一kx t(b) 制 识 图2-3kx为复数时的波形 当波矢的分量k成为纯虚数时,即有些效应使式(2.1-9)中 kx为零,k=ik沿方向扰动: V(,t)=Ae-ke-1。 (2.1-21) 它所表示的波完全没有空间简谐的特性,是的纯虚数函数,但仍 然以频率随时间振荡,见图2-1。这样的波称为迅衰波( eanes cent wave,亦称倏逝波), 论xp(-kx (b) 图24迅衰波波形 波矢匙的各个分量(k,k,k)分别为不同的实数、纯虚数或复 数时,扰动 V(r,t)=Ae-Ii =Ae 1(at-kx-Nxw-k, F 2.1-22) 般将是比较复杂的。它们的等幅面与等相面仍然都是平面,但 不一定重合,空间各点仍以相同频率ω振荡。值得注意的是波 14
矢的大小与各分量闻满足关系: k2=k2+k+2, (2.1-23) 而 在非导介质中折射率2()是实数,波矢取实数值,但各分量不 定都是实函缴。 是御览器提 对于球面波与柱面波: V(r, t)=(A/ re-iot-kr), (2。1-25) V(r,t)=(A√r)exp{-iot-k(m2+92)12}。(2.1-26) 它们在空间上并非严格简谐,虽然也用传播常数k=O/来表示它 们的传播特性,但上述有关平面波波矢的讨论不完全适用。 2.2色散介质与非均匀介质 均匀介质场矢量所翡足的方程可从一般形式 VEE+E VE_1=eI-at (22-1) V=H+ 1(Vex(VX H)=eH-2H (2.2-2) 筒化成 ae Vy-ap a+2=0, 2.2-3) v2H O 0 22-4) 其标聶方程为 vv-eu ov (2.2-5) 它有简单的波解,例如沿乙方向传播的扰动为
V(z,t)=Ae-1a-k)。 (2。2 由方程(22-5)决定的色散关系,即联系k与Q之间的方程为 Q/k=±U, (2.2-7) 式中=1/e=c/n2式(2.2-7)由式(2,2-6)代入方程(2.2-5) 得到。当介质的E和4或折射率为常数时,不同频率c的单色 平波(2,2-6)在该介质中以相同的速度传播。方程(2,2=5)称 为非色救的波动方程。 如果介质的e或是频率的函数,或者是至间位置的函数 或者既是a又是位置的函数,如果方程(2,2-5)仍有形式为 v(z, t)e 的解,这时的色散关系为 0/k=v(a), (22-9) 即不同频率的行波(2.2-8)将以不同的速度传播,这时的方程 (2.2-5)的解将有色散存在。光学中遇到的问题几乎都是有色散 的。 1。色散介质中的光波 光渡在介质中传播时电磁波与介质相互作用,其结果使光在 介质中传播速度小于在真空中的传播速度c,v=c/m,比例系数 即介质的折射率,>1。这种相互作用也使折射率n与光频o有 定的依赖关系,”=1(o),/=v(a)=c/n(ω)。它是经折射或散 射而产生彩虹色散现象的原因。 严格处理色散现象应该用量子力学。但在光频区,主要的效 应来自电磁波与介质中束缚电子的关振相互作用,共振作用的量 子描述与经典描述从各个方面看都是非常相似的,因此,利用介质 中束缚电子的谐振子模型,按简单的经典理论就可对色散作出较 好的解释。 入射光波E=E。e,以力eE作用在有频率a。和阻尼常 数κ的振子上,运动方程为 x+Hx+a3x=(eE。/m)ca, (2,2-10) 振子的稳定响应 16
ee x A(oe (2.2-11) 02+1KG) 即光波和束缚电子的相互作用的大小及位相与频率有关。假定 单位体积中有N个束缚电子、则介质的电极化强度为 P(o=Nex(o) (22-12) 利用 D=eE+P w品(2,213) D=e元E (2,214 综合上述四个式子,可得 e'N 2 (2.2-15) 士tκO 从包含阻尼的电荷谐振子模型所得到的折射率公式,是有赖 于频率O的复函数,记为,它同时表示了色散与吸收。色散是由于 介质中带电粒子的共振引起的,吸收则起因于阻尼。 为了便于分析,把式(22-15)近似为 花≈1 (2.2-16) 1) 引入常数!=(eN/e0m)2(称等离子体频率),就可以按近似式 写出复数折射率的实部与虚部 1=1 2.2-17 (a3-a2)2+K2a2, (2.2-18) 32-o2)2+2 m1、”的曲线见图2-5。 在光频a小于共振频率ω的大部区域,折射率1是频率的 递增函数,dn1/do>0,这种色散在光学中称正常色散。在靠近 Do的左右有一个很锐的极大和极小,在极大和极小之间,n随 频率的增大而急剧减小,dn/(d<0,称为反常色散区。在反常 17
尊重关知识产权! 制 图2-5折射率随频率变化曲线 色散区,伴有吸收2,这个吸收就是原子光谱中发射线所对应的吸 收线,光波通过该区域时其光谱分布将有显著变化,因此历史上沿 用下来的反常色散这一术语并不妥当。自由原子的吸收颜率几乎 全部落在紫外光谱区,因此可见光谱区的折射率总大于1,并可近 似为实数。 实际原子在不同频率处有一系列光谱线。经典理论不能解释 这种多重共振,但可认为有N4个原子属于o3的共振,则折射率式 (2.2-17)可写成 31-1 N(G3-2) (3-2)+k (2.2-19) 式中N称为振子强度,它与量子力学描述中的矩阵元相关。 应该指出,对于密度较大的介质,其折射率并不接近1,不能按 式(2.2-10)那样用入射光波E=Ee1作为使原子极化的作用 场,而代之以局域场(或有效场)E,当邳=E+πP/3时,应有 eLn 3em(o2-∞2+iko)° (2。2-20) 气体的n1接近1,式(2,2-20)可近似为式(22-15)。 色救介质中沿2方向传播的单色乎面波为 Ae 2=Aeifoc' 气江小网