涂湾洁，张广铭：一维量子白装链中拓扑有序态的物理描述 示，Majumndar-Ghosh哈密顿量的严格基态波函数可 以写作 图2 M棱型的二聚化荔制-o创和-) -）=Π(ak+4-aa4+w） -Ghosh哈密顿量为 在这两个波函数中，每两个近邻格点形成价键单态 hc=J∑(S·S+1+5·S+2+)(2) 它们构成一组平移对称性破缺的二聚化基态，示意图 见图2。 其中J>0.我们不妨先用二次量子化的Schwinger玻 为证明该二聚化基态是Majumdar-Ghosh模型的 色子表象来写出单个格点上的两个自1/2态 基态，不妨考虑三个相邻格点上自旋1/2之间的耦合 It)=ailv).I)=aflv) 22 585⑧与=0由1)@ 其中玻色子算符a和a分别产生向上和向下的 自旋1/2态，v)为真空态。利用Schwinger玻色子表 其中投影到总自旋为32通道的投影算符可以写作 B26-1,ii+1)=S-1+S+S+1)2--2S-1…S4+SS+1+S-1…S+1)+ 注意到Majumndar-Ghosh模型可以写作 2.Aflleck-Kennedy-Lieb-Tasaki模型 乃2-1，i,i+1) 借助于在上一节中构造Majumdar--Ghosh模型 (23)严格可解基态的思想，在本节中我们介绍A田eck Kenned-Iieh-Tasaki(AKIT)模型s.到，在一维量 由于J>0,Majumdar-Ghosh模型作为一个投影算 子整数自旋链体系中，A们T模型及其VS其态 符哈密顿量，其本征值恒大于等于0。在二聚化基态 为理解Haldane猜想提供了清晰的物理图像 中，由于每个格点总是与其近邻格点形成了价键单 构造AKLT模 型 首先需要 节中自 态，每三个近邻格点间的总自旋永远是自旋1/2，不可 旋1/2的Schwinger玻色子表示推广到任意自旋 能达到3/2.因此，图2中的二聚化态总是Majumdar Ghosh模型的零能量严格基态。 s+=afal,S-=afat.S=(afat -afal)(24) 在Majumdar-Ghosh模型中，次近邻的反铁磁自 旋交换对近邻格点的反铁磁交换起到阻挫作用，这 上述玻色子表示自动满足自旋算符的SU(2)李代数为 使得标准的自旋1/2反铁磁海森堡模型中自旋的代数 易关系S+,S-]=25”,[S,5]=±S±。为确保单 长程关联变成短程关联。在一聚化其态之上，体系 个格点的自旋大小为S,还需要加上一个约束条件 中的激发有能隙，能隙的产生来源于平移对称性破 缺，这也使得ajumdar-Ghosh模型中能隙的打开并 (25) 不违背Ⅱ.A.2节中讨论的Lieb-Schultz-Mattis定理 作为投影算符构造严格 这一玻色子数的约束条件确保每个格点上S2=SS+ 1).利用Schwinger玻色子，自旋为S的态可以对应到 1994-2019China Academic Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved. http:/www.cnki.ne
6 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 *-+ *,+ 图 2. Majumdar-Ghosh模型的二聚化基态|Ψ+i (a)和|Ψ−i (b). -Ghosh 哈密顿量为 HMG = J X N i=1 (Si · Si+1 + 1 2 Si · Si+2 + 3 8 ) (21) 其中J > 0。我们不妨先用二次量子化的Schwinger玻 色子表象来写出单个格点上的两个自旋1/2态： |↑i = a † ↑ |vi, |↓i = a † ↓ |vi (22) 其 中 玻 色 子 算 符a † ↑和a † ↓分 别 产 生 向 上 和 向 下 的 自旋1/2态，|vi为真空态。利用Schwinger玻色子表 示，Majumdar-Ghosh哈密顿量的严格基态波函数可 以写作 |Ψ+i = N/ Y 2 i=1 (a † 2i−1,↑ a † 2i,↓ − a † 2i−1,↓ a † 2i,↑ )|vi |Ψ−i = N/ Y 2 i=1 (a † 2i,↑ a † 2i+1,↓ − a † 2i,↓ a † 2i+1,↑ )|vi 在这两个波函数中，每两个近邻格点形成价键单态， 它们构成一组平移对称性破缺的二聚化基态，示意图 见图2。 