已知：L3与L1、L2相交于A、B,+B<2d 求证：L1与L2相交 证明中蕴涵两个假设 (1)当点C沿着L2无限远离时，距 离CD无限增大； (2)若L与L不相交，则L与L1的距 离有上界，且对于直线上的点处 处相等。 命题(1)正确 命题(2)与第五公设等价！
已知: L3与L1、L2相交于A、B,+<2d 求证： L1与L2相交 L1 L2 L 证明中蕴涵两个假设 （1）当点C沿着L2无限远离时，距 离CD无限增大； （2）若L与L1不相交，则L与L1的距 离有上界，且对于直线上的点处 处相等。 命题(1)正确 命题(2)与第五公设等价! L3 ‘ A B C D
等价命题 公理系统∑：∑+P1→P2且∑+P2→P1, 与第五公设等价的命题 (1)三角形内角和等于1800. (2)平面上一直线的斜线与垂线相交. (3)三角形三高共点 (4)三角形全等. (5)勾股定理 (6)存在相似三角形
等价命题 公理系统∑：∑+ P1P2且∑+ P2P1 , 与第五公设等价的命题 (1)三角形内角和等于1800. (2)平面上一直线的斜线与垂线相交. (3)三角形三高共点. (4)三角形全等. (5)勾股定理. (6)存在相似三角形. …………
Playfair(1748-1819)命题 过已知直线外一点有且只有一条直线平 行与已知直线平行一平行公理 (注意：存在性可以证明) C
过已知直线外一点有且只有一条直线平 行与已知直线平行—平行公理 (注意:存在性可以证明) ’ P
勒业德的遣德 勒让德 A.Legendre 1752-1833
勒让德 A.Legendre 1752-1833
《几何学基础》( 1794) 《几何原本》（法文，第12版，1813） 附录：关于平行公设的证明 再版12次，每次都因“证明”中的纰漏而不 得不修改
《几何学基础》（1794） 《几何原本》（法文，第12版，1813） 附录：关于平行公设的证明 再版12次，每次都因“证明”中的纰漏而不 得不修改