事件C:146.5-149.5cm 2.14统计规律一频率的稳定性 对大量随机现象的研究表明，随机现象中也蕴含着必然性的规律。如天气预报、虫 害发生预报 随机事件的这种性质称为频率的稳定性。也叫统计规律。也即单独一次结果的不确 定性和累积结果的规律性。 例如蝗虫的发生本来由于其受生态因子、食物条件、天敌数量等的影响而带有偶然 性的一面，但经验表明，当某一因子或某几个因子处在一定数值内时，大发生的可能性 要比少发生的可能性大得多，这是我们可以预报害虫发生的原理。 对于事件A,若K次试验中出现了1次，则称： FA)=月 为随机事件A在K次试验中出现的频率。 对于随机现象人们关心的是在一定条件下某一种结果是否出现。从一次试验或 次观测中某一结果是否出现事先是不可预言的，这一结果是否出现具有偶然性，似乎没 有规律，但是经过反复大量的重复试验和观测，这些偶然现象却会是呈现某种规律性。 例如：抛硬币试验，可能结果：事件A国徽面，事件B币值面。 抛一次，事件B出现的次数为0或1，频率为0或1。抛3次，事件B可能出现次 数为0、1、2、3，颜率为0、0.33、0.67、1.02，没有任何规律。 次数 A面次数 频数 1 0、1 0、1 3 0、1、2、30、0.33、0.67、1 但如果将抛钱币次数增大到100、1000、10000次以上，则事件B出现的频率将接 近与0.5。 历史上，不少人将抛硬币试验做到成千上万次以上。 历史上有不少人做过这个试验，其结果如下： 实验者 抛硬币次数 出现正面次数 频率 蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016
26 事件 C：146.5-149.5cm . 2.1.4.统计规律—频率的稳定性 对大量随机现象的研究表明，随机现象中也蕴含着必然性的规律。如天气预报、虫 害发生预报。 随机事件的这种性质称为频率的稳定性。也叫统计规律。也即单独一次结果的不确 定性和累积结果的规律性。 例如蝗虫的发生本来由于其受生态因子、食物条件、天敌数量等的影响而带有偶然 性的一面，但经验表明，当某一因子或某几个因子处在一定数值内时，大发生的可能性 要比少发生的可能性大得多，这是我们可以预报害虫发生的原理。 对于事件 A，若 K 次试验中出现了 l 次，则称： k l F（k A）= 为随机事件 A 在 K 次试验中出现的频率。 对于随机现象人们关心的是在一定条件下某一种结果是否出现。从一次试验或一 次观测中某一结果是否出现事先是不可预言的，这一结果是否出现具有偶然性，似乎没 有规律，但是经过反复大量的重复试验和观测，这些偶然现象却会是呈现某种规律性。 例如：抛硬币试验，可能结果：事件 A 国徽面，事件 B 币值面。 抛一次，事件 B 出现的次数为 0 或 1，频率为 0 或 1。抛 3 次，事件 B 可能出现次 数为 0、1、2、3，频率为 0、0.33、0.67、1.02，没有任何规律。 次数 A 面次数 频数 1 0、1 0、1 3 0、1、2、3 0、0.33、0.67、1 但如果将抛钱币次数增大到 100、1000、10000 次以上，则事件 B 出现的频率将接 近与 0.5。 历史上，不少人将抛硬币试验做到成千上万次以上。 历史上有不少人做过这个试验，其结果如下： 实验者 抛硬币次数 出现正面次数 频率 蒲丰 4040 2048 0.5069 皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005 这样通过大量重复试验，我们得出了抛硬币试验出现正反面的机会相等这一规律。 又如在英语中，某些字母出现的频率远远高于另外一些字母，在进行更深入的研 究后，人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定。 