使用本制 a 1 图2-7波群形状和宽度 孟=ak/02o→2是级数展开中首先引起波形失真的项,称-级色散。当 (/o2)>0时,称正色散;(a2k/o3)<0为负色散(ak/2)=0 称零色散(高斯型波群的包络峰以群速=∂o/∂k传播,包络宽度 随2/k2稳定展宽,这一事实在通讯理论中是非常重要的)若进 一步考虑k,=a3k/o5项,称为二级色散,一般只有在a:k/3a2=0 时才可能看到它的影响,并使强度分布偏离原来的高斯分布。在 应用上二阶色散并不重要。 借助频率十分接近的两波产生的“拍”或周朔性波群,可简单 而清晰地建立起群速度vx的概念。设两个乎面单色波的振幅相 同,而频率@和波数k相差少许,都沿2轴方向传播: V(a,t)=Aexp[ -i(at-kz)+Aexp(-ic( +do )t-(k+ak)z]] (tdo-z8k)7+
(t&o-28k)fexpl-i(ot-Ez)] =2Acos「1 (180-28k)exp[-i(ot*)1, (2.2-45) 式中 6,石=k+1k (22-46) 两波合成为一个频率为a,沿z方向传播的平面波,但振幅不是常 量,而是随时间和位置在2A与零之间改变,如图2-8。图中实线为 图2-8两波产生的拍 波群,以相速度Up=,配前进;虚线为振幅的时空变化,如振幅极 大,则等幅面的传播速度即为群速度k=如/&,当如很小时, Ux=do/dk=()2。波群的“位置”不是以图中的实线而是按虚线 包络来确定的,尽管在某一瞬时其振幅可能正好是零 更有意义的情况是,由很多个频率十分接近的乎面波分别组 成的单个群: A()exp[-iCot-(o)z])d A(u)exp{-io[t-n()x]}da。(22-47) 这里略去了傅里叶变换对的系数[见式(2,2-22)]。单个群在色散
介质中的传播情况相当复杂,它不仅与介质的色散情况(o)有 关,还与单个群的起始分布情况v(z,+)或A(o)有关。但对于对 称的单个群,如式(2,2-29)假设的高斯分布其A(o)是实函数,在 准单色波近似下略去其高阶项后,用类似方法可得出相速度Up与 群速度vg的概念[见式(2.2-11)与式(22-42)]这在实用上是很 有意义的。这时,实际上认为波群包络的极大值处正好是所有傅 里叶分量同位相相加的点,也就是说,其宗量中=[0t-kz]随o变 化为零。由式(2.2-47) a 0 aa (22-48) 群速度v正是表示包络极大值位置z与时间址关系,于是 e,或(劭)=(k) (2。2-9 显然,能量是依附着波群行进的,振幅为零处的波不能贮存能 量。当波群形状不变时,可认为群速度r也表征了能量的传输。 但波在介质中传播时,其波群不断形变,尤其是在群速度vg明显地 与频率0有关的情况下,要严格确定能量传输所对应的速度是相 当困难的。例如前面提到的反常色散区附近。按式(2,2-12),反 常色散区的(dn/da)<0,~1,群速度x变得大于光速c,这意味 着倌号可传得比自由空间的光束还要快,显然这与相对论的结论 相矛盾。在回答这个问题前必须强调,反常色散区必定存在强烈 吸收,当组成波群的大部分傅里叶分量落在这一区域时,它不可 能传得很远。更重要的是,即使不考虑群速度色散可能引起波群 形变,即取=km=0,该区域内对各频率分量的选择性吸收,仍 会使波群产生十分严重的畸变。 如果把波群中能量传输速度称为信号速度v,其定义为:在 z=0处看到一个对所有<0时间内均为零的任意平面波群f(z 0,4),即t=0时波的前沿在z=0点,然后在之点处等待最先到达的 信号行跡,若波群前沿到达时间为T,则信号速度为 26
υ=Z /7 (2.2-50) 可以证明信号速度砂2是不会超过光速c的,在波群的形状保持不 变的条件下,群速度vz就等于信号速度,… 如果假定初始的波群是非对称的,并假定在时间小于零处振 幅均为零,对于这样的波群,群速度vg=da/d就不再是包络前 进的速度,此时的频率A()不再是o的实函数,应写成A(a) exp-ip(a)]。按式(2,2-47),即 V(a,t) alex no)0z 于 +ψo)doa (22-51) 积分的主要贡献来自(a/o)=0的区域,中=@t、0.az+ ψ(a)]。也就是v(z,的值主要落在下式决定的范围: ad 0+p( (2.2-52) a C 这个方程中隐含的x(t关系是信号速度v,它不仅与介质色散率 (a)有关,由此给出了群速度vg=(0/bo)=On(o)o/c]/ aa,它还与波群本身(q)/0有关。由于v(0,t在t<0处恒为 零,因此存在[pa)/bo]<0,这使得信号速度v必须小于群速 度,一般D<C,尤其在反常色散区。 对于式(2,2-38)所表示的一般时谐标量波 a(r)explig(r)exp(-iat), (2.2-53) 应该有 o(r, t)= a(r)exp(-iLat-g(r)1)do. (2.2-54) 只要a(P)仅在平均频率两旁很窄范围内才显著不为零,而且在 该有效频率范围内位相函数a(T)可近似表示成的线性函数,仍 然可以引入空间的三维波群或波包,但波矢或波数概念已不 复存在。用十分类似的讨论,可得出相速度的表达式 27
igradLg(r)/o3i-, (22-55) 而一般三维波群的群速度为 grad( ago(r) ao (2.2-56) 它们不仅是相对o而言,而且是空间位置T的函数,当波群系由 沿z方向传播的乎面波g。=k()z组成时,上述两式可化为2p a/ka及g=(o/k 3。非均匀介质中的近似处理 在介电常数e或折射率n是空间位置的函数时,即在各向同 性的非均匀介质中,光波服从方程组: VE+VLE Ve aE=0 a (2.2-57 VH+(Vex(VX)-c分n=0。(2,2-58) 但是,这组方程非常难处理,因而对于实际问题的计算和求解用处 不大。所幸,光学中碰到的绝大多数问题仍可应用如前所述的最 简单形式的方程组(2.2-3)和(2.2-4)来处理,也就是说,就光波 在非均匀介质中的传播问题而言,式(2,2-57)和式(22-58)中的 第二项大多可忽略。以式(22-57)为例,式中第项与第三项起 支配作用,其贡献有相同的数量级。下述分析只是数量级计 不必作精确计算。第三项的量级为 aE E=0E=[2]E (2.2-59) 算符Ⅴ可用相对于空间某一S方向上的微商替代。在数量级范围 内应有 B·]=a(B)≈2E +a. a ve (2,2-60)