为证明该二聚化基态是Majumdar-Ghosh模型的 基态，不妨考虑三个相邻格点上自旋1/2之间的耦合 1 2 ⊗ 1 2 ⊗ 1 2 = (0 ⊕ 1) ⊗ 1 2 = 1 2 ⊕ 1 2 ⊕ 3 2 其中投影到总自旋为3/2通道的投影算符可以写作 P3/2(i − 1, i, i + 1) = 1 3 (Si−1 + Si + Si+1) 2 − 1 4 = 2 3 (Si−1 · Si + Si · Si+1 + Si−1 · Si+1) + 1 2 注意到Majumdar-Ghosh模型可以写作 HMG = 3J 4 X N i=1 P3/2(i − 1, i, i + 1) (23) 由于J > 0，Majumdar-Ghosh模型作为一个投影算 符哈密顿量，其本征值恒大于等于0。 在二聚化基态 中，由于每个格点总是与其近邻格点形成了价键单 态，每三个近邻格点间的总自旋永远是自旋1/2，不可 能达到3/2。因此，图2中的二聚化态总是MajumdarGhosh模型的零能量严格基态。 在Majumdar-Ghosh模型中，次近邻的反铁磁自 旋交换对近邻格点的反铁磁交换起到阻挫作用， 这 使得标准的自旋1/2反铁磁海森堡模型中自旋的代数 长程关联变成短程关联。 在二聚化基态之上，体系 中的激发有能隙，能隙的产生来源于平移对称性破 缺， 这也使得Majumdar-Ghosh模型中能隙的打开并 不违背 II. A. 2 节中讨论的Lieb-Schultz-Mattis定理。 作为投影算符构造严格可解哈密顿量的标准范式， Majumdar-Ghosh模型具有格外重要的意义。 2. Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki模型 借助于在上一节中构造Majumdar-Ghosh模型 严格可解基态的思想，在本节中我们介绍AffleckKennedy-Lieb-Tasaki(AKLT)模 型[8,9]。 在 一 维 量 子 整 数 自 旋 链 体 系 中，AKLT模 型 及 其VBS基 态 为 理 解Haldane猜 想 提 供 了 清 晰 的 物 理 图 像。 为 了 构 造AKLT模 型， 首 先 需 要 将 上 一 节 中 自 旋1/2的Schwinger玻色子表示推广到任意自旋S S + = a † ↑ a↓, S− = a † ↓ a↑, Sz = 1 2 (a † ↑ a↑ − a † ↓ a↓) (24) 上述玻色子表示自动满足自旋算符的SU(2)李代数对 易关系[S +, S−] = 2S z，[S z , S±] = ±S ±。 为确保单 个格点的自旋大小为S，还需要加上一个约束条件 a † ↑ a↑ + a † ↓ a↓ = 2S (25) 这一玻色子数的约束条件确保每个格点上S 2 = S(S + 1)。利用Schwinger玻色子， 自旋为S的态可以对应到
涂填法，张广铭：一维量子自接链中拓扑有序点的物理描 玻色子占据数的Fok空间 四06066660 (at)s+m(af)s-r S,m)= +mj-m州 (260)间3808008088 若取5=1/2，则上式中的两个态回到上一节中考虑 的自旋1/2情形。实际上，Schwinger玻色子表示的思 (e) 想是将一个自旋S分成2S个全对称化的自旋1/2粒子， 而全对称化这 一过程是通过为虚拟的自旋1/2粒子赋 子玻色统计来完成的， 在Schwinger玻色子表象下，VBS态波函数可以写 作 (27) 其中品格的任登配位数（每个格点且有的近邻格占 数)为z,整数M=2S/2.很显然，每个格点上自旋S的 图3.一缘和两维品格中的几种VBS态。 决 在哪些配位数的品格】 造出VBS老 维 子自旋链的情形中配位数为 2则 在这一系列AKT模型 有M=S.在一维和两维品格中的几种VBS态如图3所 ，尤其重要的是一维自 不安布风各件的不安的资色 旋链中的S=1情形。利用上述投影算符的一般表达 式，相应的AKLT模型可以写作 个总自旋单态。更重要的是，由于Schwinger玻色子间 价键单态的形成，VBS态在任章两个近邻格点间的总 HKT=J∑P=2i+ 自旋总有S7≤(2S-M),因而它总是投影到两近邻 格点总自2S-M+1)<S<2S的自旋算符的 -=号∑ss+1+3ss+P+33 思能量木征本。