平面光波的传播速度U是指三维空间中等相平面的移动速,它 正比于波长;在直角坐标中,各分速度将大于或等于速度U值, 因此它不具有矢量性质。光学中,将ks合成一矢量k,用以表示 光波的传播特征,称为波矢。波矢k既表示平面光波传播快慢, 也表示传播的方向。 把任意函数形式的乎面波方程(12-11)作为标量波动方程 (2.1-1)的解,要在介质介电常数c或折射率n为常数(或在真空 中)时才成立。在振荡频率极高的光学波段,介质的e及都是频 率a的函数。这时,说任意函数形式的平丽波(1.2-11)都是标量 波动方程(2.1-1)的解就不再正确了。任意函数形式的波形在介 质内传播过程中,波形不再保持不变,但式(2.1-2表示的简谐 波仍然是方程(2.1-1)的解,它是均匀介质中的基元波型。 在目前所有关于光的波动理论中,都认为引起光感觉的基本 过程是空间-时间上的简谐波,式(2.1-2)是它的最简单形式,频 率大约在4X1014~75×1014-1(波长大约在076~0,4m)范围 内的光就会产生一定的生理感觉。式(21-2)表示的是一单色 平面波,式(2.1-6)表示不同频率的单色平面波在介质中具有不同 的传播速度,它表明波的色散。通常把传播常数与圆频率m的关 系称为色散关系,在均匀各向同性介质中的色散关系为 k=#()o/c, (2、17 它完全由介质材料的色散率(a)所决定。 上面的讨论对球面波也适用。时间简谐的球面波可以表示为 V(r,t=(Ar)cas(ot±k÷g), (2.1-8) 式中:是源点至空间点的距离,==√2++22;A是距 源点为单位距离处的振幅。这种空间准简谐的球而波也是均匀介 质中的基元波型。 复数表示 像光波场这样的物理实体,用实数函数就可以完全加以表 达。式(2,1-2)和式(2.1-8所表示的光扰动,就是空间坐标和时 间t实函数。但是,在处理线性系统时,将余弦波代之以复数函
数表示光波场,会有很大的方便。例如式(21-2)就可以改写成相 应的复数表示式: V(r,t)=(A/2 e-l(a: -. r+o) A/y/2) (2.1-9) 这个替换过程,可以分别在频域或时域内考虑。若从颗峨上肴,利 用欧拉公式csz=(ee-1),式(2,1-2)可看成是正负两 个频支分量所组成,复数式(2.1-9)可看作是在式(2.1-2)的两个 频支中保留一个而舍去另一个,这样处理并没有减少式(21-2) 中包含的内容。至于舍去或保留那一支,是完全任意的。从时域 上看,该替换过程是对式(2.1-2)配上一个位相移动π/2的配量 Asin(ot-kr·8+g),并作为它的虚部,即e1=cz- IsIng。实 部与虚部所包含的波动内容是重复的。这样,对平面波的表示及 运算可采用复数形式(2,1-9),理解时认为只有它的实部才代表波 动过程,而虚部仅起配量的作用。 复数表示式(2,1-9)的系数可按某种需要来考虑。在所有的 光学文献中,普遍采用所谓“光强”这个量,用符号表示。对于矢 量场E和标量场V的光强,分别定义为 I<E·E及I=〈VV》, (2.1-10) 尖括号(〉表示对时间的平均。虽然在光度学中并没有这样一个 物理量,但理论分析时直接采用场量平方的时间平均是很方便的, 且光强与光度学中的辐照度(单位截面上的平均功率,单位是瓦/ 米2仅差一个有量纲的比例因子。因为<os2z)=1/2,即 (2。1-1t 如果采用复数表示式,约定光强写成 I=〈VV (2.1-12) 因此,式(2.1-9)中应有一个1/√2的因子 10 >「
