专项训练一特殊平行四边形 、选择题 1.(益阳中考)如图,在矩形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,以下说法错误的是() A.∠ABC=90°B.AC=BDC.OA=OBD.OA=AD 第1题图 第2题图 第3题图 2.(2016遵义中考)如图,在BCD中,对角线AC与BD交于点O,若增加一个条件 使ABCD成为菱形,下列给出的条件不正确的是() A.AB=ADB.AC⊥BDC.AC=BDD.∠BAC=∠DAC 3.(2016宁夏中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F分别是AD, CD边上的中点,连接EF若EF=V2,BD=2,则菱形ABCD的面积为() A.22BVC.62D.82 第4题图 第5题图 第6题图 4(日照中考)小明在学习了正方形之后,给同桌小文出了道题,从下列四个条件:①AB BC:②∠ABC=90°;③AC=BD;④AC⊥BD中,选两个作为补充条件,使ABCD成为 正方形(如图).现有下列四种选法,你认为其中错误的是() A.①②B.②③C.①③D.②④ 5.(2016黔东南州中考)如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,若AB 2,∠ABC=60°,则BD的长为() A.2B.3C√3D.2√3 6.如图,在正方形ABCD的外侧,作等边三角形ADE,AC,BE相交于点F,则∠BFC 的度数为C A.45°B.55°C.60°D.75° 7.如图,菱形ABCD的边长为4,过点A,C作对角线AC的垂线,分别交CB和AD 的延长线于点E,F,AE=3,则四边形AECF的周长为() A.22B.18C.14D.11
专项训练一 特殊平行四边形 一、选择题 1．(益阳中考)如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，以下说法错误的是( ) A．∠ABC＝90° B．AC＝BD C．OA＝OB D．OA＝AD 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 2．(2016·遵义中考)如图，在▱ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，若增加一个条件， 使▱ABCD 成为菱形，下列给出的条件不正确的是( ) A．AB＝AD B．AC⊥BD C．AC＝BD D．∠BAC＝∠DAC 3．(2016·宁夏中考)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E，F 分别是 AD， CD 边上的中点，连接 EF.若 EF＝ 2，BD＝2，则菱形 ABCD 的面积为( ) A．2 2 B. 2 C．6 2 D．8 2 第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 4．(日照中考)小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB ＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD 中，选两个作为补充条件，使▱ABCD 成为 正方形(如图)．现有下列四种选法，你认为其中错误的是( ) A．①② B．②③ C．①③ D．②④ 5．(2016·黔东南州中考)如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 AB ＝2，∠ABC＝60°，则 BD 的长为( ) A．2 B．3 C. 3 D．2 3 6．如图，在正方形 ABCD 的外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE 相交于点 F，则∠BFC 的度数为 C A．45° B．55° C．60° D．75° 7．如图，菱形 ABCD 的边长为 4，过点 A，C 作对角线 AC 的垂线，分别交 CB 和 AD 的延长线于点 E，F，AE＝3，则四边形 AECF 的周长为( ) A．22 B．18 C．14 D．11
第7题图 第8题图 8.(临沂中考)如图,四边形ABCD为平行四边形,延长AD到E,使DE=AD,连接 B,EC,DB.添加一个条件,不能使四边形DBCE成为矩形的是() A.AB=BEB.BE⊥DCC.∠ADB=90°D.CE⊥DE 9.(安徽中考)如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=4,点E在AB上,点F在CD上 点G,H在对角线AC上,若四边形EGFH是菱形,则AE的长是( B.3C.5D.6 第9题图 第10题图 10.★(深圳中考)如图,正方形ABCD中,AB=12,点E在边BC上,BE=EC,将△DCE 沿DE对折至△DFE,延长EF交边AB于点G,连接DG,BF给出以下结论: ①△DAG≌△DFG;②BG=24G;国△ EBEc△DEG;④SBF=2其中所有正确结论的个 数是() A.1个B.2个C.3个D.4个 、填空题 11.