从而，这 一性质即可得到VBS态对应 的AKLT哈密顿量2网 这个模型中除了标准的海森堡（双线性）相互作用项 不m上了 个双一次相石伦用项。可以证明该模型 HAKLT= Jsr Psr(ij) (28) S基态波函数中自旋-自旋两 其中所有s,>0,Ps,(，)是将两近邻格点的自旋投 (32) 影到总自旋为Sr的通道上的投影算符。利用S:·S,= (S+S,P-S(S+1),结合投影算符的完备性条 其中关联长度=1/m3,如果用VBS波函数作为自 件∑oPs(信，)=1，可以得到 旋1反铁磁海森堡模型的变分基态，给出的能量与数值 计算结果相比仅相差5%。因此，自悔为1的A紅T相 ∑吃+)-5+, 型具备了Haldane猜想对整数自旋链所 的性质， 以认为这个模型中 相互 (29 求解这组线性方程组可将SU(2)旋转不变的投影算符 作用相比可 函数 供 可以写成如下自旋-自旋交换相互作用S:·S的25阶 图像很好的抓住了自旋为1的反铁磁海森堡自旋链的 关键物理。 多项式形式 对于S>1的一准AKLT整数自旋链模型，VBS被 S:.S:+S(S+1)-S(S+1)函数依然是一个对于理解Haldanei能相非常右用 P(位，)= Sr(r+1)-5(S'+1) 的物理图像，Aro (30 旋相干态方法严格计算了一维VBS态中自旋-自旋两 1994-2019Ch Publish All rights reserved http:/www.cnki.ne
涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 7 玻色子占据数的Fock空间 |S, mi = (a † ↑ ) S+m(a † ↓ ) S−m p (S + m)!(S − m)! |vi (26) 若取S = 1/2，则上式中的两个态回到上一节中考虑 的自旋1/2情形。 实际上，Schwinger玻色子表示的思 想是将一个自旋S分成2S个全对称化的自旋1/2粒子， 而全对称化这一过程是通过为虚拟的自旋1/2粒子赋 予玻色统计来完成的。 在Schwinger玻色子表象下，VBS态波函数可以写 作[22] |VBSi = Y hiji (a † i,↑ a † j,↓ − a † i,↓ a † j,↑ ) M |vi (27) 其中晶格的任意配位数(每个格点具有的近邻格点 数)为z，整数M = 2S/z。很显然，每个格点上自旋S的 大小决定了在哪些配位数的晶格上能构造出VBS态， 例如在一维量子自旋链的情形中配位数为z = 2，则 有M = S。在一维和两维晶格中的几种VBS态如图3所 示。 在周期性边界条件的晶格上，VBS态还具有平移 不变和SU(2)自旋空间旋转不变的特征，因而它是一 个总自旋单态。更重要的是，由于Schwinger玻色子间 价键单态的形成，VBS态在任意两个近邻格点间的总 自旋总有ST ≤ (2S − M)，因而它总是投影到两近邻 格点总自旋(2S − M + 1) ≤ ST ≤ 2S的自旋算符的 零能量本征态。从而，这一性质即可得到VBS态对应 的AKLT哈密顿量[8,22] HAKLT = X hiji X 2S ST =2S−M+1 JST PST (i, j) (28) 其中所有JST > 0，PST (i, j)是将两近邻格点的自旋投 影到总自旋为ST的通道上的投影算符。利用Si · Sj = 1 2 (Si + Sj ) 2 − S(S + 1)， 结合投影算符的完备性条 件 P2S ST =0 PST (i, j) = 1，可以得到 (Si · Sj ) n = X 2S ST =0 [ 1 2 ST (ST + 1) − S(S + 1)]nPST (i, j) (29) 求解这组线性方程组可将SU(2)旋转不变的投影算符 可以写成如下自旋–自旋交换相互作用 Si · Sj的2S阶 多项式形式 PST (i, j) = Y 2S S0=0,S06=ST Si · Sj + S(S + 1) − 1 2 S 0 (S 0 + 1) 1 2 ST (ST + 1) − 1 2 S0(S0 + 1) (30) *,+ *-+ *.+ */+ 图 3. 一维和两维晶格中的几种VBS态。 