过程,以及自聚焦、自调制等现象。更值得注意的是,激光出现以 后,还发现了一些完全不能用电极化观点来解释的现象,如光子回 波、光学章动等瞬态相干光学效应。 2波动方程 麦克斯韦方程组给出空间一点在某一时刻的电磁场与其相邻 近点在下一瞬间的电磁场之间的关系。结合适当的物质方程,原 则上能提供关于光波传播的一切问题的解答。 如果把这些方程组加以组合与改写,得出某种形式的导出方 程,从应用角度看可能更为合适。例如,可以通过消元的方法,得 到每个场矢量所必需单独满足的方程,即波动方程。在考虑场中 不含电荷和电流即p=0和j=0时条件下,把式(1.1-7a)代入式 (1.1-2),等式两边取V×,得到 Vx(VxE)=--0(V×H) (1.2-1) 这一步代换屮假定了1是与坐标无关的常数。再把式(1.1-1)和 (1.1-6a)化入式(1,2-1),就得到矢量单位独满足的波动方程: VX(V XE)+ep at2.=o (12-2) 这个方程在介电常数e是空间变量的函数时仍然适用。但是,V V×算符的运算很不方便,利用矢量恒等式 V×(×E=V(V·E)-VE, (12-3) 以及式(1.1-3)和式(1.16a),并注意e是空闻位置的函数,式 (1.2-2)最后可写成 VE+VE V aZE (12-4 用同样方法我们得到磁矢量H的方程: (Ve)×(Vx 1。2-5)
如考虑方程的对称与完整,把磁导率的随空闻变化也包括进去, 应有 vB+可B2]+4()x(xE)=a, (1.2-6) V2H+H. yu GH (ve)×(Vx丑) (1.2-7) 这组波动方程在光学中极少用到。 特别重要的是,在均匀介质(,4均为常数)时,上述方程组化 为 2E aE 22=0, (12-8) H ⅴH-e2t2 (12-9) 这是一组标准的波动方程。场矢最的每一个分量都有同样形式, 即每一个分量满足标准波动方程 Vv-1a2v=0。 (12-10) 式中约D=1/八E4。该波动方程的一维形式与力学中的一条连 续均匀而又无限柔软的理想弦线上的波动方程一样。在光学中, 它表征的是在真空或非导的各向同性无色散、均匀透明的介质中 光波的传播,这也是比较简单理想的情况。方程式(1,2-10)的突 出特点是,在介电常数为e的均勾介质充满整个空间时,方程的解 是低意波形的无限平面波。可以证明,任意函数形式的下述时空 扰动 V(",t)=f(8·T-tt) (1.2-11) 都是式(12-10)的解,只要存在函数f的二阶导数,且U=√e c/n与频率无关。式中T是观察点的位天,8代表单位矢量
方程式(12-1)代表的是一个平面波。为看出这一点,拷虑 宗量 相 (·T-vt (12-12) 取浆一给定的認值,对应于有确定值υ(,切)的扰动。在任一瞬时 t,由平面关系8·T=常数所决定的空间无限平面上的点才有同 祥的M,单位量8=C0saE+C0SB+C0s7k垂直于无限平面,该平 面上每一点的扰动V都一样。进一步观察这一特殊扰动值的平面 随时间t的变化行为,我们设改变到(t+△)和矢量T变成为 (+^r)后,t的数值仍维持不变,为此时间增量△t与位置矢量的 变化Δ应满足 8·4T=v△t (12-13) 也就是说矢量△T的末端点仍然在该无限平面上。具有固定扰动 值的无限平面,在△间内沿8方向平移了的距离,即是平面 在空间运行的速率,它也是任意函数形式的扰动式(1.2-11)在空 间的传播速率,传播过程中任意函数形式(即波形)保持不变。改 变式(12-11)中的符号,得到波动方程(12-10)另一形式解 v(T,t)=f(8·T+v)。 (1。2-14) 它代表以速率〃沿(一8方向运动的平面波。在宗量x中,空间变 量r与时间变量成线性关系,整个波形以速度U沿空间某方向传 播,波形始终不变,我们称它为行波。 若采用另一组等效的物质方程(11-6b和(1,1-7b),结合方 程组(1.1-1)至(1.1-4),考虑到在研究固体光学时一般只涉及非 磁性的电中性介质,此时M及p均为零,故波动方程可写成 V×(Vxk)+1 这一方程式比式(1.2-2)在形式上要复杂些,含有非齐次的“源 项”,它在某些光学现象的研究与解释中更为有效。 …等
四金 第2章光在各向同性 介质中的传播 这一章中,假定各向同性的透明介质均匀地充满丁整个空间 着重讨论时间和空间都是简请的单色平面波在该空间中的传播 这是一种在时间上和空间上都是无限的理想波型,它可以作为光 学中常遇到的许多实际光束的极好近似。通过对这种简单光波的 讨论,建立描述光波的许多重要概念和表示方法。同时,时空都简 谐的平面波是一种重要的基元波,更为复杂的一般光波可以看作 是基元波的某种组合,所以对它的讨论是进一步分析复杂波型的 基础。 1标量波 先以式(1.2-10),即 2V+1v 2=0 (21-1) 作为讨论的基本方程。这样做,是暂时把矢量场当作标量考虑认 为光波场是只有大小的扰动或者只看它的一个分量的传播特性, 然后再考虑其它各个分量,并分析场的矢量性质。在各向同性的 均匀介质中,这样做是完全可以的。 必须强漏光波场是矢贤场,对它的完全描述必须同时考虑各 个分量,因各分量同有着由麦克斯韦方程组所给定的耦合关系。 除非光波场中只有一个分量存在而其它分量均为零时,才可以把 这个不为零的分量当作标量。在一般情况下,是不存在由矢量场 的各个分量引导出一个等效标量的简单关系的。但是在很多光学
现象中,光波场的矢量性可以不必考虑。例如,些不具有偏振特 性的光学仪器它们并不区分各个分量的作在讨论衍射时,主 要考虑的是行射花样中的强度分布;在探测过程中需要的是总光 强,等等。这时的光束可以用一个设想的标量函数V来描述,并 设它服从与矢量场相间的波动方程。严裕地说,这当然只是在 定条件下的近似,但这样做不仅理论与实验符合得很好,并给分析 工作带来方便。在另外一些矢量性质不可忽略的现象中,如介质 界面上的反射与折射、光波在各向异性介质中的传播、光波导等, 就必须用矢量方程进行求解。 苘;波 前面提到,任意函数形式的平面行波都是齐次标量波动方程 (2.1-1)的解。这些解中,特别重要的一类是按余弦或正弦变化的 简谐平面波,它可表示为 V(T,#)=Aco(ot…k8·+), (2.1-2) 式中引入了几个系数,它们都有确定的物理意义。A(>0)叫做据 幅整个括号内的宗量决定了时刻和T点处的位相;叫初位相, 决定位柘的初始值,它的逃取有很大的任意性;时空变量前对应 的两个系数,O叫圆频率,k刪传播常数,分别表示在单位时间和单 位长度空间上振动次数的2倍,它们的1/2x,即 2π=1/T 2.1-3) =k/2x=1/A (2。1-4) 分别称为线频率和波数,式中T是周期,A是波长。与空间有关 的常数k、、A均指在折射率为#的介质中的数值,同频率下真 空中的对应值分别为 k=k/",M=k/,λ0=12。 因此,光波在介质中的传播速度t为 k ①光谦学常采用0作波数,为单位长度cm)的真空波长数