涂鸿浩，张广铭：一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 11 相应的本征值{m1,,m}来标记量子态 2m,我们可将SO(n)对称的海森堡（双线性）相互作用 L2a-12al0,.,ma,,0)=mal0,.,ma,0） a(m)+n》 (a) 1◆ (49) 其中1≤a≤l,且ma=0,士1。对于偶数n=2l的情 形，Cartan?生成元相应的本征矢为 0…m=士10）=店(2）士h2如- 透(（m)-n》 ln(m)+n'》 (50) -1 1L12 对于奇数n=2l+1情形，除上述本征矢外还多出一 个“额外维度”的矢量n2+1)。由(47)式可知它被所 有Cartan生成元所“消灭” 10,0,.,0y=n2+1)》 (51) -1↑2(m)-in》 在示意图4中，我们给出了SO(4)和SO(5)李代数的权 L34 图。值得一提的是，正是由于“额外维度”矢量的存在， (⑥) 1,房)+m》 使得SO(2l+1)李代数与SO(2l)李代数在Cartan分类 中分属B,和D代数46.47。 2.矢量表示的直积分解 m2)-n》 (m)+n'》 若考虑两个近邻格点和j,两个SO(n)矢量表示 1 L12 的直积分解可表示为 卫8卫=1⊕n(n-1)/2⊕(n+2)(n-1)/2 (52) 下划线上的数是相应SO(n)表示的维数， -1a(m)-n3》 其中1是SO(n)单态，波函数为最大纠缠 态六∑a=1n):ln),°n(n-1)/2是反对称张量表 图4.SO(5)(a)和SO(4)(b)李代数矢量表示的权图，注意 它们唯一的区别在于是否存在“额外维度”矢量)。 示，其中包含的n(n-1)/2个态为 ()) (53) 项用(52)式中的三个SO(n)表示通道的投影算符表示 为 这个表示的维数与SO(n)李代数生成元数目相同，它 实际上是S0(n)的伴随表示。(n+2)(m-1)/2是对称 ∑LgLg=(1-n)P6,)-Paa-2(6,) a<b 的张量表示，其中包含如下n(n-1)/2个态 +P+2m-1)/2(i,j) (56) ().l),+l))) (54) 利用投影算符的性质，将上式左右两边平方，我们可 将SO(n)对称的双二次相互作用项表示为 以及如下n-1个态 方r:,-.d (55) =(n-1)2P(,)+Pn(n-/2(i,) +Pn+2m-1)/2(i,j) (57) 对直积分解(52)式中等式右边的三个SO(n)表示，两格 点的Casimir算符∑a<b(L+L)2的值分别是0,2n- 再结合投影算符的完备性关系，三个表示通道的投影 4和2n。结合单个格点的Casimir算符∑a<6(Lg)2= 算符可以用SO(n)生成元表示为 ?1994-2019 China Academic Journal Electronic Publishing House.All rights reserved.http://www.cnki.net
涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 11 相应的本征值{m1, . . . , ml}来标记量子态 L 2α−1,2α |0, . . . , mα, . . . , 0i = mα |0, . . . , mα, . . . , 0i (49) 其中1 ≤ α ≤ l，且mα = 0, ±1。对于偶数n = 2l的情 形，Cartan生成元相应的本征矢为 |0, . . . , mα = ±1, . . . 0,i = 1 √ 2 ¡¯ ¯n 2α ® ± i ¯ ¯n 2α−1 ®¢ (50) 对于奇数n = 2l + 1情形，除上述本征矢外还多出一 个“额外维度”的矢量 ¯ ¯n 2l+1® 。由(47)式可知它被所 有Cartan生成元所“消灭” |0, 0, . . . , 0i = ¯ ¯n 2l+1® (51) 在示意图4中，我们给出了SO(4)和SO(5)李代数的权 图。值得一提的是，正是由于“额外维度”矢量的存在， 使得SO(2l + 1)李代数与SO(2l)李代数在Cartan分类 中分属Bl和Dl代数[46,47]。 2. 矢量表示的直积分解 若考虑两个近邻格点i和j，两个SO(n)矢量表示 的直积分解可表示为 n ⊗ n = 1 ⊕ n(n − 1)/2 ⊕ (n + 2)(n − 1)/2 (52) 下 划 线 上 的 数 是 相 应SO(n)表 示 的 维 数， 其 中1是SO(n)单 态， 波 函 数 为 最 大 纠 缠 态√ 1 n Pn a=1 |n a i i |n a i j。 