字母空格ET O AN I RS 频率0.20.1050.0720.0650.0630.0590.0550.0540.052 HDL C F U M PY 0.0470.0350.0290.0230.0220.0220.0210.0170.012 W G B V K X J Q Z 0.0120.0110.01050.0280.0030.0020.0010.0010.001 又如身高体重的钟形分布。（这里要强调试验次数增加后，频率的稳定性） 上述种种实例说明，随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面。这种必然 性表现为大量试验中，随机事件出现的频率的稳定性，这种规律我们称之为统计规律性。 统计规律性表现为单独一次结果的不确定性和累积结果的有规律性。 为了这种统计规律性，就可以对随机现象加以研究、度量，这种度量指标就是概率 一事件出现的可能性的大小。 2.2概率的定义 2.2.1.概率的统计定义 根据频率的稳定性，在大量随机试验中，事件A出现的频率稳定地接近于某一定 值。据此提出频率的统计定义： 对于随机事件A,当试验次数无限增多时，须率，F(稳定地接近于一个定值P, 那么我们就将这个p定义为事件发生的概率P4)。记作P()=p。P(4)=p它是当k 足够大时稳定到的那个值。 概率的统计定义是通过大量试验，以频率的稳定性为基础提出来的。 一般情况下，不可能追、准确获得，以k在充分大时事件A的频率作为该事件概 率P的近似值，即。P=p-名
27 皮尔逊 24000 12012 0.5005 这样通过大量重复试验，我们得出了抛硬币试验出现正反面的机会相等这一规律。 又如在英语中，某些字母出现的频率远远高于另外一些字母，在进行更深入的研 究后，人们还发现各个字母被使用的频率相当稳定。 字母 空格 E T O A N I R S 频率 0.2 0.105 0.072 0.065 0.063 0.059 0.055 0.054 0.052 H D L C F U M P Y 0.047 0.035 0.029 0.023 0.022 0.022 0.021 0.017 0.012 W G B V K X J Q Z 0.012 0.011 0.0105 0.028 0.003 0.002 0.001 0.001 0.001 又如身高体重的钟形分布。（这里要强调试验次数增加后，频率的稳定性） 上述种种实例说明，随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面。这种必然 性表现为大量试验中，随机事件出现的频率的稳定性，这种规律我们称之为统计规律性。 统计规律性表现为单独一次结果的不确定性和累积结果的有规律性。 为了这种统计规律性，就可以对随机现象加以研究、度量，这种度量指标就是概率 —事件出现的可能性的大小。 2.2 概率的定义 2.2.1. 概率的统计定义 根据频率的稳定性，在大量随机试验中，事件 A 出现的频率稳定地接近于某一定 值。据此提出频率的统计定义： 对于随机事件 A，当试验次数无限增多时，频率 k l ，F(A) 稳定地接近于一个定值 p ， 那么我们就将这个 p 定义为事件发生的概率 P(A) 。记作 P(A) = p 。P(A) = p 它是 k l 当 k 足够大时稳定到的那个值。 概率的统计定义是通过大量试验，以频率的稳定性为基础提出来的。 一般情况下， p 不可能追、准确获得，以 k 在充分大时事件 A 的频率作为该事件概 率 p 的近似值，即。 P(A) = p = k l
概率具有下列性质： (1)任何事件A的概率均满足：0≤P(A)≤1 (2)必然事件的概率为1：PW)=1 (3)不可能事件的概率为零：PW)=0 由这三条性质可以看出，P(4)越大，事件A越容易发生，P(4)越小，事件A越不 容易发生。 “小概率的实际不可能性”原理 222.概率的古典定义 概率的统计定义是在大量的试验中以频率的稳定性为基础提出来的。它适用一般的 随机现象和随机事件。 所谓一般的随机事件是指随着试验次数的改变，事件A出现的次数也是变化的。 如抛硬币。 自然界还有一类随机现象，是我们早已熟悉的。如某鹿场饲养着同龄的(5岁)A、 B、C三种鹿共10头。