在这一系列AKLT模型中，尤其重要的是一维自 旋链中的S = 1情形。利用上述投影算符的一般表达 式，相应的AKLT模型可以写作 HAKLT = J X N i=1 PST =2(i, i + 1) = J 2 X N i=1 [Si · Si+1 + 1 3 (Si · Si+1) 2 + 2 3 ](31) 这个模型中除了标准的海森堡（双线性）相互作用项， 还加上了一个双二次相互作用项。 可以证明，该模型 具有有限能隙，并且其VBS基态波函数中自旋–自旋两 点关联函数在长距离下呈指数形式衰减 hSi · Sj i ∼ exp µ − |j − i| ξ ¶ (32) 其中关联长度ξ = 1/ ln 3。如果用VBS波函数作为自 旋1反铁磁海森堡模型的变分基态，给出的能量与数值 计算结果相比仅相差5%。 因此，自旋为1的AKLT模 型具备了Haldane猜想对整数自旋链所预言的性质， 从而可以认为这个模型中的双二次相互作用跟海森堡 相互作用相比可以看作微扰，并且VBS波函数提供的 图像很好的抓住了自旋为1的反铁磁海森堡自旋链的 关键物理。 对于S > 1的一维AKLT整数自旋链模型，VBS波 函数依然是一个对于理解Haldane能隙相非常有用 的物理图像， Arovas，Auerbach和Haldane[22]利用自 旋相干态方法严格计算了一维VBS态中自旋–自旋两
涂湾洁，张广铭：一维量子白旋链中拓扑有序态的物理描述 点关联函数，它们都在长距离下呈指数形式衰减 可以在自旋为1的AKLT模型的VBS简并基态中构地 关联长度为=1/l(1+).VBS波函数图像还提 基于量子测量的量子计算方案，在这种方案中，体系 供了另外一个特征：开放边界条件下的边缘态。在 的能隙可以用来抵抗噪声，从而保护了存储信息的量 开放边界条件的一维链中，自旋为S的VBS态在链的 了予态。 两端各出现一个近自由的自旋为S/2的边缘态。吴 大琪曾指出2，在1+1维0(3)非线性σ模型的描述 C.矩阵乘积态 中，拓扑项在开放边界条件下在链的两端各给出 个白旋S2边终本。文一针付一维整数白旋反铁磁 1.VBS态的矩阵乘积形式 海保橙刑的预言酒DG的数值计算得到了 实24。在实验方面，通过对Ni(CH 2NO-i0 这一节中我们简要介绍矩阵乘积态的概念。 维性材料进行 历史上讲，矩阵乘积态是作为VBS 表示形 1和 式引入的 但近年来矩阵乘积态本身的理计 核共振(NMR)川 子敢射2等实验，Haldane能隙和自旋1/2边缘态也 及其在数值计算方法上的应用，其重要意义已经大 均被证实。更多的Haldanef能隙型准一维材料可参 大超出最初的范畴。众所周知，DMRG方法4O是 阅Yamashita等人的综述文章到，结合这些理论和实 研究一维量子关联系统最有效的数值计算方法。 Ostlund和Rommer发现a1,4a,DMRG的计算如果收 验结果，人们普遍接受了VS图像和边缘态是一维量 子整数自旋饰中Haldane相的基本特征 敛，其重整化不动点的波函数将具有矩阵乘积态的形 式。这一发现不仅推动了基于矩阵乘积形式变分基态 近年来，VBS态还引起了量子信息领域的广泛关 的数值计算方法革新4③，还为DRG的有效性提供了 注 例如，ES态作为个多粒子纠态可以被用 理论依据」 测试各种多粒子纠缠判据 从潜在应用的角 度而言，VBS态可用来进行量子计算3网。由于VBS态 我们还是从AKLT模型的VBS态开始引入矩阵乳 积态。不妨先考虑最简单的S=1情形，在周期型边茅 一般具有有限能隙，Brennen和Miyake3最近还提出 条件下，VBS态可利用矩阵外积写成矩阵乘积形式的 被函数 =dau-成d州--()()(d成)(）- =Tr(192…gN) 其中局域g矩阵为 S=3的VBS态对应的局域g矩阵为 -() 0h= =(-.2）】 12-360-212-1: (31 其中我们用到了上一节中介绍的自旋1的Schwinger玻 色子表示。依次类推，任意自旋S的VBS态也可以写成 对AKLT模型，任意自旋S的VBS态对应的矩阵乘积形 矩库乘积形式的波函数，如S=2的VBS态对应的局 式由Totsuka和Suzuki首先给出的3。将VBS态写成 域g矩阵为 矩阵乘积形式的优势是矩阵乘积形式的波函数中只包 2V31),2v612, 含局域的g矩阵，而不包含S 被色子表 下非 20) 95= -23-1)-40) -2v31):(33) 局域的价符 261-2,2v3-1),210), 乘积态中的物理可观测量信息可以直接通过转移矩阵 1994-2019 China Academic Joural Electronic Publishing House.All rights reserved. http:/www.cnki.ne
