Ae-iic 2.2-21y 单色波是理想化的波,实际上不可能严格实现。根据傅里叶定理, 任何波V(z,+都可看成是不同频率的单色波的迭加 V(x,1)=(12x)2A(o)ee-od (22-22) 如果一个波的傅里叶振幅A(o)只在平均频率旁很窄的范围 (a-1△a≤0≤d+1△a,△/k1)内才显著不为零,就 可形成波群或波包,光学中称“准单色波”。设在z=0处,波群与其 频谱为下述变换对: V(z=0,t)= (2π) 17 A()e-1(aoda (22-23) 1 2π) V(a=0,tel(aidt. (22-24) 在准单色光条件下,波群V(z=0,#也可写成载频为a的包络函 数 (2.2-25) 如图2-6(a)(b)。于是, A(@)=(liaf()e-lateglordt 2π) f(t)e…n)tdt (2.2-26) 在色散介质中,各单色平面波以不同的速度 k(o) 传播,在z处的波群将是
1 图2-6波群与波谦 V(2, t) A(:fat-k(o)eda 2x) f(t)el(o-a)dt fe-1Jot-k(o)ldc 因此,波群在色散介质中的变化与f(t)及ko)的函数形式有 关。为研究波群的传播,我们设包络∫(t为 ∫(t)= (22-29 对大多数实际问题而言,这种高斯型的时间分布是合适的,见图 2-6(a)。对应的光脉冲强度分布为 (L/) (2.2-30) 式中τ为强度降至峰值的1/时的半宽度。将式(2.2-29)代入式 (2.2-26),有 A(o) (2)
i(o-o)t dt= expl (2。2-31) 将式(22-31)代入式(2.2-28),传至z处的波群为以 22+iCat-kz)do. (2.2-32) 因为A(o)在O=0附近是个窄峰函数,可将式中k(a)在= 处的升幂展开成级数并保留到三次项,得 k(o)=k(o) ak 22k d 2 ask (a o32【3! 2!3! 2,2-33) v(z,切) r2+ikuz) 12[r+(k2)2 exp 0Z 2Lr4+(龙 (2.2-34) 上述从式(22-21)开始的讨论,只考虑了一组波矢k沿相同 方向(取z轴方向)传播的不同频率平面波的迭加,即V(z,t)是一 般平面波的情况。对于一般的非平面波在色散介质中的传播,仍 然可以引入平面波: Acks,km,ae-1(ot-ki r A(ks,k,, oei(or-Rr+k (2.2-35) 式屮的振幅A是独立变量k2,k和的函数,因为k必须满足式 (22-7),其大小由介质及频率确定,分量k。为 2
k=[(/{)°-k2-k31 (2.2-36) 值得注意的是,如果根号内的符号是负的,的z分量就是纯虚数 其他分量也可能是虚数独立变量的选取是钰意的),该分量就不 再是平面波,而是迅波(2,1-21)。色散介质中传播的最一般的 波v(T,t可表示成式(22-35)波的迭加: V(a, 3, 2,* do dk A(k,k (√2x)3 y exp[-i(ot-k2a-ky-ksz)]dk (2.3-37) 式中k2由式(2,2-36)得到。这个积分表示,色散介质中最一般的 波不仅由所有可能方向和所有频率的简谐平面波所构成,也包括 了所有可能的迅衰波成分。按式(2.1-15)引入的一般形式的单色 波表达式,积分(22-37)订进一步写成 V(x、y、z、t)= c(reso( imido. (2. 2-38) 2 式(22-37)或式(22-38均可用于分析光波在色散介质中的传播 问题。 2。相速度与群遠度 式(2.2-28)表示,任意乎面波是同方向传播的各单色平面 波的迭加。作为特例,如果该平面波具有高斯型强度分布[见式 (2.230)],则在色散介质中传播一段距离2后,该波变成了式 (22-34所表示的形式。 在准单色波情况下频宽很窄。如果先略去式(22-33)中包 的笫三项,取k1如≡0,这时平面波的波形为 V(a, t)=exp (t-k2)2 rexpicot-k-z)), (2。2-39 波形的强度为 “44
I V(2, t)12=vv.=exp-(t-kaz) (22-10) 从式(2,2-39)可以看出,该平面波的等位相面或(atkz)=常 数的面以速度 /k如=C/ma (2.2-41) 传播,称为相速度。面等振幅面或与波群包络峰(t-kz)=0对应 的面则以速度 vr=(i=)- k (2.2-12) 传播,称为群速度由于介质有色散(),群速度Ug不等于相速 度Uy可以证明,存在下述一般关系 r=Up+k dv U。- dk dA(+dndo(2,2-43) 式中各量(除C外)取平均频率所对应的值。在正常色散区, (dn/da)>0,vk<砂t而反常色散区vk>U没有色散时,vr=p 比较式(22-30)和(2.2-40)可知,光波群的形状〔高斯分布) 和宽度τ(包络峰值强度1/e处的半宽度)都没有变化因此,略去E 项,即不考虑群速度自身的色散,并取O对应的(k)表示波群 速度的情况下,在色散介质中传播的波群保持不变。 如果不等于零,即考虑群速度(和)的色散,传播过程中的 波形即式(22-34),其强度分布为 vp={/+(门 .ex r2[1+(/T2)习 2 其中心峰值由于存在而压低宽度由r展宽为1+(k2/r2)]2, 但高斯分布堡持不变,整个波群的传播理度仍然是g=(ka)1(见 图2-7)。传播常数k对频率@的两阶导数会引起脉冲宽度的变化