(2016·扬州中考)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AD的中点, 若OE=3,则菱形ABCD的周长为 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图,在矩形ABCD中,∠BOC=120°,AB=5,则BD的长为 13.13.如图,在菱形ABCD中,AC,BD相交于点O,若∠BCO=55°,则∠ADO= 如果∠2016巴中中考)如图,延长矩形ABCD的边BC至点E,使CE=BD,连接AE, ∠ADB=30°,则∠E 第14题图 第15题图 第16题图
第 7 题图 第 8 题图 8．(临沂中考)如图，四边形 ABCD 为平行四边形，延长 AD 到 E，使 DE＝AD，连接 EB，EC，DB.添加一个条件，不能使四边形 DBCE 成为矩形的是( ) A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 9．(安徽中考)如图，矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝4，点 E 在 AB 上，点 F 在 CD 上， 点 G，H 在对角线 AC 上，若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是( ) A．2 5 B．3 5 C．5 D．6 第 9 题图 第 10 题图 10．★(深圳中考)如图，正方形 ABCD 中，AB＝12，点 E 在边 BC 上，BE＝EC，将△DCE 沿 DE 对折至△DFE，延长 EF 交边 AB 于点 G，连接 DG，BF.给出以下结论： ①△DAG≌△DFG；②BG＝2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF＝ 72 5 .其中所有正确结论的个 数是( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 二、填空题 11．(2016·扬州中考)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为 AD 的中点， 若 OE＝3，则菱形 ABCD 的周长为________． 第 11 题图 第 12 题图 第 13 题图 12．如图，在矩形 ABCD 中，∠BOC＝120°，AB＝5，则 BD 的长为________． 13．13．如图，在菱形 ABCD 中，AC，BD 相交于点 O，若∠BCO＝55°，则∠ADO＝ ________． 14．(2016·巴中中考)如图，延长矩形 ABCD 的边 BC 至点 E，使 CE＝BD，连接 AE， 如果∠ADB＝30°，则∠E＝________°. 第 14 题图 第 15 题图 第 16 题图
15.(2016青岛中考)如图,在正方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,E为BC 上一点,CE=5,F为DE的中点,若△CEF的周长为18,则OF的长为 16(玉林中考)如图,已知正方形ABCD边长为3,点E在AB边上,BE=1,点P,Q 分别是边BC,CD上的动点(均不与顶点重合,当四边形AEPQ的周长最小时,四边形AEPQ 的面积是 三、解答题 17.(2016聊城中考)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,点E是AC的中点,AC=2AB ∠BAC的平分线AD交BC于点D,作AF∥BC,连接DE并延长交AF于点F,连接FC求 证:四边形ADCF是菱形 18.(青岛中考)如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,AE∥BC,CE⊥AE, 垂足为点E (1)求证:△ABD≌△CAE; (2)连接DE,线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系?请证明你的结论 19.★(泰州中考)如图,正方形ABCD的边长为8cm,E,F,G,H分别是AB,BC, D,DA上的动点,AE=BF=CG=DH (1)求证:四边形EFGH是正方形; (2)判断直线EG是否经过某一定点,说明理由 (3)求四边形EFGH面积的最小值