复数表示式(2.1-9)的方便之处是,可以把振幅以及独立变化 的各个位相因子写为乘积的形式,这在表示及运算时比式(2.1-2) 的形式方便得多。当光波通过一个光学仪器时,一般地说会改变 它的振幅或位相,或两者同时发生变化,最简单的例子是光束通过 玻璃片的情况,如图2-1所示。 制 识 光学仪器 入射光 出射光 图2-1光波通过光学仪器示意图 光波的复数表示能用简单的乘积形式把出射光波V。和入射 光波V;联系起来,只要引入表征光学仪器的算符L=ae-,即有 Yont =lv (A/2)eh) (aA/√2)e (21-13) 参数4表示振幅的变化,它小于、等于或大于1时,分别对应仪器 的吸收、不吸收或放大的情况;指数上的a表示仪器引起的位相 移动 在具体运算中,如果对V的运算都是线性的,复数表示的V可 直接用复函数运算,最后式子的实部即代表所求的物理量。然而, 当处理包含有非线性运算的式子时(例如计算能密度以及在非线 性光学中的某些运算),一般就必须先取实部后再行运算,但计算 光强的式(2,1-12)是约定的例外。 复数表示式可以把单色平面波写成与时间t有关的和与空间 位置掌有关的两部分的乘积: v(r, t)=(A/v2 )elk.re-
=U(r)e1a。 (2.1-14) 式中已把常数因子e1单独分出,或是把初始位相值小取为零。从 式(21-14),可把频率为o的时间筒谐的一般标量波表示为 (r, t)=Ur)e-lot =a(reg(re (2、1=15) a(r)>0与8()都是空间位置的实标量函数4()及g(r)相应于 任意常数的面,分别称为等幅面和等相面,U(x)即为某一时刻的 波型,包括振幅与位相的空间分布,叫做复振帽。把V(r,f)代入 波动方程(2.1-1),得到复振幅U(T)必须满足的方程: V2U(r)+(o/v)2U(r)=0, (2,1-16) 此即为赫姆霍茨方程。显然a(T与g()不是互相独立的空间函 数,它们之间受约于方程(2.1-16)。平面波cekr是它的特殊情 况,此时等幅面与等相面互相重合,称为均匀波,或等帼面上(或 等相面上)有相同的位相(或振幅)值。式(2.1-8)的球面波也是均 匀波。一般情况下,(r)与(T)在空间上并不重合,称为非均 匀波。全反射时折射介质中的迅衰波和激光器产生的高斯光束就 是非均匀波的例子。 3。波矢 对于时间和空间简谐的平面波(2.1-9),引入了波矢毳,它定 义为沿波的前进方向上与波长成反比的矢量。波矢配和频率@间 的关系就是色散关系,它决定了光波的传播特性。该波的波前为 等相位平面 k·T=常数, 2.1-17 波矢k与平面垂直。波矢配可按不同方向分解成相应分量并满足 矢量迭加原理,而波长A和速度t则不能,见图2-2。正因为如此, 波矢远比波长或速度有用。 当波矢匙为实矢量,或者说它的每一个分量(k2,k,k2)都是 实数时
制 识 图2-2谐平面波波矢 v(r, t)=Ae-10 (2.1-18) 表示沿波矢k方向的行波,波速=/k,相应的波长λ=2π/k。沿 任意方向上的分量也都是行波,实数k表示沿m方向的行波,波速 /k2,波长λ2=2π/k 在某些特定的物理条件下,波矢的分量会成为复数或纯虚 数。当k为一复数时 k== kxr+ikes, (2.1-19) 式中kt与k都是实的,则沿方向的扰动为 VCa, t)=Ae e-l(ot-Nxt) Ae-lot-lari-fiai) Ae-kxre-1ot-irr= 2.1-20) 这时沿方向的扰动表现为振幅作指数衰减的行波,如图2-3。 也就是说,当波矢的分量k是o的复函数时,它代表的是一个衰减 波( attenuated wave)。kxr部分表示行波,它的相位以速度U2= Q/kx传播,表示实的速度,相应的波长λx=2x/kx;而kx4表示振 幅随距离增加作指数衰减的快慢。因此,复数的波矢分量(ka)是 有物理意义的