n(n − 1)/2是反对称张量表 示，其中包含的n(n − 1)/2个态为 1 √ 2 ³ |n a i i ¯ ¯n b ® j − ¯ ¯n b ® i |n a i j ´ (53) 这个表示的维数与SO(n)李代数生成元数目相同，它 实际上是SO(n)的伴随表示。 (n + 2)(n − 1)/2是对称 的张量表示，其中包含如下n(n − 1)/2个态 1 √ 2 ³ |n a i i ¯ ¯n b ® j + ¯ ¯n b ® i |n a i j ´ (54) 以及如下n − 1个态 1 √ 2 ³ |n a i i |n a i j − ¯ ¯n b ® i ¯ ¯n b ® j ´ (55) 对直积分解(52)式中等式右边的三个SO(n)表示，两格 点的Casimir算符 P a<b(L ab i +L ab j ) 2的值分别是0，2n− 4和2n。结合单个格点的Casimir算符 P a<b(L ab i ) 2 = 2n， 我们可将SO(n)对称的海森堡(双线性)相互作用 (b) s s s s L 12 L 34 −1 1 −1 1 √1 2 `˛ ˛n 4 ¸ − i ˛ ˛n 3 ¸´ √1 2 `˛ ˛n 4 ¸ + i ˛ ˛n 3 ¸´ √1 2 `˛ ˛n 2 ¸ − i ˛ ˛n 1 ¸´ √1 2 `˛ ˛n 2 ¸ + i ˛ ˛n 1 ¸´ (a) s s s s s L 12 L 34 −1 1 −1 1 ˛ ˛n 5 ¸ √1 2 `˛ ˛n 4 ¸ − i ˛ ˛n 3 ¸´ √1 2 `˛ ˛n 4 ¸ + i ˛ ˛n 3 ¸´ √1 2 `˛ ˛n 2 ¸ − i ˛ ˛n 1 ¸´ √1 2 `˛ ˛n 2 ¸ + i ˛ ˛n 1 ¸´ 图 4. SO(5) (a)和SO(4) (b)李代数矢量表示的权图，注意 它们唯一的区别在于是否存在“额外维度”矢量 ˛ ˛n 5 ¸ 。 项用(52)式中的三个SO(n)表示通道的投影算符表示 为 X a<b L ab i L ab j =(1 − n)P1(i, j) − Pn(n−1)/2(i, j) + P(n+2)(n−1)/2(i, j) (56) 利用投影算符的性质，将上式左右两边平方，我们可 将SO(n)对称的双二次相互作用项表示为 ÃX a<b L ab i L ab j !2 =(n − 1)2P1(i, j) + Pn(n−1)/2(i, j) + P(n+2)(n−1)/2(i, j) (57) 再结合投影算符的完备性关系，三个表示通道的投影 算符可以用SO(n)生成元表示为
涂湾洁，张广铭：一维量子白旋链中拓扑有序态的物理描述 Pn=-g+(g】 1 P业品*- n-1 (59) P-2="云+*+云区*】 对比直积分解(52)式，我们发现：任意相邻格点 Hsomm)=>P(n+2)(n-1)/2(i.i+1)(61) 间的矩阵乘积g9+1只包含S0(2+1)单态和伴 随表示中的反对称态，而不包含S0()高维表 我们发现，这个模型具有矩阵乘积形式的基态。 示(n+2(n-1)/2中的对称态。由于哈密顿量(61)中 若为大于等于3的奇数，这个模型的基态为无简并 包含的投影算符P 将最近邻格点上的态投 的Haldanef能隙态：若n为大于等于4的偶数，这个模型 包育的的高维宗十-2上，在周期型边 界条件下，矩阵乘积态 的其态为平移对称性破缺的的一聚化(dimeried)态 维亚热日 I）=Tr(g192,gN) =Tr(rairaz...)Inainaz...nax) B.SO(2l+l)情形：新的Haldanef能隙态 总是哈密顿量(61)的零能量基态。这个态保持了品格 平移不变性以及SO(21+1)旋转不变性。在开放边界 1.基态波函数的构造 条件下，基态则出现4'度简并，这些简并基态由链两端 出现的边缘态来区分，边缘态的性质将在IV.B.3节 在本节中，我们首先考虑n为奇数的n=2+ 中详细计论。 1情形。为了得到哈密顿量(61)的基态，我们需要利 用S0(21+1)李代数的一个独特性质-旋量表示。数学 中的关联函数可以严格计算， 上讲C伍rd代品得列SO21+1)本代数旋量表示 S0(2+1)生成 元的两点关联函数在长距离下呈指数形式衰诚 利用Γ矩阵的对易 (64 关系，50(21+1)李代数的不可约旋量表示生成元可 皮T之从个 其中关联长度为=1/m 定义如下对应于j格点的g矩阵 2.与整数自旋链的对应关系 (62) 实际上，上一节中讨论的S0(21+1)模型与量子整 数自旋链体系有非常密切的联系，本节中我们将仔细 任意两个相邻格点g,的乘积可写作 分析这一联系。对于单个格点，SO21+1)的21+1个 矢量态可以用整数自旋S=的自旋态来构造。如果 99+:-∑m,lm1 用SU(2)自旋角动量的语言，(52)式中的后两个不可约 天通道分别对应于 反对称的S, 1 +g气(9,2），网 对称的Sr=2,4,,21总自旋通道.换句话说，这些 1994-2019 China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved.htp://www.cnk
