9.2.1单因素方差分析的基本原理 其中X,表示第水平A进行第次试验的可能结果。 假设，X,~N(4,o2),(=1,2,.,r)。待检假设为： H。:4=4=.=4,H1:4,4,.,4,不全相等。 如果H成立，那么个总体间无显著差异，即是说因素A对试 验结果的影响不显著，所有X,可视为来自同一个总体N(4,σ)，各 X,间的差异只是由随机因素引起的。若H不成立，则在X,所有的 总变差中，除随机波动引起的变差外，还应包括由于因素A的不同 水平作用产生的差异。如果不同水平作用产生的差异比随机因素引 起的差异大得多，就认为因素A对试验结果有显著影响，否则就认 为因素A对试验的影响不显著。为此可在总变差中先将这两种差异 分开，然后进行比较
其中 表示第i水平 进行第j次试验的可能结果。 假设， ， 。待检假设为： 不全相等。 如果 成立，那么r个总体间无显著差异，即是说因素A对试 验结果的影响不显著，所有 可视为来自同一个总体 ,各 间的差异只是由随机因素引起的。若 不成立，则在 所有的 总变差中，除随机波动引起的变差外，还应包括由于因素A的不同 水平作用产生的差异。如果不同水平作用产生的差异比随机因素引 起的差异大得多，就认为因素A对试验结果有显著影响，否则就认 为因素A对试验的影响不显著。为此可在总变差中先将这两种差异 分开，然后进行比较。 Ai Xij 2 ~ (, ) X N ij μi σ ( 1, 2, , ) i r = L 01 2 : H μ = == μ μ L r 1 12 :, H μ μ μ L r H0 Xij 2 N(, ) μ σ Xij H0 Xij 9.2.1 单因素方差分析的基本原理
9.2.1单因素方差分析的基本原理 x=2X,i=12 n;i= 记 -22x n (9-1) 称为第组的样本均值，？为样本总均值。再记 S,=∑2(X,-)2 i=1 i=l (9-2) 称为总离差平方和。我们将S,分解如下： ST=Sa+SE (9-3) 其中， S,=22,-=2n(-X) 1- (9-4) S=∑X,X) i=1 j=l
记 (9-1) 称 为第i组的样本均值， 为样本总均值。再记 (9-2) 称为总离差平方和。我们将 分解如下： (9-3) 其中， (9-4) 1 1 1 1 , 1, 2, , 1 i i n i ij j i r n ij i j X Xi r n X X n = = = ⎧ = = ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ = ⎪ ⎩ ∑ ∑∑ L Xi X 2 1 1 ( ) i r n T ij i j S XX = = = − ∑∑ T S T AE SSS = + 2 2 11 1 2 1 1 () () ( ) i i r r n A i ii ij i r n E ij i i j S X X nX X S XX = = = = = ⎧ ⎪ = −= − ⎪ ⎨ ⎪ = − ⎪ ⎩ ∑∑ ∑ ∑∑ 9.2.1 单因素方差分析的基本原理
9.2.1单因素方差分析的基本原理 S4是组间平方和，反映了不同水平作用产生的差异大小；S:是 组内平方和，反映的是水平内部，或组内观测值的离散状况，它实 质上是随机因素带来的影响。 在H。成立的条件下，由抽样分布定理，我们可以得到： 各xa- n-En a- (9-5) 且S,与SE独立
是组间平方和，反映了不同水平作用产生的差异大小； 是 组内平方和，反映的是水平内部，或组内观测值的离散状况，它实 质上是随机因素带来的影响。 在 成立的条件下，由抽样分布定理，我们可以得到： (9-5) 且 与 独立 A S E S H 0 2 2 ~ ( 1) T S χ n σ − 1 r i i n n = = ∑ 2 2 ~( ) E S χ n r σ − 2 2 ~ ( 1) A S χ r σ − A S E S 9.2.1 单因素方差分析的基本原理
9.2.1单因素方差分析的基本原理 若组间差异比组内差异大得多，则说明因素的不同水平间有显 著差异，应拒绝H。否则，说明因素各水平之间的差异不显著， 可接受H。为此，选取统计量 F= S4/(r-1) SE/(n-r) (9-6) 当H。为真时，由F分布的定义知，统计量 F S4/(r-1 2~Ft-1,n-r） Sε/n-r (9-7） 如果因素A的各水平对总体的影响由显著差异，那么S相对较 大，因而F也较大。由此可见，对于给定的显著性水平，拒绝域 为 W={F>F-a(r-1,n-r)} 9-8
9.2.1 单因素方差分析的基本原理 若组间差异比组内差异大得多，则说明因素的不同水平间有显 著差异，应拒绝 。否则，说明因素各水平之间的差异不显著， 可接受 。为此，选取统计量 (9-6) 当 为真时，由F分布的定义知，统计量 (9-7) 如果因素A的各水平对总体的影响由显著差异，那么 相对较 大，因而F也较大。由此可见，对于给定的显著性水平 ，拒绝域 为 (9-8) H0 H0 ( 1) ( ) A E S r F S nr − = − H0 ( 1) ~ ( 1, ) ( ) AES r F Fr n r S nr − = − − − A S α W F F r nr => −− { 1−α( 1, )}
9.2.1单因素方差分析的基本原理 计算结果列成表，称为方差分析表（见表9一3）。 表9-3 单因素方差分析表 方差来源 平方和 自由度 F值 F的临界值 组间 S r-1 组内 SE n-r F= 4/-D ε/(n-r) F(r-1,n-r) 总和 St n-1
计算结果列成表，称为方差分析表（见表 9 － 3）。 表 9-3 单因素方差分析表 A S ( 1) ( ) A E S r F S nr − = − 1 F ( 1, ) r nr − α − − E S T S 方差来源 平方和 自由度 F值 F的临界值 组 间 r-1 组 内 n-r 总 和 n-1 9.2.1 单因素方差分析的基本原理