法 若pBIA)=P(B),则称事件B独立于事件A 若pAIB)=P),则称事件A独立于事件B 即：若事件A的出现并不影响事件B的出现，则称这两个事件是相互独立的，称为 独立事件。 若事件A与B相互独立，则乘法定理成为： p(A·B)=PAIB)PB)
37 A= B1A +B2A，B1A 与 B2A 互不相容 ∴ p(A) P(B A B A) P(B A) P(B A) = 1 + 2 = 1 + 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 / / P B A P A B P B p B A P A B P B = = 已知 p(A/ B1 ) = 0.091， P(A/ B2 ) = 0.88 ∴ ( ) 3 1 p B1A = 0.91 ， ( ) 3 2 P B2 A = 0.88 ( ) ( ) ( ) 0.89 3 2 0.88 3 1 P A = P B1A + P B2 A = 0.91 + = 3.乘法定理 （1）乘法定理 由条件概率 ( ) ( ) P(A) P AB p B / A = ， ( ) ( ) P(B) P AB p A/ B = ∴ p(AB) = P(A)P(B/ A) = P(B)P(A/ B) 例：从装有三只雄鼠两只雌鼠的笼子里依次取出两只，试求取出的两只都是雌鼠的 概率？ 解：A1：第一次取出雌鼠 A2：第二次取出雌鼠 A：取出的两只都是雌鼠 ( ) 5 2 p A1 = ， ( ) 4 1 / p A2 A1 = ， ( ) ( ) ( ) ( ) 10 1 5 2 4 1 / p A = P A1A2 = P A2 A1 P A1 = = （2）独立事件的乘法 若 p(B/ A) = P(B) ，则称事件 B 独立于事件 A 若 p(A/ B) = P(A) ，则称事件 A 独立于事件 B。 即：若事件 A 的出现并不影响事件 B 的出现，则称这两个事件是相互独立的，称为 独立事件。 若事件 A 与 B 相互独立，则乘法定理成为： p(A B) = P(A/ B) P(B)
己知A、B独立，∴P(A/B)=P4) ∴PAB)=PAPB 例：有甲乙两粒大豆种子，出苗率为0.8，若这两粒同种一穴，试求穴中有苗的概率？ 解：A:甲粒出苗 B:乙粒出苗 C:穴中有苗 则C=A+B,且A、B独立。 由加法法则：PC)=P(4+B)=P(4)+P(B)-P(4B)=0.8+0.8-0.82=0.96 8
38 已知 A、B 独立，∴ P(A/ B) = P(A) ∴ P(A B) = P(A)P(B) 例：有甲乙两粒大豆种子，出苗率为 0.8，若这两粒同种一穴，试求穴中有苗的概率？ 解：A：甲粒出苗 B：乙粒出苗 C：穴中有苗 则 C=A+B，且 A、B 独立。 由加法法则： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0.8 0.8 0.8 0.96 2 P C = P A+ B = P A + P B − P AB = + − =
第三章随机变量及其概率分布 3.1随机变量 随机变量和概率分布是统计学的两个重要概念，全面地刻化出一个随机现象的基本 手段就是将随机现象的各种可能结果和相应的概率都列出来，而这些结果若能用数量加 以表示将有利于人们用数学的工具去处理它。（举抛硬币试验，起了解正面出现1次的 规律（概率）)。 3.1.1随机变量 随机变量：在随机试验中，被测定的是可取不同值的变量，且它究竞取何值具有偶然性， 这样的量称为随机变量。简单地说就是在随机试验中被测定的量。用大写字母X、Y、U、 V等表示。 随机变量不同于一般数学上的变量，因为它取各种不同数值的规律是概率性的，从 而表现出随机因素的影响。随机变量因此是随机现象的表述。 例如：测量某种植物叶的叶绿素含量是一随机试验。含量就是被测定的量，它取何 值具有随机性，是一个随机变量。又如：大豆种子子叶颜色的遗传分离分为黄色和青色， 颜色就是被测定的量，是一个随机变量。 观察值：随机变量所取得值称为观察值，用x,表示。 3.1.2离散型随机变量 随机变量的可能取得的数值为有限个并可以一一列举的，则称为离散型随机变量。 如：观察10个新生儿的性别，其中男孩出现的人数是随机变量用X表示，则X可 取0、1、2、10中的任何值，是有限的。如果连续观察某医院新生儿性别，则男孩 出生的人数X就是可数的无穷个孤立的数值。 3.1.3连续型随机变量 如果随机变量可取某一区间（有限或无限）内的任何数值，则称为连续型随机变量。 随机变量的可能结果不能一一列举。 即随机试验中所测得的连续型数据：身高、体重、面积、体积等。如津丰小麦250 株的高度是从55厘米到70厘米之间的任何值。 3.1.4总体与样本 我们给总体下的定义是：具有共同性质的个体所组成的集团，是我们研究的全部对 象。样本是总体的一部分。这种定义是广义上的。 39