8 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 点关联函数， 它们都在长距离下呈指数形式衰减， 关联长度为ξ = 1/ ln(1 + 2 S )。VBS波函数图像还提 供了另外一个特征：开放边界条件下的边缘态。 在 开放边界条件的一维链中，自旋为S的VBS态在链的 两端各出现一个近自由的自旋为S/2的边缘态。 吴 大琪曾指出[23]，在1 + 1维O(3)非线性σ模型的描述 中， 拓扑项在开放边界条件下在链的两端各给出一 个自旋S/2边缘态。 这一针对一维整数自旋反铁磁 海森堡模型的预言通过DMRG的数值计算得到了证 实[24]。 在实验方面，通过对Ni(C2H8N2)2NO2(ClO4) (NENP)，Y2BaNiO5等自旋1的准一维磁性材料进行 电子自旋共振(ESR)[25,26]， 核磁共振(NMR)[27]和中 子散射[28]等实验，Haldane能隙和自旋1/2边缘态也 均被证实。 更多的Haldane能隙型准一维材料可参 阅Yamashita等人的综述文章[29]。 结合这些理论和实 验结果，人们普遍接受了VBS图像和边缘态是一维量 子整数自旋链中Haldane相的基本特征。 近年来，VBS态还引起了量子信息领域的广泛关 注。 例如，VBS态作为一个多粒子纠缠态可以被用来 测试各种多粒子纠缠判据[30,31,32]。 从潜在应用的角 度而言，VBS态可用来进行量子计算[33]。由于VBS态 一般具有有限能隙，Brennen和Miyake[34]最近还提出 可以在自旋为1的AKLT模型的VBS简并基态中构造 基于量子测量的量子计算方案，在这种方案中， 体系 的能隙可以用来抵抗噪声，从而保护了存储信息的量 子态。 C. 矩阵乘积态 1. VBS态的矩阵乘积形式 这一节中我们简要介绍矩阵乘积态的概念。 从 历史上讲，矩阵乘积态是作为VBS态的一种表示形 式引入的[35∼39]， 但近年来矩阵乘积态本身的理论 及其在数值计算方法上的应用，其重要意义已经大 大超出最初的范畴。 众所周知，DMRG方法[40]是 研究一维量子关联系统最有效的数值计算方法。 Ostlund ¨ 和Rommer发现[41,42]，DMRG的计算如果收 敛，其重整化不动点的波函数将具有矩阵乘积态的形 式。 这一发现不仅推动了基于矩阵乘积形式变分基态 的数值计算方法革新[43]，还为DMRG的有效性提供了 理论依据。 我们还是从AKLT模型的VBS态开始引入矩阵乘 积态。不妨先考虑最简单的S = 1情形，在周期型边界 条件下，VBS态可利用矩阵外积写成矩阵乘积形式的 波函数 |VBSi = Y i (a † i,↑ a † i+1,↓ − a † i,↓ a † i+1,↑ )|vi = Y i [· · · ³ a † i−1,↑ a † i−1,↓ ´ Ã a † i,↓ −a † i,↑ ! ³ a † i,↑ a † i,↓ ´ Ã a † i+1,↓ −a † i+1,↑ ! · · · ] = Tr(g1g2 · · · gN ) 其中局域g矩阵为 gi = Ã a † i,↑ a † i,↓ (a † i,↓ ) 2 −(a † i,↑ ) 2 −a † i,↑ a † i,↓ ! |vi = µ |0i i √ 2 |−1i i − √ 2 |1i i − |0i i ¶ 其中我们用到了上一节中介绍的自旋1的Schwinger玻 色子表示。