15．(2016·青岛中考)如图，在正方形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O，E 为 BC 上一点，CE＝5，F 为 DE 的中点．若△CEF 的周长为 18，则 OF 的长为________． 16.(玉林中考)如图，已知正方形 ABCD 边长为 3，点 E 在 AB 边上，BE＝1，点 P，Q 分别是边 BC，CD 上的动点(均不与顶点重合)，当四边形 AEPQ 的周长最小时，四边形 AEPQ 的面积是________． 三、解答题 17．(2016·聊城中考)如图，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，点 E 是 AC 的中点，AC＝2AB， ∠BAC 的平分线 AD 交 BC 于点 D，作 AF∥BC，连接 DE 并延长交 AF 于点 F，连接 FC.求 证：四边形 ADCF 是菱形． 18．(青岛中考)如图，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE， 垂足为点 E. (1)求证：△ABD≌△CAE； (2)连接 DE，线段 DE 与 AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论． 19．★(泰州中考)如图，正方形 ABCD 的边长为 8cm，E，F，G，H 分别是 AB，BC， CD，DA 上的动点，AE＝BF＝CG＝DH. (1)求证：四边形 EFGH 是正方形； (2)判断直线 EG 是否经过某一定点，说明理由； (3)求四边形 EFGH 面积的最小值．
参考答案与解析 1.D2C3.A4.B5.D6C7.A8.B 9C解析:连接EF交AC于O∵四边形EGFH是菱形,∴EF⊥AC,OE=OF∵四边 形ABCD是矩形,∴∠B=∠D=90°,AB∥CD,∴∠ACD=∠CAB在△CFO与△AEO中, ∠FCO=∠EAO ∠FOC=∠ECOA,∴△CFO≌△AEO,∴AO=CO∵AC=VAB2+BC=45,∴,AO= LOF=OE 2c=25:∠CB=∠CAB,∠AOE=∠B=9°,∴:△OE△ABC,:4O=E,2V5 AB AC ∵,AE=5故选C 10.C解析:由折叠的性质可知DF=DC=DA,∠DFE=∠C=90°,∴∠DFG=∠A 90°又∵DG=DG,∴Rt△DAG≌R△DFG,∴①正确;∵正方形ABCD的边长为12, ∴BE=EC=EF=6设AG=GF=x,则EG=x+6,BG=12-x由勾股定理得EG2=BE2+ BG2,即(x+6)2=62+(12-x)2,解得x=4,∴AG=GF=4,BG=8,∴BG=2AG,∴②正 确;∵BE=EF=6,∴△BEF为等腰三角形,易知△GDE不是等腰三角形,∴③错误;∵BE =6,∴BG=8,∴EG=VBE2+BG2=10,S△BG=×6×8=24,∴S△BF=D、S△BG 6 ×24 EG 10 ,∴④正确.故选C 11.2412.1013.35°14.15 15.5解析:∵CE=5,△CEF的周长为18,∴CF+EF=18-5=13∵F为DE的中点, DF=EF.∵∠BCD=90°,∴CF==DE,∴EF=CF==DE=6.5,∴DE=2EF=13,∴CD DE-CE=√132-52=12∵四边形ABCD是正方形,∴BC=CD=12,O为BD的中点 OF是△BDE的中位线,∴OF=5(BC-CE)=(12-5 16.45解析:作点A关于CD的对称点A,作点E关于BC的对称点E",连接AE
参考答案与解析 1．D 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B 9. C 解析：连接 EF 交 AC 于 O.∵四边形 EGFH 是菱形，∴EF⊥AC，OE＝OF.∵四边 形 ABCD 是矩形，∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.在△CFO 与△AEO 中， ∠FCO＝∠EAO， ∠FOC＝∠EOA， OF＝OE， ∴△CFO≌△AEO，∴AO＝CO.∵AC＝ AB 2＋BC2＝4 5，∴AO＝ 1 2 AC＝2 5.∵∠CAB＝∠CAB，∠AOE＝∠B＝90°，∴△AOE∽△ABC，∴ AO AB＝ AE AC，∴ 2 5 8 ＝ AE 4 5 ，∴AE＝5.故选 C. 10．C 解析：由折叠的性质可知 DF＝DC＝DA，∠DFE＝∠C＝90°，∴∠DFG＝∠A ＝90°.又∵DG＝DG，∴Rt△DAG≌Rt△DFG，∴①正确；∵正方形 ABCD 的边长为 12， ∴BE＝EC＝EF＝6.设 AG＝GF＝x，则 EG＝x＋6，BG＝12－x.由勾股定理得 EG2＝BE2＋ BG2，即(x＋6)2＝6 2＋(12－x) 2，解得 x＝4，∴AG＝GF＝4，BG＝8，∴BG＝2AG，∴②正 确；∵BE＝EF＝6，∴△BEF 为等腰三角形，易知△GDE 不是等腰三角形，∴③错误；∵BE ＝6，∴BG＝8，∴EG＝ BE2＋BG2＝10，S△BEG＝ 1 2 ×6×8＝24，∴S△BEF＝ EF EG·S△BEG＝ 6 10 ×24 ＝ 72 5 ，∴④正确．故选 C. 11．24 12.10 13.35° 14.15 15.7 2 解析：∵CE＝5，△CEF 的周长为 18，∴CF＋EF＝18－5＝13.∵F 为 DE 的中点， ∴DF＝EF.∵∠BCD＝90°，∴CF＝ 1 2 DE，∴EF＝CF＝ 1 2 DE＝6.5，∴DE＝2EF＝13，∴CD ＝ DE2－CE2＝ 132－5 2＝12.∵四边形 ABCD 是正方形，∴BC＝CD＝12，O 为 BD 的中点， ∴OF 是△BDE 的中位线，∴OF＝ 1 2 (BC－CE)＝ 1 2 (12－5)＝ 7 2 . 16．4.5 解析：作点 A 关于 CD 的对称点 A′，作点 E 关于 BC 的对称点 E′，连接 A′E′
