感兴趣的是式(2.2-5⑦)中第二项远小于第三瑣的情况,现将两项 之比R作数量级估算 R=EV(E·(e/e)1 (2r/A)(ⅴc/e) e(E/2+) (2π/1)2 2x彳Ve 2md.￡2-E1 E△S g(2.21 式中e梯度的量级已用非常靠近的订点介电常数差值e-1与其 间距Δ之比代替;若再取As=,则有 R E2-￡t 2 (2.2-62) 仅当R1,才可忽略式(2.2-57)中第二项,按式(2,2-62),即要 求在一个波长距离上E的相对交化小于1,这个条件在非均匀光 学介质中都是满足的。无论在常规光学现象中还是在非均匀但连 续的光学波导中,总是满足R≤1的,因此完全能以解波动方程 (22-3)和(2,2-4)来代替非常难解的方程组(2。2-57)和(2.2 58)。只有在两种不同介电常数介质的分界处,比值R才等于或 大于1,例如玻璃透镜和空气分界面处就是这种情况。大多数光学 仪器的构成,都是在均匀的空气室间中插入一些不同介电常数值 但呈均匀分布的介质。处理这类问题的方法是,在各均匀介质区 域内分别按方程(2.2-3)和(22-4)求解,并将这些解用边界条件 式(1.1-9)至(1,1-12)联系起来,剩下的问题是核查式(22-60)中 右方第二项的数量级。按完全类似的近似,有 E a/ ve Ve E Vs 22-63) 其比值并不要求小于1,只要这两个比的两项有相同数量级,式 (22-57)中的第二项就可以忽略。按式(2.2-63),只要求在一一个
波长距离上e梯度变化等于或小于其梯度值本身,这与R<1所 要求的条件是一致的。上述的讨论对式(2.2-58)的第二项同样适 用。因此,方程组(22-3)和(22-4)也适用于介质的e不是常数 而为空间位置函数的情况,只要它在一个光学波长范围内e的变 化很小。除了两种不同介质的分界面外,这一条件总能满足。 应该看到,均匀介质的方程(22-3)和(22-4)与非均匈介质 传播方程 语尊重们关知识产权! V2E-en aE 决t=0, (2.2-64) a-11 vRP at==0 22-65) 在形式上虽完全一样,但前者是严格的,而后者只是近似式。即使 不考式(2.2-64)和式(2.2-65)的近似性,由于式中E是坐标函 数,场矢量E及丑的六个分量之间将存在复杂的耦合关系,给光波 场的求解带来很大困难。当考虑场矢量一个分量的标量形式 v-V-eu(av/at)=0 (22-66) 求解时,因e是坐标函数,它也不是非色散方程,不同频率的单色 波有不同的传播速度,会出现因折射率非均匀分布引起的色散现 象。 2.3矢量波 光波场在本质上是矢量场,它的电场与磁场都是有大小有方 向的量。虽然,光波的电场和磁场的不同笛卡尔分量各自满足同 样的基衣波动方程: V-v(r, t)e a-v(r,t) 0 (2.3-1) 但随时间和空间而变更的电场和磁场及其各分量间存在着确定的 糊合关系,在透明介质中,由麦克斯韦旋度方程式 2E
VxE aB (2.3-2 Vx丑 D (23-3 将两种变更的场永远互相联系着。具体说应有: ae aE ah z 2,3-4) aE E at (2.3-5) aE 8E,=-8t ah (2。3-6) ah. aH,#g aE (2.3-7) aHs ah, E t aHy H ;. aE. (23-9) 1。平面波的矢蚤场 对于简单的管谐平面电磁光波,其场矢量间糊合关系特别简 单也特别重要。 e(r, t)=(E,i+ ej+Ek)expi -i(ot-k.r)] =Eexp-i(at-k·r)], (2.3-10) HCr, t)= Hexpc-i(ot-k. r)3. (2.3-11) 代入式(2-2)至式(2.3-9),注意到运算关系)/84-ia() 及V× k×(),应有 k×B=oH, (23-12) kx正=-eoE (2.3-13) 由此可进一步得到 kE=0, 23-14) 31
k·正=0 2.3-15) 考虑到坡印廷矢量为 S=E(T,t)×H(T,t), 2.3-16) 综合式(2,3-12)至式(2.3-16),对简谐平面光波应有下述一些耦 合关系: E,H与三个矢量间构成一右手正交之矢量系统,电场矢量 和磁场矢量都处在与传播方向相垂直的平面上,表明了平面光波 为严格的横波场。 E与H的大小成正比例 H=1 v()]·B=n-E1(2317) 20=(H/eo)1称为由空间阻抗,数值为377?,高斯单位制中z。= 1。平面电磁光渡通过介质传播时,其磁场同电场的比值正比于介 质折射率,光从空气进入到=1.5的玻璃中时,磁场比电场的值 立即增大到15倍。 另外,决定能流方向与大小的坡印廷矢量S与波矢匙的方向相 同。平均坡印廷矢量: 〈S Bx丑 22 1EF (2.3-18) r=(/2x)E2,即通常所称的光强。因此能流的速率正比于电场 振幅的平方,在各向同性介质中,能流方向由S的方向确定,且 与波矢k的方向相同(在各向异性介质中,它们并不总是同方向 的) 只要是平而电磁光波,就具有上述各项特点。如用一般电磁 平面波E=E·S-t)与H=H(r·S-tt)的场矢量,也可导 出上述E,H和S的右手正交三矢量系统,导出式(23-17)和 (2.3-18)关系式,并得出同样结论。 2,堝振态及偏振态的解析表示 如上所述,若简谐电磁平面波的传播方向k沿着z轴,由式
(2,3-14)和(23-15知道场是横向的,E及五都在(ao)平面内, 只有分量和9分量不等于零。空间某一点上场的矢量特性表壢 为场矢量端点在(x9)平面内所描绘曲线的性质,如电矢量的端点 曲线是下列坐标点(EEy0)的轨迹: E=a,cos(at-k.f+s)=a,cos(r+81), E,=as(at-k·"+3,)=a,s(r+),(23=19) E。=0 当a1、a2和8=82-&给定之后,空间任意一点处的电矢量端点随时 间化而划出一个椭圆轨迹,并切于边长分别为2a1和2a2的矩 形,切点坐标为(士a1,±a2os8)和(±a2cos,士a2),椭圆的偏心 率及主轴取向均由8值确定,如图2-9。 图2-3褙圆偏振波 按式(23-19所定义的关系,当sinB>0时,图中端点轨迹随 时间t增加作顺对针旋转;而当sin8<0时,则沿逆时针旋转。因此, 式(23-19)代表的波称为椭圆偏振波,这时的光波是完全偏振的, 简称偏振光。有两个特别情况非常重要,当 8=8-a1=m(m=0,士1,±2,…) (2.3-20a) 时,椭圆退化成一条直线,我们说E是线偏振的。当 8=8:-81=(2m+1)x/2(m=0,±1,士2y…)(2.3-20b)