其中A7头，B2头，C1头。欲从中任选一头做一项生理试验， 则可能选中A,可能选中B,可能选中C的概率为：P-0,P)=,PC)-0 又如盒子里有红、白、黑棋子各一个，现从中任摸一子，则三子被摸中的概率分别 是； 这种概率不用做试验就可以通过推理得出，所以也叫做验前概率，是在概率论发展 得早期提出来的，故也叫古典概率（型）或贝努力概型。 这类随机事件的特点是： (1)随机试验的全部可能结果是有限的： (2)各个结果是等可能的且互不相容的。 定义如下： 在一次试验中，事件A的概率是A中所包含的结果m与全部可能的结果n的比值 P(A)= 例10头鹿，A种鹿有7头，B种鹿有3头，从中任选一头，则共有10个结果，=10， 选到A种鹿的可能结果有7个，m=7,所以选到A种鹿的概率为P心4- 28
28 概率具有下列性质： （1）任何事件 A 的概率均满足：0≤ P(A) ≤1 （2）必然事件的概率为 1： P(W) =1 （3）不可能事件的概率为零： P(V) = 0 由这三条性质可以看出， P(A) 越大，事件 A 越容易发生， P(A) 越小，事件 A 越不 容易发生。 “小概率的实际不可能性”原理 2.2.2. 概率的古典定义 概率的统计定义是在大量的试验中以频率的稳定性为基础提出来的。它适用一般的 随机现象和随机事件。 所谓一般的随机事件是指随着试验次数的改变，事件 A 出现的次数也是变化的。 如抛硬币。 自然界还有一类随机现象，是我们早已熟悉的。如某鹿场饲养着同龄的（5 岁）A、 B、C 三种鹿共 10 头。其中 A 7 头，B 2 头，C 1 头。欲从中任选一头做一项生理试验， 则可能选中 A，可能选中 B，可能选中 C 的概率为： ( ) 10 7 P A = ， ( ) 10 2 P B = ， ( ) 10 1 P C = 。 又如盒子里有红、白、黑棋子各一个，现从中任摸一子，则三子被摸中的概率分别 是 3 1 。 这种概率不用做试验就可以通过推理得出，所以也叫做验前概率，是在概率论发展 得早期提出来的，故也叫古典概率（型）或贝努力概型。 这类随机事件的特点是： （1）随机试验的全部可能结果是有限的； （2）各个结果是等可能的且互不相容的。 定义如下： 在一次试验中，事件 A 的概率是 A 中所包含的结果 m 与全部可能的结果 n 的比值。 ( ) n m P A = 例 10 头鹿，A 种鹿有 7 头，B 种鹿有 3 头，从中任选一头，则共有 10 个结果，n=10， 选到 A 种鹿的可能结果有 7 个，m=7，所以选到 A 种鹿的概率为 ( ) 10 7 P A =
例如：在随机数字表中，0、1、2、.，9出现的概率是相等的，现从其中任抽 数字，问抽到0的概率是多少？抽倒3以下（不包括3）数字的概率？ 设李件A:到0，m,m0,则P)= 事件B:销到3以下，3，m0,则P@)= 在古典概率中，强调基本事件。 基本事件：随机事件可能的结果不能再划分。 2.3事件及运算 2.3.1事件 前面己介绍过随机现象的每一结果叫做一个随机事件，简称事件。用大写字母A、 B、C.表示。 对同一随机现象进行研究时，讨论的范围不同，考虑问题的角度不同，可能会有不 同的结果，因而得到不同的随机事件。 例：对三粒油菜种子进行发芽试验，其结果可能是： C。:三粒都不发芽 G：只有一粒发芽 G2:只有两粒发芽 G:三粒都发芽 在现在的研究范围内，只考虑三粒种子中有几粒发芽，就只有这四种事件，不能再 分解了。 在一定研究范围内不能再分解的事件叫做基本事件。 但是如果这三粒油菜种子分别放在三个不同的培养皿中发芽。我们不仅要考虑三粒 种子中有几粒发芽，而且要是第几个培养皿中的种子发芽。也就是把这三粒种子看作 是有顺序的。分为第一粒、第二粒和第三粒种子。结果会得到八个基本事件 Do:三粒都不发芽， D1:第一粒发芽，但第二、三粒不发芽， D2:第二粒发芽，但第一、三粒不发芽， D:第三粒发芽，但第一、二粒不发芽， 29
