4.1.1模糊控制的数学基础1.模糊集合有许多概念，如大、小、冷、热等，都没有明确的内涵和外延，只能用模糊集合来描述；叫做模糊集合。模糊集合的特征函数称为隶属函数，记作μ(x)，表示元素x属于模糊集合A的程度，通常是在[0，1]区间内连续取值
4.1.1 模糊控制的数学基础 1. 模糊集合 有许多概念，如大、小、冷、热等，都没有 明确的内涵和外延，只能用模糊集合来描述；叫 做模糊集合。 模糊集合的特征函数称为隶属函数，记 作 ，表示元素x属于模糊集合A的程度，通 常是在[0，1]区间内连续取值。 ( ) A μ x
2.模糊集合的运算(1)相等:VxU,都有μA(x)=μB(x)，则称A与B相等，记作A-B。(2)补集：VxEU,都有μ(x)=1-μ(x)，则称B是A的补集，记作B=A 。(3)包含：VxEU,都有μ(x)≥μB(x)，则称A包含B,记作A2B(4)并集: Vx EU,都有μc(x)=max(μA(x),μg(x)) =μA(x)Uμg(x)，则称C是A与B的并集，记作C=AUB。(5)交集: Vx U,都有μc(x)=min(A(x),μg(x))=μA(x)μg(x)，则称C是A与B的交集，记作C=AOB
2.模糊集合的运算 (1)相等： ,都有 ，则称A与B 相 等，记作A=B 。 (2)补集： ,都有 ，则称B是A 的补集，记作 。 (3)包含： ,都有 ，则称A包含B， 记作 。 (4)并集： ,都有 ，则称C是A与B的并集，记作 (5)交集： ,都有 ，则称C是A与B的交集，记作 。 x U ( ) ( ) A B x x = x U ( ) 1 ( ) B A x x = − B A = x U ( ) ( ) A B x x ≥ A B x U ( ) max{ ( ), ( )} ( ) ( ) C A B A B x x x x x = = C A B = x U ( ) min{ ( ), ( )} ( ) ( ) C A B A B x x x x x = = C A B =
3.模糊关系(1)关系：描写事物之间联系的数学模型①R为由集合X到集合Y的普通关系，则对任意xEX,VEY都只能有以下两种情况：x与y有某种关系，即xRy;x或y与无某种关系，即xRy;②直积集：在集X与集Y中各取出一元素排成序对，所有这样序对的集合叫做X和Y的直积集(也称笛卡尔乘积集)，记为X×Y=(x,)xX,EY显然，R集是X和Y的直积集的一个子集，即RCX×Y
3.模糊关系 (1)关系：描写事物之间联系的数学模型 ① R为由集合X到集合Y的普通关系，则对任意 都只能有以下两种情况： x与y有某种关系，即 ； x或y与无某种关系，即 ； ②直积集：在集X与集Y中各取出一元素排成序对， 所有这样序对的集合叫做X和Y的直积集(也称笛卡 尔乘积集)，记为 显然，R集是X和Y的直积集的一个子集，即 xRy xRy x X y Y , X Y x y x X y Y = ( , , ) R X Y
③几个常见的关系自返性(同族关系)、对称性(兄弟关系和朋友关系)和传递性(兄弟关系和朋友关系)。父子关系?具有自返性和对称性的关系称为相容关系，具有传递性的相容关系称为等价关系。(2)模糊关系两组事物之间的关系不宜用“有”或“无”做肯定或否定的回答时，可以用模糊关系来描述。模糊关系也有自返性、对称性、传递性等关系
③几个常见的关系 自返性(同族关系) 、对称性(兄弟关系和朋友关 系)和传递性(兄弟关系和朋友关系)。父子关系？ 具有自返性和对称性的关系称为相容关系，具 有传递性的相容关系称为等价关系。 (2)模糊关系 两组事物之间的关系不宜用“有”或“无”做 肯定或否定的回答时，可以用模糊关系来描述。模 糊关系也有自返性、对称性、传递性等关系
(3)模糊矩阵模糊矩阵的一般形式为ala12aina21a22a2n·amlamam2其中0≤a,≤1,l≤i≤m,l≤j≤n，矩阵A可记为A=(aj)。矩阵中的αi表示集合X中第个元素和集合Y中第个元素隶属于模糊关系，记为μr(x,y）
(3)模糊矩阵 模糊矩阵的一般形式为 11 12 1 21 22 2 1 2 n n m m mn a a a a a a a a a = A 其中 ， ， ，矩阵A可记 为 。 0 1 ij ≤a ≤ 1≤i m ≤ 1≤ j n ≤ ( )ij A = a 矩阵中的 表示集合X中第i个元素和集合Y中第j 个元素隶属于模糊关系，记为 。 ij a ( ) R μ x, y