交BC,CD于点P,Q,此时所得四边形AEPQ的周长最短,易求得其面积为4.5 17.证明:∵AF∥CD,∴∠AFE=∠CDE∴点E是AC的中点,∴AE=CE在△AFE ∠AFE=∠CDE 和△CDE中,∠AEF=∠CED △AEF≌△CED,∴AF=CDAF∥CD,四边形ADCF是平行四边形.∵∠B=90°, AC=2AB,∴∠ACB=30°,∴∠CAB=60°∵AD平分∠CAB,∴∠DAC=∠DAB=30 ∠ACD,∴DA=DC,∴四边形ADCF是菱形 18.(1)证明:∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴AD⊥BC,BD=CD,∴∠ADB ∠ADC=90°∵AE∥BC,CE⊥AE,∴∠E=∠DCE=90°,∴四边形ADCE是矩形,∴AD JAD=CE CE在Rt△ABD与Rt△CAE中 ∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL); LAB=CA (2)解:DE∥AB,DE=AB证明如下:四边形ADCE是矩形,∴AE=CD=BD,AE∥BD, ∴四边形ABDE是平行四边形,∴DE∥AB,DE=AB 19.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠A=∠B=90°,AB=DA∴AE=DH,∴BE AH.又∵AE=BF,∴△AEH≌△BFE,∴EH=FE,∠AH=∠BEF同理:FE=GF=HG, ∴EH=FE=GF=HG,∴四边形EFGH是菱形.∵∠A=90°,∴∠AHE+∠AEH=90°, ∴∠BEF+∠AEH=90°,∴∠FEH=90°,∴四边形EFGH是正方形 (2)解:直线EG经过正方形ABCD的中心.理由如下:连接BD交EG于点O∵四边形 ABCD是正方形,∴AB∥DC,AB=DC,∴∠EBD=∠ GDB . AE=CG,∴BE=DG又 ∵∠EOB=∠GOD,∴△EOB≌△GOD,∴BO=DO,即点O为BD的中点,∴直线EG经 过正方形ABCD的中心 (3)解:设AE=DH=x,则AH=8-x.在Rt△AEH中,EHP=AE2+AHP=x2+(8-x)2= 2x2-16x+64=2(x-4)2+32,∴四边形EFGH面积的最小值为32cm2
交 BC，CD 于点 P，Q，此时所得四边形 AEPQ 的周长最短，易求得其面积为 4.5. 17．证明：∵AF∥CD，∴∠AFE＝∠CDE.∵点 E 是 AC 的中点，∴AE＝CE.在△AFE 和△CDE 中， ∠AFE＝∠CDE， ∠AEF＝∠CED， AE＝CE， ∴△AEF≌△CED，∴AF＝CD.∵AF∥CD，∴四边形 ADCF 是平行四边形．∵∠B＝90°， AC＝2AB，∴∠ACB＝30°，∴∠CAB＝60°.∵AD 平分∠CAB，∴∠DAC＝∠DAB＝30°＝ ∠ACD，∴DA＝DC，∴四边形 ADCF 是菱形． 18．(1)证明：∵AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴∠ADB＝ ∠ADC＝90°.∵AE∥BC，CE⊥AE，∴∠E＝∠DCE＝90°，∴四边形 ADCE 是矩形，∴AD ＝CE.在 Rt△ABD 与 Rt△CAE 中， AD＝CE， AB＝CA， ∴Rt△ABD≌Rt△CAE(HL)； (2)解：DE∥AB，DE＝AB.证明如下：∵四边形 ADCE 是矩形，∴AE＝CD＝BD，AE∥BD， ∴四边形 ABDE 是平行四边形，∴DE∥AB，DE＝AB. 19．(1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DA.∵AE＝DH，∴BE ＝AH.又∵AE＝BF，∴△AEH≌△BFE，∴EH＝FE，∠AHE＝∠BEF.同理：FE＝GF＝HG， ∴EH＝FE＝GF＝HG，∴四边形 EFGH 是菱形．∵∠A＝90°，∴∠AHE＋∠AEH＝90°， ∴∠BEF＋∠AEH＝90°，∴∠FEH＝90°，∴四边形 EFGH 是正方形； (2)解：直线 EG 经过正方形 ABCD 的中心．理由如下：连接 BD 交 EG 于点 O.∵四边形 ABCD 是正方形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴∠EBD＝∠GDB.∵AE＝CG，∴BE＝DG.又 ∵∠EOB＝∠GOD，∴△EOB≌△GOD，∴BO＝DO，即点 O 为 BD 的中点，∴直线 EG 经 过正方形 ABCD 的中心； (3)解：设 AE＝DH＝x，则 AH＝8－x.在 Rt△AEH 中，EH2＝AE2＋AH2＝x 2＋(8－x) 2＝ 2x 2－16x＋64＝2(x－4)2＋32，∴四边形 EFGH 面积的最小值为 32cm2