∴1734与816的最大公约数是102 知能训练 求319,377,116的最大公约数 解:377=319×1+58, 319=58×5+29 58=29×2. ∴377与319的最大公约数为29,再求29与116的最大公约数 116=29×4 ∴29与116的最大公约数为29. ∴377,319,116的最大公约数为29 拓展提升 试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序 解:更相减损术程序: WHILE mon IF m>n Then ELSE ME-n-m END IF PRINT m 课堂小结 (1)用辗转相除法求最大公约数. (2)用更相减损术求最大公约数 思想方法:递归思想. 作业 分别用辗转相除法和更相减损术求261,319的最大公约数. 分析:本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用.使用辗转相除法可依据mnq+r 反复执行,直到r=0为止;用更相减损术就是根据mn=r,反复执行,直到n=r为止 解:辗转相除法 319=261×1+58, 261=58×4+29, 58=29×2. ∴319与261的最大公约数是29 更相减损术 203-58=145 145-58=8 58-29=29, 319与261的最大公约数是29 6
6 ∴1 734 与 816 的最大公约数是 102． 知能训练 求 319，377，116 的最大公约数． 解：377=319×1+58， 319=58×5+29， 58=29×2. ∴377 与 319 的最大公约数为 29，再求 29 与 116 的最大公约数． 116=29×4. ∴29 与 116 的最大公约数为 29. ∴377，319，116 的最大公约数为 29. 拓展提升 试写出利用更相减损术求两个正整数的最大公约数的程序． 解：更相减损术程序： INPUT “m，n=”；m，n WHILE m<>n IF m>n THEN ｍ＝m-n ELSE m=n-m END IF WEND PRINT m END 课堂小结 （1）用辗转相除法求最大公约数. （2）用更相减损术求最大公约数. 思想方法：递归思想. 作业 分别用辗转相除法和更相减损术求 261，319 的最大公约数. 分析：本题主要考查辗转相除法和更相减损术及其应用．使用辗转相除法可依据 m=nq+r， 反复执行，直到 r=0 为止；用更相减损术就是根据 m-n=r，反复执行，直到 n=r 为止． 解：辗转相除法： 319=261×1+58, 261=58×4+29, 58=29×2. ∴319 与 261 的最大公约数是 29． 更相减损术： 319-261=58, 261-58=203, 203-58=145, 145-58=87, 87-58=29, 58-29=29, ∴319 与 261 的最大公约数是 29．
设计感想 数学不仅是一门科学,也是一种文化,本节的引入从东、西方文化的不同开始,逐步向 学生渗透数学文化.从知识方面主要学习用两种方法求两个正整数的最大公约数,从思想方 法方面,主要学习递归思想.本节设置精彩例题,不仅让学生学到知识,而且让学生进一步 体会算法的思想,培养学生的爱国主义情操 第2课时案例2秦九韶算法 导入新课 思路1(情境导入) 大家都喜欢吃苹果吧,我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃,而虫子却是先钻到苹果 里面从里到外一口一口的吃,由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式 f(x)=x3+x+x3+x2+x+1当x=5时的值呢?方法也是多种多样的,今天我们开始学习秦九韶算 思路2(直接导入) 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术,今天我们开始学习秦九韶算法 推进新课 新知探究 提出问题 (1)求多项式f(x)=x5+x+x2+x2+x+1当x=5时的值有哪些方法?比较它们的特点 (2)什么是秦九韶算法? (3)怎样评价一个算法的好坏? 讨论结果: (1)怎样求多项式f(x)=x°+x+x3+x2+x+1当x=5时的值呢? 一个自然的做法就是把5代入多项式f(x),计算各项的值,然后把它们加起来,这时 我们一共做了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算 另一种做法是先计算x2的值,然后依次计算x2·x,(x2·x)·x,((x2·x)·x)·x 的值,这样每次都可以利用上一次计算的结果,这时,我们一共做了4次乘法运算,5次加 法运算 第二种做法与第一种做法相比,乘法的运算次数减少了,因而能够提高运算效率,对于 计算机来说,做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多,所以采用第二种做法 计算机能更快地得到结果. (2)上面问题有没有更有效的算法呢?我国南宋时期的数学家秦九韶(约12021261)在 他的著作《数书九章》中提出了下面的算法 把一个n次多项式f(x)=anx+an1x+…+a1x+a改写成如下形式 f(x=anx+a-x+.+ax+ao X“+an-1X +a2)x+a1)x+ Fau) xta 求多项式的值时,首先计算最内层括号内一次多项式的值,即 VI=a.xtan-, 然后由内向外逐层计算一次多项式的值,即 V3=V2X+a-3
7 设计感想 数学不仅是一门科学，也是一种文化，本节的引入从东、西方文化的不同开始，逐步向 学生渗透数学文化.从知识方面主要学习用两种方法求两个正整数的最大公约数，从思想方 法方面，主要学习递归思想.本节设置精彩例题，不仅让学生学到知识，而且让学生进一步 体会算法的思想，培养学生的爱国主义情操． 第 2 课时 案例 2 秦九韶算法 导入新课 思路 1（情境导入） 大家都喜欢吃苹果吧，我们吃苹果都是从外到里一口一口的吃，而虫子却是先钻到苹果 里面从里到外一口一口的吃，由此看来处理同一个问题的方法多种多样.怎样求多项式 f(x)=x5 +x4 +x3 +x2 +x+1 当 x=5 时的值呢？方法也是多种多样的，今天我们开始学习秦九韶算 法. 思路 2（直接导入） 前面我们学习了辗转相除法与更相减损术， 今天我们开始学习秦九韶算法. 推进新课 新知探究 提出问题 （1）求多项式 f(x)=x5 +x4 +x3 +x2 +x+1 当 x=5 时的值有哪些方法？比较它们的特点. （2）什么是秦九韶算法？ （3）怎样评价一个算法的好坏？ 讨论结果： （1）怎样求多项式 f(x)=x5 +x4 +x3 +x2 +x+1 当 x=5 时的值呢？ 一个自然的做法就是把 5 代入多项式 f(x)，计算各项的值，然后把它们加起来，这时， 我们一共做了 1+2+3+4=10 次乘法运算，5 次加法运算. 另一种做法是先计算 x 2 的值，然后依次计算 x 2·x，（x 2·x）·x，（（x 2·x）·x）·x 的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，这时，我们一共做了 4 次乘法运算，5 次加 法运算. 第二种做法与第一种做法相比，乘法的运算次数减少了，因而能够提高运算效率，对于 计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以采用第二种做法， 计算机能更快地得到结果. （2）上面问题有没有更有效的算法呢？我国南宋时期的数学家秦九韶（约 1202~1261）在 他的著作《数书九章》中提出了下面的算法： 把一个 n 次多项式 f(x)=anx n +an-1x n-1 +…+a1x+a0改写成如下形式： f(x)=anx n +an-1x n-1 +…+a1x+a0 =（anx n-1 +an-1x n-2 +…+a1）x+ a0 =（（anx n-2 +an-1x n-3 +…+a2）x+a1)x+a0 =… =（…（（anx+an-1）x+an-2）x+…+a1）x+a0. 求多项式的值时，首先计算最内层括号内一次多项式的值，即 v1=anx+an-1， 然后由内向外逐层计算一次多项式的值，即 v2=v1x+an-2， v3=v2x+an-3， …