图3.3为一维双原子链示意图。相邻原子间的距离为a,相邻同种原子(即等效点) 可的距离则为2a,因此,该晶格常数为2a。质 图3-3一维双原子链 量为m的小原子用奇数表示,质量为M的大原子 用偶数表示,原子间的力常数均为B。类同于式(34),我们得到如下运动方程 β( 2x2n1) (3.15) M d B(x2n+3+x2 式(3.15)的试探解仍为角频率为o的简谐振动 B 由于两种原子不同,它们的振幅也不一样,我们分别以A和B表示。将式(3.16) 代入方程(3.15),可以得到 A= B(eqa 2BA (3.17) Mo b= B(e+e- )A-2BB 化简并移项,可得如下以A、B为未知数的线性齐次方程: (2B-mO)A-(2B cos qa)B=0 (3.18) (2Bcos ga)A+(2B-MOB=0 欲使A、B有非零的解,其系数行列式应为零,即 B 2B cos qa 0 (3.19) 2B cos qa 2B-Mo21 由此解得两个ω2值。设M>m,则有 (m+M)-[m+M+2mM cos(2qa)]2 M m7(m+0+1m++2mM0 根据式(3,20)可画出两支格波的频谱或色散曲线(见图34)。和单原子链一样, 这两支色散关系都是偶函数和周期函数(以倒原胞或布里渊区大小为周期,此处即为 丌/a)。如前所述,这些性质是由晶格振动系统的对称性决定的,因此适用于更为复杂 的晶格振动情况,如原胞内有更多的原子以及二维和三维晶格的情况
图 3.3 为一维双原子链示意图。相邻原子间的距离为 a，相邻同种原子（即等效点） 之间的距离则为 2a，因此，该晶格常数为 2a。质 量为 m 的小原子用奇数表示，质量为 M 的大原子 用偶数表示，原子间的力常数均为β。类同于式（3.4），我们得到如下运动方程: 图 3-3 一维双原子链 ( )2 ( )2 2 221232 22 2 2 222 12 12 2 + + + + + + + −+= −+= n n n n n n n n xxx dt xd M xxx dt xd m β β （3.15） 式（3.15）的试探解仍为角频率为ω的简谐振动 ])2([ 22 ])12([ 12 aznqti n anqti n Bex Aex +− + +− + = = ω ω （3.16） 由于两种原子不同，它们的振幅也不一样，我们分别以 A 和 B 表示。将式（3.16） 代入方程（3.15），可以得到 BAeeBM ABeeAm iqa iqa iqa iqa βω β βω β 2)( 2)( 2 2 −+=− −+=− − − （3.17） 化简并移项，可得如下以 A、B 为未知数的线性齐次方程： 0)2()cos2( 0)cos2()2( 2 2 − =−+ −− = BMAqa Am Bqa β ωβ βωβ （3.18） 欲使 A、B 有非零的解，其系数行列式应为零，即 0 cos2 2 2 cos2 2 2 = − − − − β ωβ ωβ β qa M m qa （3.19） 由此解得两个ω2 值。设M > m，则有 ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ++++ ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ = ++−+ 2 1 2 22 2 2 1 2 22 1 [)( )]2cos(2 [)( )]2cos(2 mMMmMm qa mM mMMmMm qa mM β ω β ω （3.20） 根据式（3.20）可画出两支格波的频谱或色散曲线（见图 3.4）。和单原子链一样， 这两支色散关系都是偶函数和周期函数（以倒原胞或布里渊区大小为周期，此处即为 π / a ）。如前所述，这些性质是由晶格振动系统的对称性决定的，因此适用于更为复杂 的晶格振动情况，如原胞内有更多的原子以及二维和三维晶格的情况。 6
3.22两支格波的特征 色散关系中频率较低的一支叫声学支或声频支,它很像 单原子链中的声学支;频率较高的一支则叫光学支。这两支 在一些特征点,如布里渊区中心(q=0)和边界 光频支 (q=±r/2a)的频率值可由式(320)算出,并标在图 (第)2 34中。可以看出,两支格波间有一频率禁带,即频率在 1(器 2B/M和√2B/m之间的格波是不能在晶体中传播的 当M=m时,频率禁带消失,这时双原子链的色散关系会回-2 到单原子链的情况 现将周期边界条件也应用于双原子链,设一维双原子链图34双原子镇的色散关系 有N个原胞,则: x2n+1=x2(n+N+ (3.21) 可得 e24=1即q=xl,1为整数 由于q限制在 <q≤,可得 N 可见在一维单式格子加上周期边界条件所得的两个结论,即q的取值应是分立的和 在简约布里渊区的范围内,q的取值数目等于原胞数,在一维双原子链同样适用。