39 第三章 随机变量及其概率分布 3.1 随机变量 随机变量和概率分布是统计学的两个重要概念，全面地刻化出一个随机现象的基本 手段就是将随机现象的各种可能结果和相应的概率都列出来，而这些结果若能用数量加 以表示将有利于人们用数学的工具去处理它。（举抛硬币试验，起了解正面出现 i 次的 规律（概率））。 3.1.1 随机变量 随机变量：在随机试验中，被测定的是可取不同值的变量，且它究竟取何值具有偶然性， 这样的量称为随机变量。简单地说就是在随机试验中被测定的量。用大写字母 X、Y、U、 V 等表示。 随机变量不同于一般数学上的变量，因为它取各种不同数值的规律是概率性的，从 而表现出随机因素的影响。随机变量因此是随机现象的表述。 例如：测量某种植物叶的叶绿素含量是一随机试验。含量就是被测定的量，它取何 值具有随机性，是一个随机变量。又如：大豆种子子叶颜色的遗传分离分为黄色和青色， 颜色就是被测定的量，是一个随机变量。 观察值：随机变量所取得值称为观察值，用 i x 表示。 3.1.2 离散型随机变量 随机变量的可能取得的数值为有限个并可以一一列举的，则称为离散型随机变量。 如：观察 10 个新生儿的性别，其中男孩出现的人数是随机变量用 X 表示，则 X 可 取 0、1、2、.10 中的任何值，是有限的。如果连续观察某医院新生儿性别，则男孩 出生的人数 X 就是可数的无穷个孤立的数值。 3.1.3 连续型随机变量 如果随机变量可取某一区间（有限或无限）内的任何数值，则称为连续型随机变量。 随机变量的可能结果不能一一列举。 即随机试验中所测得的连续型数据：身高、体重、面积、体积等。如津丰小麦 250 株的高度是从 55 厘米到 70 厘米之间的任何值。 3.1.4 总体与样本 我们给总体下的定义是：具有共同性质的个体所组成的集团，是我们研究的全部对 象。样本是总体的一部分。这种定义是广义上的
现在我们有了随机变量的概念，就可以在概率论的范畴给总体和样本下一个更确切的定 义： 总体：随机变量可能取值的全体称为总体。 样本：随机变量的次独立观察值称为样本。以小写字母x,y,等表示第1次观察值。 有了随机变量的概念，一个随机事件可用随机变量的关系式表示。 例某品种成年兔体重X在2公斤到3公斤之间这一随机事件可表示为2≤X<3. 3.2离散型概率分布 3.2.1概率分布 1概率函数 离散型随机变量X可能取得有限个或可数无穷个孤立的值，这些值可一一列举，如 抛硬币试验，币值面出现的次数是我们要测定的量，它的可能取值或可能结果是0、1、 2、3、次。并且当我们有很多同学分不同的组抛硬币时，可以求出这些可能结果 的概率p,: X2 XX X=x Pi p.P(x) 现在如果能找出p,与x,的关系，建立起X与P,的关系，那么对于任意一个x就可 以方便地求出其概率了。这好比数学上的函数关系。我们把Px)称为当Xx时，随机 变量X的概率函数。它是我们所要研究和掌握的离散型随机变量的变化规律。 函数就是以数学的语言所概括的两个变量的相互关系及其变化规律。 因此，对于X的每一个值都能得出一个概率值P。那么随机变量X将取得某一个实 数值x的概率，可用概率函数Px)表示（尤其对于古典概型）。 Px)=PX=x)=X的概率函数 Px)应满足： 在所有的x中，Px)≥0， ∑p1
40 现在我们有了随机变量的概念，就可以在概率论的范畴给总体和样本下一个更确切的定 义： 总体：随机变量可能取值的全体称为总体。 样本：随机变量的 n 次独立观察值称为样本。以小写字母 i x ， i y 等表示第 i 次观察值。 有了随机变量的概念，一个随机事件可用随机变量的关系式表示。 例某品种成年兔体重 X 在 2 公斤到 3 公斤之间这一随机事件可表示为 2X3。 3.2 离散型概率分布 3.2.1 概率分布 1.概率函数 离散型随机变量 X 可能取得有限个或可数无穷个孤立的值，这些值可一一列举，如 抛硬币试验，币值面出现的次数是我们要测定的量，它的可能取值或可能结果是 0、1、 2、3、.n 次。并且当我们有很多同学分不同的组抛硬币时，可以求出这些可能结果 的概率 i p ： 1 x 2 x i x n x X= x 1 p 2 p i p n p P(x) 现在如果能找出 i p 与 i x 的关系，建立起 X 与 i p 的关系，那么对于任意一个 i x 就可 以方便地求出其概率了。这好比数学上的函数关系。我们把 P(x) 称为当 X= x 时，随机 变量 X 的概率函数。它是我们所要研究和掌握的离散型随机变量的变化规律。 函数就是以数学的语言所概括的两个变量的相互关系及其变化规律。 因此，对于 X 的每一个值都能得出一个概率值 P 。那么随机变量 X 将取得某一个实 数值 x 的概率，可用概率函数 P(x) 表示（尤其对于古典概型）。 P(x)= P(X = x) = X 的概率函数 P(x) 应满足： 在所有的 x 中， P(x) ≥0， ( ) x p x =1