29 例如：在随机数字表中，0、1、2、.，9 出现的概率是相等的，现从其中任抽 一数字，问抽到 0 的概率是多少？抽倒 3 以下（不包括 3）数字的概率？ 设事件 A：抽到 0，m=1，n=10，则 ( ) 10 1 P A = ， 事件 B：抽到 3 以下，m=3，n=10，则 ( ) 10 3 P B = 。 在古典概率中，强调基本事件。 基本事件：随机事件可能的结果不能再划分。 2.3 事件及运算 2.3.1 事件 前面已介绍过随机现象的每一结果叫做一个随机事件，简称事件。用大写字母 A、 B、C.表示。 对同一随机现象进行研究时，讨论的范围不同，考虑问题的角度不同，可能会有不 同的结果，因而得到不同的随机事件。 例：对三粒油菜种子进行发芽试验，其结果可能是； 0 c ：三粒都不发芽 1 c ：只有一粒发芽 2 c ：只有两粒发芽 3 c ：三粒都发芽 在现在的研究范围内，只考虑三粒种子中有几粒发芽，就只有这四种事件，不能再 分解了。 在一定研究范围内不能再分解的事件叫做基本事件。 但是如果这三粒油菜种子分别放在三个不同的培养皿中发芽。我们不仅要考虑三粒 种子中有几粒发芽，而且要 是第几个培养皿中的种子发芽。也就是把这三粒种子看作 是有顺序的。分为第一粒、第二粒和第三粒种子。结果会得到八个基本事件。 D0：三粒都不发芽， D1：第一粒发芽，但第二、三粒不发芽， D2：第二粒发芽，但第一、三粒不发芽， D3：第三粒发芽，但第一、二粒不发芽
D4:第一、二粒发芽，但第三粒不发芽， D5:第一、三粒发芽，但第二粒不发芽， D6:第二、三粒发芽，但第一不粒发芽， D:三粒都发芽。 c:000 一D1:100 D2:010 -D3:001 -D4:110 D5:101 D6:011 G:D7:111 在现在的研究范围内（考虑种子的顺序），以上八件事不能再分解了。此时，“只有 一粒种子”不再是基本事件，它可以分解为D1、D2、D三个基本事件。即c,是由D1、 D2、D3组成。 在一定范围内由基本事件所组成的事件叫做复杂事件。 基本事件有一个很重要的性质，在一次试验中只能发生基本事件中的一个。换句话 说，在一次试验中两个或两个以上的基本事件不可能同时发生。即两个基本事件是互不 相容的。 2.2.2事件的运算 对于各种简单的随机事件A、B、C等，今后可以直接按照概率的统计定义或古典 定义求取它们的概率。然而，实践中我们还常常关心一些由简单事件构成的复合事件的 概率。 最常见的复合事件有A、B二事件之和，A、B二事件之积，A的对立事件等。它 们可以理解为由A、B、C等简单事件经过事件的运算而构成的。 1.事件的关系 (1)包含 若事件A发生，事件B也一定发生，则称事件B包含事件A。 30
30 D4：第一、二粒发芽，但第三粒不发芽， D5：第一、三粒发芽，但第二粒不发芽， D6：第二、三粒发芽，但第一不粒发芽， D7：三粒都发芽。 0 c ：0 0 0 D1： 1 0 0 1 c D2： 0 1 0 D3： 0 0 1 D4： 1 1 0 2 c D5： 1 0 1 D6： 0 1 1 3 c ： D7： 1 1 1 在现在的研究范围内（考虑种子的顺序），以上八件事不能再分解了。此时，“只有 一粒种子”不再是基本事件，它可以分解为 D1、D2、D3 三个基本事件。即 1 c 是由 D1、 D2、D3 组成。 在一定范围内由基本事件所组成的事件叫做复杂事件。 基本事件有一个很重要的性质，在一次试验中只能发生基本事件中的一个。换句话 说，在一次试验中两个或两个以上的基本事件不可能同时发生。即两个基本事件是互不 相容的。 2.2.2 事件的运算 对于各种简单的随机事件 A、B、C 等，今后可以直接按照概率的统计定义或古典 定义求取它们的概率。然而，实践中我们还常常关心一些由简单事件构成的复合事件的 概率。 最常见的复合事件有 A、B 二事件之和，A、B 二事件之积，A 的对立事件等。它 们可以理解为由 A、B、C 等简单事件经过事件的运算而构成的。 1.事件的关系 （1）包含 若事件 A 发生，事件 B 也一定发生，则称事件 B 包含事件 A