依次类推，任意自旋S的VBS态也可以写成 矩阵乘积形式的波函数， 如S = 2的VBS态对应的局 域g矩阵为 gi = 2 |0i i 2 √ 3 |1i i 2 √ 6 |2i i −2 √ 3 |−1i i −4 |0i i −2 √ 3 |1i i 2 √ 6 |−2i i 2 √ 3 |−1i i 2 |0i i (33) S = 3的VBS态对应的局域g矩阵为 gi = 0 BB@ −6 |0i i −12 |1i i −6 √ 10 |2i i −12√ 5 |3i i 12 |−1i i 18 |0i i 12√ 3 |1i i 6 √ 10 |2i i −6 √ 10 |−2i i −12√ 3 |−1i i −18 |0i i −12 |1i i 12√ 5 |−3i i 6 √ 10 |−2i i 12 |−1i i 6 |0i i 1 CCA (34) 对AKLT模型，任意自旋S的VBS态对应的矩阵乘积形 式由Totsuka和Suzuki首先给出的[35]。 将VBS态写成 矩阵乘积形式的优势是矩阵乘积形式的波函数中只包 含局域的g矩阵， 而不包含Schwinger玻色子表示下非 局域的价键算符。在 II. C. 2 节中， 我们将看到矩阵 乘积态中的物理可观测量信息可以直接通过转移矩阵
涂湾洁，张广铭：一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描还 的计算得到。 其中A为D×D矩阵，它与上述用局域的g矩阵定 义矩阵乘积态的等价性可以通过矩阵定义式得到 2.转移矩阵方法 在矩阵乘积态中，关联函数的计算可以利用转移 矩阵方法73。 在周期性边界条件下，具有N个格片 =∑Aam (36) 的一维链中平移不变的矩阵乘积态的一般形式为 =∑T(4A…Am…m 上述矩阵乘积态未归一化，若采用A标记矩阵A的复共 (35)轭，则该矩阵乘积态的归一化常数为 (=∑∑T(1…mT4al…Amm…mm…m对 一三m44…A 进一步的简化计算需利用矩阵的如下性质： 其中转移矩阵G定义为 (39) Tr(B)Tr(C)=Tr(B⑧C) (37 G=∑（©A) (BCD)⊙(EFG=(B⑧E)(C⊙F)(D⑧G(38)它是一个D2×D2的厄密矩阵。 归一化常数的计算提供了构造转移矩阵方法的直 并由此得到用转移矩阵表示的矩阵乘积态归一化常数 g时 () Gp=∑(m1P1m)(A1⑧A）(4o) -e4e4 …(4mwl@AmN1 其中户是定义在单个格点上的算符，若P是单位算符， 则D2×D的矩阵G约化为转移矩阵G。利用这一映 -TrGN 射，矩阵乘积态中的两点关联函数可计算为： (PB)- 7。∑…mhox1gm…n ×…(m引Pm,〉Am1gAml)…(m②Amwj T(GN-j+i-1GpGi-i-Gp) TGN 194-019 China Academie Joumal Electronic Publishing House.All rights reserved. http://www.cnki.net
涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 9 的计算得到。 2. 转移矩阵方法 在矩阵乘积态中，关联函数的计算可以利用转移 矩阵方法[37,39]。 在周期性边界条件下，具有N个格点 的一维链中平移不变的矩阵乘积态的一般形式为 |Ψi = X m1···mN Tr(A [m1]A [m2] · · · A [mN ] )|m1 · · · mN i (35) 其中A[mN ]为D × D矩阵，它与上述用局域的g矩阵定 义矩阵乘积态的等价性可以通过g矩阵定义式得到 gi ≡ X mi A [mi] |mii (36) 上述矩阵乘积态未归一化，若采用A¯标记矩阵A的复共 轭，则该矩阵乘积态的归一化常数为 hΨ|Ψi = X m0 1 ···m0 N X m1···mN Tr(A¯[m0 1 ] · · · A¯[m0 N ] )Tr(A [m1] · · · A [mN ] )hm0 1 · · · m0 N |m1 · · · mN i = X m1···mN Tr(A¯[m1]A¯[m2] · · · A¯[mN ] )Tr(A [m1]A [m2] · · · A [mN ] ) 进一步的简化计算需利用矩阵的如下性质： Tr(B)Tr(C) = Tr(B ⊗ C) (37) (BCD) ⊗ (EF G) = (B ⊗ E)(C ⊗ F)(D ⊗ G)(38) 并由此得到用转移矩阵表示的矩阵乘积态归一化常数 hΨ|Ψi = X m1···mN Tr[(A¯[m1] ⊗ A [m1] )(A¯[m2] ⊗ A [m2] ) · · ·(A¯[mN ] ⊗ A [mN ] )] = TrG N 其中转移矩阵G定义为 G = X m ³ A¯[m] ⊗ A [m] ´ (39) 它是一个D2 × D2的厄密矩阵。 