事实 上,上述两点结论在更复杂的晶格(原胞内含有更多的原子数)以及二维和三维的情况 均适用。 从上面分析可以看出,格波的支数等于原胞内的原子数也即自由度数(一维时, 个原子只有一个自由度),而波矢空间每个q都会在每支格波上对应一个频率,这样, 对晶格振动,我们可得如下结论 晶格振动的波矢数=晶体的原胞数 晶体中格波的支数=原胞内的自由度数 晶格振动的模式数=晶体的自由度数 上述结论也可推广到m维(如二维或三维)复式晶格情况,只不过,由于m维时 有m个互相正交的振动方向,所以每个原子有m个自由度:这样如果一个m维复式晶 格原胞数为N,每个原胞含P个不等效的原子,则:晶格振动波矢数为N,格波支数为 mp,这其中,m支为声学支,m(p-1)支为光学支,晶格振动的模式数则为mpN 323声学波和光学波
3.2.2 两支格波的特征 色散关系中频率较低的一支叫声学支或声频支，它很像 单原子链中的声学支；频率较高的一支则叫光学支。这两支 在一些特征点，如布里渊区中心（ q = 0 ）和边界 （ ±= π 2/ aq ）的频率值可由式（3.20）算出，并标在图 3.4 中。可以看出，两支格波间有一频率禁带，即频率在 2β M/ 和 β /2 m 之间的格波是不能在晶体中传播的； 当 M = m 时，频率禁带消失，这时双原子链的色散关系会回 到单原子链的情况。 图 3.4 双原子链的色散关系 现将周期边界条件也应用于双原子链，设一维双原子链 有 N 个原胞，则： + 212 ++ 1)( = n Nn xx （3.21） 可得 1 2 = qNai e 即 l Na q π = ，l 为整数。 由于 q 限制在 , 22 a q a π π ≤<− 可得 22 N l N ≤<− 可见在一维单式格子加上周期边界条件所得的两个结论，即 q 的取值应是分立的和 在简约布里渊区的范围内，q 的取值数目等于原胞数，在一维双原子链同样适用。事实 上，上述两点结论在更复杂的晶格（原胞内含有更多的原子数）以及二维和三维的情况 均适用。 从上面分析可以看出，格波的支数等于原胞内的原子数也即自由度数（一维时，一 个原子只有一个自由度），而波矢空间每个 q 都会在每支格波上对应一个频率，这样， 对晶格振动，我们可得如下结论： 晶格振动的波矢数=晶体的原胞数 晶体中格波的支数=原胞内的自由度数 晶格振动的模式数=晶体的自由度数 上述结论也可推广到 m 维（如二维或三维）复式晶格情况，只不过，由于 m 维时 有 m 个互相正交的振动方向，所以每个原子有 m 个自由度；这样如果一个 m 维复式晶 格原胞数为 N，每个原胞含 p 个不等效的原子，则：晶格振动波矢数为 N，格波支数为 mp，这其中，m 支为声学支，m (p-1)支为光学支，晶格振动的模式数则为 mpN。 3.2.3 声学波和光学波 7
前面我们发现对复式晶格,格波可分为声学波和光学波。声学波和光学波的命名不 仅由于它们的频率,主要是依据它们在长波极限下的性质。下面就讨论长声学波和长光 学波的基本特性。 长声学波 声学支a1的色散关系(320)式可改写为 a=D(m+M)-(m+M3-2mM/(-os2yoy Mm 4mM =-2(m+M){1-[l- (m+M)2sin(qa)7 /2 (3.22) 在长波近似时,q→0, singa≈qa,则 2B 这与连续介质弹性波的情况 q 是类似的。比较式(3.23)和(3.24),可得长声学波的波速为 (3.25) Vm+M 而对连续介质,弹性波的速度为 式中K为弹性模量,p为介质密度,对于一维复式格子,K=Ba,线密度p=(m+ M)/2a,因此 B 2B (327) V(m+M)/2a VM+m 式(327)和(325)完全一样,可见长声学波就是连续介质的弹性波,声学波因 而由此命名。除了热激发外,长声学波可用超声波激发。 对声学波a1,由式(3.18)可以得到 2B( (3.28) 从图34可知,∞3<2B:2B ,由于波矢被限定在简约布里渊区内,故 coSa M 所以
