线性方程组解的结构 第11讲线性方程组解的结构 、齐次线性方程组 nU,=0 211+a 定义.a1,a2,…,a,为齐次线性方程组的一组解,如果满足:①ax1,a2,…,a,线性无 ammAn=0 关;②齐次线性方程组的任一解均可用a1,a2,…,a,线性表示,则a1,a2,…,ax,称为齐次 线性方程组的一个基础解系 齐次线性方程组的性质 (1)两个解的和仍是方程组的解 (2)一个解的若干倍仍是方程组的解 2.齐次线性方程组的有关定理 (1)如果方程组的系数阵A的秩为n,则方程组只有零解; (2)如果A的秩r<n,则方程组有非零解,此时方程组有基础解系51,52,…,n,其 含向量个数为n-r,其通解为x=k151+k252+…+kn5n- (3)方程的个数少于未知量的个数时,方程组有非零解; (4)如果方程个数等于未知量的个数,方程组有非零解的充分必要条件是|A 、非齐次线性方程组 设有非齐次线性方程组: +a1nx,=b:, x2+… br 它的导出组为 amICI+ am2 2+".+amma b 0 42x1+a 1x1+an2x2+…+anxn=0. 令A为(11.1)的系数矩阵,B为(11.1)的增广矩阵 解的判定定理 (1)如果秩R(A)=R(B)=n,则方程组有唯一解; (2)如果R(A)=R(B)=r<n,则方程组有无穷多解; (3)如果R(A)≠R(B),则方程组无解 2.解的性质定理
52 线性代数重点难点30讲 (1)如果a,B是方程组(11.1)的解,则a-阝是它的导出组(11.2)的解 (2)如果a是方程组(11)的解,B是方程组(112)的解则a+β是方程组(11.1)的解 3.解的结构定理 如果η是方程组(11)的一个特解,51,52,…,5是方程组(112)的一个基础解系, 则方程组(11.1)的全部解是 +k151+k252+…+kn-5,-,, 其中r为矩阵A的秩,k1,k2,…,k,,为数域R的任意数 4.线性方程组求解方法 方法1对于方程组个数等于未知量个数的方程组,可用克莱姆法则(这时要求A≠ 当系数矩阵的行列式D=1A1≠0时,方程组有唯一解,可表示为 (j=1,2,…,n), 其中D,为D中第j列的元素用方程组右端常数列代换所得到的行列式 方法2对增广矩阵B作行的初等变换,将其化为行最简形,得到其所对应的阶梯形方 程组,利用这个阶梯形方程组与原方程组的等价关系来求解 例1求下列齐次线性方程组的一个基础解系 3 0, 2x3 x1-x2 2+x3+3 (2) +2x3-x4 +5x4=0. 1 7x 解(1)对方程组的系数矩阵A施行初等行变换,化成行最简形: 12 10-12 2-6 显然 R(A)=2 由此可得到原方程组的同解方程组: x1=3-2x,(x1,x,是可任意取值的自由未知量) 3 2 令[]依次取4-R(A)=2组线性无关的数组(小依次得(-(3[1 从而求得原方程组的一个基础解系为 这里应注意,解空间的基即基础解系不唯一,只要令取另外两组线性无关的数组
第11讲线性方程组解的结构 则可求得原方程的另一个基础解系: 51 (2)对系数矩阵A施行初等行变换, 0-66150 A 0622 0 210-5 10-3 022 110-3 P, x 0 0 100 l010 01-1 0 (5) 0001 0001 00000 由此可得同解方程组: x3+÷x x2=x3+÷x3,(x3,x3是可取任意值的自由未知量)
线性代数重点难点30讲 令 依次得x2=1./5 0 1 从而方程组的一个基础解系为: 0, 2x1+2x2+x 例2试求下述齐次线性方程组的通解: 1 2 x1+x2+2x3+x:=0 11 330-1 133 2 rI 000 l11-1 110 013 001 r3-r2 0 000 000 由此可得同解方程组 故原方程组通解为
第11讲线性方程组解的结构 55 1 2=k2 x4=k4 若令 -[01 则可得到一个基础解系 1 故方程组通解也可以表示为 x=k51+k2与2(其中k1,k2为任意常数) 小结求齐次线性方程组通解的一般方法是:对系数矩阵A做初等行变换,把其化为阶 梯形矩阵(即行最简形),便得到其所对应的阶梯形方程组,它和原方程组是等价的.根据这 个阶梯形方程组可求出原方程组的一个基础解系,根据解的结构可得到原方程组的通解 例3试求下列非齐次方程组的通解 C2-r3-r4t ts- +2x3+x4=1 2x1+2x2+x3+ 2x1-x2+x3+2x4=3 (2) 3x1+3x2 x4+2x5=1, +2x3+ 解对增广矩阵B进行初等行变换 110 32-11 B 33 12i1 1000 1000 32 2 000 0130 001 0 000