归一化常数的计算提供了构造转移矩阵方法的直 观例子，为进一步计算矩阵乘积态中物理可观测量的 信息，不妨定义如下映射： GP = X m,m0 hm0 | Pˆ |mi ³ A¯[m0 ] ⊗ A [m] ´ (40) 其中Pˆ是定义在单个格点上的算符。若Pˆ是单位算符， 则D2 × D2的矩阵 GP约化为转移矩阵G。利用这一映 射，矩阵乘积态中的两点关联函数可计算为： hPiPj i = hΨ| PiPj |Ψi hΨ|Ψi = 1 TrGN X m0 1 ···m0 N X m1···mN Tr(A¯[m0 1 ] · · · A¯[m0 N ] )Tr(A [m1] · · · A [mN ] ) × hm0 1 · · · m0 N | PiPj |m1 · · · mN i = 1 TrGN X m0 i ,m0 j X m1···mN Tr[(A¯[m1] ⊗ A [m1] )· · ·(hm0 i | Pi |mii A¯[m0 i ] ⊗ A [mi] ) × · · ·( m0 j ¯ ¯ Pj |mj i A¯[m0 j ] ⊗ A [mj ] )· · ·(A¯[mN ] ⊗ A [mN ] )] = Tr(GN−j+i−1GP Gj−i−1GP ) TrGN
涂湾洁，张广铭：一维量子白旋链中拓扑有序态的物理描述 在执力学极限下，N。,该两点关联函数的 值入mx,该非局域弦序参量的计算可约化为 值佐赖于转移矩阵G的本征值谱，(BB在长距离 要么趋 最大 值入x有简并) ,要么呈指数形式衰减。 这里我们识 考虑转移矩阵G的最大本征值无简并的情形，例如山 C.1节中讨论的VBS态即属于这种情形。不妨设转移 矩阵G的一系列本征值为入，相应的本征矢为入》，其 (46) 中1≤n≤D2,则转移矩阵G可写作 其中以 }是对应王。的晶大本征值的本 矢，可以看出 在 中使用转移矩 方法可 G=∑nAn)Anl 以使得可观测量的期待值和关联函数的计算大大 化，这一方法将在第Ⅲ章和第V章中得到广泛的 在热力学极限下，N一o,两点关联函数(PP》可进 应用， 一步约化为 L.一维SO(m)对称的严格可解量子自旋链 ▣RP"点Q.lG.G-tGr） 模型 二以--1 =》X ((G）A.SO(n)李代数的数学背景 L.矢量表示与Cartan-Weyl形式 通过第Ⅱ章对一维量子自旋链系统的回顾，我们 可以看出严格可解模型在理解一维量子自旋系统中所 起的关键作用。在量子关联体系中，严格可解模型并 (42) 不多见，一旦得到新的亚格可解模型，通常将发现新 其中关联长度为 的物理。在本章中，我们将引入一类新的一维严格可 解自旋链模型4，这类模型其有S0 为 1 专=nAmx/网 (43) 在SO(n)李代数的n维矢量表示下，Hilbert?空间 这里X是满足AnIGelAm)≠0和(AGpA)≠ 中的n个正交归一完备基可用Dirac符号表示为n), 0的转移矩阵G所有本征值入n里绝对值最大的一个。 其中1≤a≤n.在这n个基矢之间的转动可用n(m- 用转移矩阵方法进行如下非局域弦序参量的计算 1)/2个SO(n)李代数的生成元算符Lb表示为 也可依次类推 Lab ne)=iveln")-iaeln). (47) (.II p(Q)P》 其中1≤a<b≤n。利用这一等式可以证明，这些生 ct-"tEaayod 成元算符满足SO()李代数的对易关系 (44) [ab Lo]=i(+)(48) 其中GQ定义为 根据半单李代数的Cartan分类，SO(n)李代数 需要分奇数n=21+1和偶数n=21分别讨论。 李代数S0(21+1)和S0(2I)都是秩为1的代数，即它 在热力学极限下，如果弦的长度一也趋于无穷，则们的Cartan子代数包含1个相互对易的生成元。 当且仅当G。与转移矩阵G的最大本征值相同，该非 根据S0(n)李代数的对易关系(48)式，我们不妨选 局域弦参量才可能不为零.如果G。也具有最大本征 取Cartan生成元为L2,L31,,L2-1.2,并用它们 1994-2019 China Academie Joumal Electronie Publishing House.All rights reserved.http://www.enki.ne