前面我们发现对复式晶格，格波可分为声学波和光学波。声学波和光学波的命名不 仅由于它们的频率，主要是依据它们在长波极限下的性质。下面就讨论长声学波和长光 学波的基本特性。 1、长声学波 声学支ω1的色散关系（3.20）式可改写为 })]2cos(1(2)[(){( 2 2 2/1 1 mMMmMm qa Mm −−+−+= β ω = })](sin )( 4 1[1){( 2/12 2 qa Mm mM Mm mM + −−+ β （3.22） 在长波近似时，q→0，sinqa≈qa，则 aq + Mm = β ω 2 1 （3.23） 这与连续介质弹性波的情况 ω= vq （3.24） 是类似的。比较式（3.23）和（3.24），可得长声学波的波速为 Mm av + = 2β （3.25） 而对连续介质，弹性波的速度为 ρ K v = （3.26） 式中 K 为弹性模量，ρ为介质密度，对于一维复式格子，K =βa，线密度ρ =（m + M）/2a，因此 mM a aMm a v + = + = β 2β 2/)( （3.27） 式（3.27）和（3.25）完全一样，可见长声学波就是连续介质的弹性波，声学波因 而由此命名。除了热激发外，长声学波可用超声波激发。 对声学波ω1，由式（3.18）可以得到 2 1 1 2 )(cos2 ωβ β m qa B A − ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ （3.28） 从图 3.4 可知， mM β β ω2 22 1 << ，由于波矢被限定在简约布里渊区内，故 cosqa > 0， 所以 8
这表明对于声学波,相邻原子的振动方向相同。在长波极限,即q=0时,有 (3.30) B 这就代表原胞质心的平动。在m(m=1,2,3)维晶体,质心只能沿m个独立的方 向运动,所以声学支只有m支 2.长光学波 由式(3.18)可得出对光学波振动o2的原胞中两原子的振幅之比为 A 2B-Mo (3.31) 2B 从图34可知,02>20,而ca>0,故得 B (3.32) 所以光学波中相邻两个原子的振动方向是相反的。对长波近似(q→0),cosq≈1 n2≈2(M+m,所以 M (3.33) 在长波极限(q=0)时,Am+BM=0,则原胞的质心保持不动。对离子晶体 原胞内相邻两原子带有不同电荷,不同的振动方向会导致极化和电偶极矩变化,所以光 学波可用光波的电磁场来激发,这是这种格波叫光学波的原因。长光学纵波也叫极化波。 §3.3晶格振动的量子化和声子 前面我们从经典力学出发,用简谐近似和最近邻作用近似研究了一维晶格振动的动 力学问题。其结果为:晶格振动是一种集体运动形式,即表现为不同模式的格波。各种 格波是前述运动方程的一个特解。 331格波的量子理论 以单原子为例,在式(35)中,因振幅依赖于波矢q,故写成4,再将e“包括进去, 则可写成4q(t):于是第n个原子在时刻的位移可表为
0 1 ⎟ > ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ B A （3.29） 这表明对于声学波，相邻原子的振动方向相同。在长波极限，即 q = 0 时，有： 1 1 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ B A （3.30） 这就代表原胞质心的平动。在 m（m = 1, 2, 3）维晶体，质心只能沿 m 个独立的方 向运动，所以声学支只有 m 支。 2. 长光学波 由式（3.18）可得出对光学波振动ω2的原胞中两原子的振幅之比为 qa M B A cos2 2 2 2 2 β − ωβ ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ （3.31） 从图 3.4 可知， M β ω2 2 2 > ，而 cosq a > 0，故得 0 2 ⎟ < ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ B A （3.32） 所以光学波中相邻两个原子的振动方向是相反的。对长波近似（q→0），cosqa≈1, , 2 )(2 2 Mm + mM ≈ β ω 所以 m M B A⎟ − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ~ 2 （3.33） 在长波极限（q = 0）时， + BMAm = 0 ，则原胞的质心保持不动。对离子晶体， 原胞内相邻两原子带有不同电荷，不同的振动方向会导致极化和电偶极矩变化，所以光 学波可用光波的电磁场来激发，这是这种格波叫光学波的原因。长光学纵波也叫极化波。 §3.3 晶格振动的量子化和声子 前面我们从经典力学出发，用简谐近似和最近邻作用近似研究了一维晶格振动的动 力学问题。其结果为：晶格振动是一种集体运动形式，即表现为不同模式的格波。各种 格波是前述运动方程的一个特解。 3.3.1 格波的量子理论 以单原子为例，在式（3.5）中，因振幅依赖于波矢q，故写成Aq，再将e iωt 包括进去， 则可写成Aq (t)；于是第n个原子在t时刻的位移可表为： 9