中国国防科技网 http://www.8ltech.com 图22按3-2-次序转动的两坐标系间的欧拉角关系 为了使两坐标系重合,可以考虑将Q坐标系先绕x轴转q 角,得0xy系,再绕y轴转ψ角得0-xyz1系,最后绕x 轴转y角·即转到了0xy坐标系。这种转动次序可简称按3 2-1次序转动。易知此时的方向余弦阵为: COSToS SIrOcCOS sin 中 cospsinysin? singcosy singsinysiny cospcosr cosysiny cospsindcosy singson, sinpsindicosr-- cospsiny casocosy 11a1 (2-2-4) 3]a 式(2-2-4)表示已知三个欧拉角φ、中Y可以得两坐标系间 的方向余弦阵。反之若已知方向余弦阵的各元素a,利用下式可 以得三个欧拉角的大小。 y= arcsin I(-a13)-丌/2<≤π/ 9= actg(sinop/ caspp <q≤ (2-2-5) y actg(sinr/casr) <≤ 而 31
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中国国防科技网 http://www.8ltech.com sinp=(a12)/cosy (2-2-6) ay=(a,3)/cosy cosy=(a33)/cosy/ (2)第二种常用的关系式 仍设原点重合的P、Q两右手直角坐标系如图2-3 图2-3按2-3-1次序转动的两坐标系间的欧拉角关系 可以将Q坐标系先绕y轴转ψ角得ox1y1系,再绕x1轴 转φ角得o-x%1系,最后绕x轴转γ角得xpyz坐标系。 这种转动次序可以简称按2-31次序转动。易知此时的方向余弦 阵为: cosmos cOsy]n cos>singsψ+ sinysinφcos? cOsp cosysingsinφ+ silos inysingcoss+ cousinφ- sin?cos- sin7singsinψ+ costcosψ
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中国国防科技网 http://www.8ltech.com bu 612 b, (2-27) 式(2·2-7)也表示已知三个欧拉角y,可以得两坐标系 之间的方向余弦阵。反之若已知方向余弦阵的各元素b,利用下 式可得三个欧拉角大小 pp=arcsin(b2) /2<g≤x/2 <中≤ (2-2-8) y= arct(sin/cosy)-x<ysxJ 而 =(b2 )/cosp (3)坐标系间转换矩阵四元数(四参数法)表示法 随着空间技术、计算技术、特别是捷联惯导技术的发展,早 在1843年由B·P·哈密尔顿在数学中引入的四元数,其优越性 日渐引起人们重视,四元数理论才真正得到了实际应用。这里直 接将后面要用的公式写出,有兴趣的读者可参考文献[3]、[4 四元数是一个实数单位和三个虚数单位、1°、组成的超复 数: Q=q+q1+q2)°+q2A (2-2-10) 其中φ、q:、g、q3均为实数 若q+q+q2+q3=1,则称此四元数Q为规范化四元数,今 后我们只研究这类四元数 原点重合的两坐标系E和E之间可用三个欧拉角来确定其 方向余弦阵。除上述办法外,由理论力学知,对于坐标系E和E 定能够找到一个瞬时旋转轴OR和一个角度∝,使得坐标系绕
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中国国防科技网 http://www.8ltech.com OR轴转过角度a后,与坐标系E重合。设轴OR与轴x、y、之 间夹角分别为β1、β2、β3,而轴OR的方向余弦为 pr 3,(i=1,2,3) 现取 qo=cosa/2,q;=p:sina/2(=1,2,3)(2-2-12) 来构成四元数 q0+q1t°+q2+q3k (2-2-13) 这个四元数就能够表示E和E的关系。四元数虽有四个参数,但 实际上只有三个独立参数,因为还有一个约束条件 a+ qi+92+ (2-2-14) 如果已知两坐标系间的转动四元数Q,则它们的方向余弦阵 可以写成如下形式 11 a 22 q3+q-92-q32(q1q2+q) Fo: 2(q192-q093)q8+q2-q-932(q2g3+qoq) q19 gog:) 92-9t-92+q (22-15) 下面写出四元数和欧拉角之间的关系 (1)釆用3-21转动次序时欧拉角与四元数的关系 当已知欧拉角求四元数 34
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中国国防科技网 http://www.8ltech.com cOSco cos+ sin -sin sin q cos-c÷Sl 2Sn21 0S 2 cOS sin cOsf sin -cos sin 2 2 sin + sin g-cos 2cos 2 (2-2-16) 反之当已知四元数,可用下式求解欧拉角 y 2(qq2-qq2) g==299+9) 96+9i-92-qi (2-2-17) 2(q243+qg1) q q 式(2-2-17)的得到只要利用式(22-15)与式(2-24)对应 元素相等就可以得出。 (2)采用23-1转动次序时欧拉角与四元数的关系 当已知欧拉角求四元数 ycos9esy- 7里 cos sin 女+ sin lcos9cs q coS ocoS sin+ sin sin cos yn里cos2- sin acos (2-2-18) 反之当已知四元数,可用下式求欧拉角
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