12 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 P1(i, j) = − 1 n(n − 2) + 1 n(n − 2) ÃX a<b L ab i L ab j !2 (58) Pn(n−1)/2(i, j) = n − 1 2(n − 2) − 1 2 X a<b L ab i L ab j − 1 2(n − 2) ÃX a<b L ab i L ab j !2 (59) P(n+2)(n−1)/2(i, j) = n − 1 2n + 1 2 X a<b L ab i L ab j + 1 2n ÃX a<b L ab i L ab j !2 (60) 在本章中，我们将重点讨论的一维SO(n)对称的 量子自旋链模型定义为 HSO(n) = X i P(n+2)(n−1)/2(i, i + 1) (61) 我们发现，这个模型具有矩阵乘积形式的基态。 若n为大于等于3的奇数，这个模型的基态为无简并 的Haldane能隙态；若n为大于等于4的偶数，这个模型 的基态为平移对称性破缺的的二聚化(dimerized)态。 在下面的章节中，我们将详细分析这个一维严格可 解的量子SO(n)自旋链模型及其基态的不平庸拓扑性 质。 B. SO(2l + 1)情形：新的Haldane能隙态 1. 基态波函数的构造 在本节中，我们首先考虑n为奇数的n = 2l + 1情形。为了得到哈密顿量(61)的基态， 我们需要利 用SO(2l + 1)李代数的一个独特性质–旋量表示。数学 上讲，Clifford代数是得到SO(2l + 1)李代数旋量表示 的一种办法，即首先定义(2l + 1)个2 l维的Γ矩阵， 它 们满足反对易关系{Γ a , Γ b} = 2δab。利用Γ矩阵的对易 关系，SO(2l + 1)李代数的不可约旋量表示生成元可 定义为 Γ ab = [Γa , Γ b ]/2i。从而，任意两个Γ矩阵的乘 积可以写作Γ aΓ b = δab + iΓ ab。利用这些Γ矩阵，我们 定义如下对应于j格点的g矩阵 gj = 2 X l+1 a=1 Γ a |n a i j (62) 任意两个相邻格点gj的乘积可写作 gj gj+1 = X a |n a i j |n a i j+1 + i X a<b Γ ab „ |n a i j ˛ ˛ ˛n b E j+1 − ˛ ˛ ˛n b E j |n a i j+1« (63) 对 比 直 积 分 解(52)式，我 们 发 现：任 意 相 邻 格 点 间 的 矩 阵 乘 积gjgj+1只 包 含SO(2l + 1) 单 态 和 伴 随 表 示 中 的 反 对 称 态， 而 不 包 含SO(n)高 维 表 示(n + 2)(n − 1)/2中的对称态。 由于哈密顿量(61)中 包含的投影算符P(n+2)(n−1)/2 将最近邻格点上的态投 影到对称的高维表示(n + 2)(n − 1)/2上，在周期型边 界条件下，矩阵乘积态 |Ψi = Tr(g1g2 . . . gN ) = X a1...aN Tr(Γa1 Γ a2 . . . Γ aN )|n a1 n a2 . . . naN i 总是哈密顿量(61)的零能量基态。这个态保持了晶格 平移不变性以及SO(2l + 1)旋转不变性。 在开放边界 条件下，基态则出现4 l度简并，这些简并基态由链两端 出现的边缘态来区分，边缘态的性质将在 IV. B. 3 节 中详细讨论。 利用 II. C. 2 节中介绍的转移矩阵方法，该矩阵 乘积态中的关联函数可以严格计算， SO(2l + 1)生成 元的两点关联函数在长距离下呈指数形式衰减 L ab i L ab j ® ∼ exp µ − |j − i| ξ ¶ (64) 其中关联长度为ξ = 1/ ln ¯ ¯ ¯ 2l+1 2l−3 ¯ ¯ ¯。 2. 与整数自旋链的对应关系 实际上，上一节中讨论的SO(2l+ 1)模型与量子整 数自旋链体系有非常密切的联系，本节中我们将仔细 分析这一联系。对于单个格点，SO(2l + 1)的2l + 1个 矢量态可以用整数自旋S = l的自旋态来构造。 如果 用SU(2)自旋角动量的语言，(52)式中的后两个不可约 表示通道分别对应于反对称的ST = 1, 3, . . . , 2l − 1和 对称的ST = 2, 4, . . . , 2l总自旋通道。换句话说，这些