10 涂鸿浩，张广铭: 一维量子自旋链中拓扑有序态的物理描述 在热力学极限下，N → ∞，该两点关联函数的 值依赖于转移矩阵G的本征值谱，hPiPj i在长距离 下（|j − i|很大）要么趋于一个常数（G的最大本征 值λmax有简并），要么呈指数形式衰减。 这里我们只 考虑转移矩阵G的最大本征值无简并的情形，例如 II. C. 1 节中讨论的VBS态即属于这种情形。不妨设转移 矩阵G的一系列本征值为λn，相应的本征矢为|λni，其 中1 ≤ n ≤ D2，则转移矩阵G可写作 G = X D2 n=1 λn |λni hλn| (41) 在热力学极限下，N → ∞，两点关联函数hPiPj i可进 一步约化为 lim N→∞ hPiPj i = 1 λ j−i+1 max hλmax| GP G j−i−1GP |λmaxi = XD2 n=1 λ j−i−1 n λ j−i+1 max hλmax| GP |λni hλn| GP |λmaxi 可以看出，在长距离下关联函数hPiPj i呈指数形式衰 减 lim N→∞ hPiPj i ∼ exp µ − |j − i| ξ ¶ (42) 其中关联长度为 ξ = 1 ln |λmax/λ0 | (43) 这里λ 0是满足hλn| GP |λmaxi 6= 0和hλmax| GP |λni 6= 0的转移矩阵G所有本征值λn里绝对值最大的一个。 用转移矩阵方法进行如下非局域弦序参量的计算 也可依次类推 * Pi j Y−1 l=i+1 exp(iθQl)Pj + = Tr[GN−j+i−1GP (GQ) j−i−1GP ] TrGN (44) 其中GQ定义为 GQ = X m,m0 hm0 | exp(iθQˆ)|mi ³ A¯[m0 ] ⊗ A [m] ´ (45) 在热力学极限下，如果弦的长度|j − i|也趋于无穷，则 当且仅当GQ与转移矩阵G的最大本征值相同， 该非 局域弦参量才可能不为零。如果GQ也具有最大本征 值λmax，该非局域弦序参量的计算可约化为 lim |j−i|→∞ lim N→∞ * Pi j Y−1 l=i+1 exp(iθQl)Pj + = 1 λ2 max hλmax| GP |λQ,maxi hλQ,max| GP |λmaxi (46) 其中|λQ,maxi是对应于GQ的最大本征值λmax的本征 矢。可以看出，在矩阵乘积态中使用转移矩阵方法可 以使得可观测量的期待值和关联函数的计算大大简 化， 这一方法将在第 III 章和第 IV 章中得到广泛的 应用。 III. 一维SO(n)对称的严格可解量子自旋链 模型 A. SO(n)李代数的数学背景 1. 矢量表示与Cartan-Weyl形式 通过第 II 章对一维量子自旋链系统的回顾，我们 可以看出严格可解模型在理解一维量子自旋系统中所 起的关键作用。 在量子关联体系中，严格可解模型并 不多见，一旦得到新的严格可解模型，通常将发现新 的物理。在本章中， 我们将引入一类新的一维严格可 解自旋链模型[44,45]，这类模型具有SO(n)对称性，为 此我们首先简要回顾SO(n)李代数的数学背景。 在SO(n)李代数的n维矢量表示下，Hilbert空间 中的n个正交归一完备基可用Dirac符号表示为|n a i， 其中1 ≤ a ≤ n。在这n个基矢之间的转动可用n(n − 1)/2个SO(n)李代数的生成元算符L ab表示为 L ab|n c i = iδbc|n a i − iδac|n b i, (47) 其中1 ≤ a < b ≤ n。利用这一等式可以证明，这些生 成元算符满足SO(n)李代数的对易关系 [L ab, Lcd] = i(δadL bc+δbcL ad−δacL bd−δbdL ac) (48) 根据半单李代数的Cartan分类，SO(n)李代数 需要分奇数n = 2l + 1和偶数n = 2l分别讨论。 李代数SO(2l + 1)和SO(2l)都是秩为l的代数，即它 们 的Cartan子 代 数 包 含l个 相 互 对 易 的 生 成 元。 根据SO(n)李代数的对易关系(48)式，我们不妨选 取Cartan生成元为{L 12, L34, . . . , L2l−1,2l}，并用它们