hina-pe6.com 第2章投资组合的构建19 投资组合估计的或期望的回报率只不过是其成分证券估计的或期望回报率的加权平均。最简单 的例子是计算由两种证券构成的投资组合的期望回报率。用W表示第i种证券占投资组合的份 额,用E(R)表示第种证券的期望回报率,用E(R,)表示该投资组合的期望回报率,则E(R,)的 计算如下: R=E(R)WE(R)+WE(R,)=2WE(R) (2-4) 例如,假设某投资组合由证券A和B组成,其期望的回报率分别为15%和10%,其权重分别 为60%和40%,则该投资组合的期望回报率为: E(R)=0.6×0.15+0.4×0.10=0.09+0.04=0.13=13% 25.1风险的度量 除了确定回报率以外,估计出与要蠃得的回报相关联的风险或不确定性凹也是很重要的。 回报率的方差和标准差是代表风险或不确定性的两种备选统计量。这些统计量事实上是测量回 报率围绕其平均值变化的程度,如果围绕均值发生剧烈变化则表明回报率有很大的不确定性。 表2-1说明的是利用假想的股票3年间实现回报率的记录,计算其方差和标准差的方法。表 的第一列表示该假想股票3年的回报率,并计算出其平均回报率为15%。第二列显示每年回报 率对平均值的偏离。第三列则是这些偏离的平方。平方使所有的偏差为正,且具有其他有用的 统计特性。方差是偏离平方的平均值,从下述公式亦可以看出这一点: Var (r) (R-R)_20096 表2-1回报率、方差及标准差 回报率(R,)(%) 偏离R-R(%)偏离的平方(R-R)(%) 平均回报率R=3=15% 回报率的方差V(B)=1 67(%) 回报率的标准差S=Na(n)=82% 注意在计算过程中方差的量纲是回报率的平方,这当然在经济上无实际意义四。因此,我 们一般要对方差开平方得到标准差S。标准差S同样也是测量分布的变异性( variability),但由 [不确定性的另一备选定义可以是不利结果发生的概率 [2]从技术上说,计算方差时的分母应是N-1而非N。这是因为偏差的平方的自由度比数据少了一个。为了演示上的简 单,这里和本节其他地方未做上述调整,而仍把分母取为N 事实上,回报率R是一个随机变量,而var(R)=ER-R,其中R=E(R)。利用实现的回报率数据{R},实质 上是对印B)和(进行统计估计众所周知,B(R)=1R,Wa、1(8-B分别是其无偏的估计而 ∑(R-)是Va(R有偏的估计。包括协方差,本书多处忽视这一点,请读者务必小心。可参见任何一本标准 统计教程。——译者注
投资组合估计的或期望的回报率只不过是其成分证券估计的或期望回报率的加权平均。最简单 的例子是计算由两种证券构成的投资组合的期望回报率。用 Wi 表示第i种证券占投资组合的份 额，用E(Ri )表示第i种证券的期望回报率，用E (RP ) 表示该投资组合的期望回报率，则 E(RP )的 计算如下： Rp＝E (Rp )＝W1 E (R1 ) +W2 E (R2 )＝ Wi E (Ri ) （2 - 4） 例如，假设某投资组合由证券 A和B组成，其期望的回报率分别为 1 5 %和1 0 %，其权重分别 为6 0 %和4 0 %，则该投资组合的期望回报率为： E(Rp )＝0 . 6×0 . 1 5＋0 . 4×0 . 1 0＝0 . 0 9＋0 . 0 4＝0 . 1 3＝1 3 % 2.5.1 风险的度量 除了确定回报率以外，估计出与要赢得的回报相关联的风险或不确定性 [1] 也是很重要的。 回报率的方差和标准差是代表风险或不确定性的两种备选统计量。这些统计量事实上是测量回 报率围绕其平均值变化的程度，如果围绕均值发生剧烈变化则表明回报率有很大的不确定性。 表2 - 1说明的是利用假想的股票 3年间实现回报率的记录，计算其方差和标准差的方法。表 的第一列表示该假想股票 3年的回报率，并计算出其平均回报率为 1 5 %。第二列显示每年回报 率对平均值的偏离。第三列则是这些偏离的平方。平方使所有的偏差为正，且具有其他有用的 统计特性。方差是偏离平方的平均值，从下述公式亦可以看出这一点： ( 2 - 5 ) 表2-1 回报率、方差及标准差 年 份 回 报 率（R1）（%） 偏 离 （%） 偏离的平方 （%）2 1 5 －1 0 1 0 0 2 1 5 0 0 3 2 5 1 0 1 0 0 平均回报率 回报率的方差 回报率的标准差 注意在计算过程中方差的量纲是回报率的平方，这当然在经济上无实际意义 [ 2 ]。因此，我 们一般要对方差开平方得到标准差 S。标准差S同样也是测量分布的变异性（ v a r i a b i l i t y），但由 S = Var(R) = 8.2% Var (R) = (Ri - R) 2 i =1 N N å = 67(%)2 R = Ri i =1 N N å = 15% (R1 - R) 2 R1 - R Var (R) = (Ri - R) 2 i =1 N N å = 200(%)2 3 = 67(%)2 i =1 2 å 第2章 投资组合的构建 19 下载 [1] 不确定性的另一备选定义可以是不利结果发生的概率。 [2] 从技术上说，计算方差时的分母应是N－1而非N。这是因为偏差的平方的自由度比数据少了一个。为了演示上的简 单，这里和本节其他地方未做上述调整，而仍把分母取为N。 事实上，回报率R是一个随机变量，而Var (R)＝E(R－R －) 2，其中 ＝E(R)。利用实现的回报率数据{Ri }，实质 上是对E(R)和Va r (R)进行统计估计。众所周知， ， 分别是其无偏的估计。而 是Va r (R)有偏的估计。包括协方差，本书多处忽视这一点，请读者务必小心。可参见任何一本标准 统计教程。—译者注 1 N å(Ri - R) 2 Var( R) = 1 N -1 (Ri i =1 N å - R) 2 E(R) = 1 N Ri i =1 N å R
20第二篇投资组合的构建和分析 China-sdub.com 十下载 于与回报率有相同的量纲,在使用上更具有优势。尽管方差与标准差的量纲不同,但这两种风 险度量方法都可以给证券的风险排出相同的次序,即如果用方差度量得出证券A的风险比证券 B的风险大,则用均方差度量证券的风险,也可得出A的风险比B的风险大 2.52投资组合内的风险 当采用方差或标准差在绝对意义上对单个证券的风险进行度量时,同样需要考虑某证券在 全体证券投资组合内的风险。投资组合的风险依赖于一个证券与已有证券是如何掺和的,以及 每种证券对投资组合总体风险的贡献。协方差( covariance)是一个测量证券投资组合中一种 证券相对于其他证券的风险的统计量。从本质上讲,组合内证券相互变化的方式影响投资组合 的总体方差,从而影响其风险 表2-2说明在由两种证券等权重组成的投资组合中,两证券协方差的计算。该证券与表2 中计算方差和标准差的证券数据一样,表中第一列是证券1的各年回报率。第三列是投资组合 中证券2各年的回报率。注意,证券2的回报率的变化模式恰好与证券1相反,故两证券有相同 的方差与标准差。第二列和第四列表示各自对平均值的偏差,而第五列是两证券偏离乘积(即 等于第二列乘以第四列)。这些偏离乘积的平均值就是协方差Cov(R,R2) CoR,B)N(R,-BB:-R)八 67(% (2-6) 本例中计算出的协方差是一个绝对值较大的负数。这是因为这两个证券的偏离总是互为 向的,即两证券总是逆向变化。相反,如果两证券总是同向变化,则偏离将总是保持同向 从而协方差是正数。中间的情形是证券在某几段时间内同向变化,而在另外几段时间内逆向变 化。这种变化的模式导致协方差的数值较小,因为偏离的乘积会相互抵消掉一部分 表2-2协方差的计算 年份回报率 回报率 偏离偏离乘积 组合回报率 R R, R-R(5)=(2)×(4)(R1+Ry ∑()×(4)=-200 协方差=Cow(R,B)=丛-)x(B-2=-202=-67% 相关系数=p2= Cov(Ru R2=--67=-1 注意与方差一样,协方差也是用百分数的平方来表示。由于各方面的原因,协方差的意义 也是难以解释的,至少对于应用是如此。为了使解释易被接受,可以将协方差标准化,让证券 回报率的协方差被两者的标准差去除,得出一个与协方差具有同样性质但却没有量纲的数。该 数称为这两只证券回报率的相关系数( correlation coefficient),它介于—1和+1之间。令p,表示 证券1和证券2回报率的相关系数,则相关系数为: CoV(R,R,) 82x82=-1 (2-7) u事实上,按照正确的公式,上述协方差应为co(BR,R)=-20=-100%9译者注
于与回报率有相同的量纲，在使用上更具有优势。尽管方差与标准差的量纲不同，但这两种风 险度量方法都可以给证券的风险排出相同的次序，即如果用方差度量得出证券 A的风险比证券 B的风险大，则用均方差度量证券的风险，也可得出 A的风险比B的风险大。 2.5.2 投资组合内的风险 当采用方差或标准差在绝对意义上对单个证券的风险进行度量时，同样需要考虑某证券在 全体证券投资组合内的风险。投资组合的风险依赖于一个证券与已有证券是如何掺和的，以及 每种证券对投资组合总体风险的贡献。协方差（c o v a r i a n c e）是一个测量证券投资组合中一种 证券相对于其他证券的风险的统计量。从本质上讲，组合内证券相互变化的方式影响投资组合 的总体方差，从而影响其风险。 表2 - 2说明在由两种证券等权重组成的投资组合中，两证券协方差的计算。该证券与表 2 - 1 中计算方差和标准差的证券数据一样，表中第一列是证券 1的各年回报率。第三列是投资组合 中证券2各年的回报率。注意，证券 2的回报率的变化模式恰好与证券 1相反，故两证券有相同 的方差与标准差。第二列和第四列表示各自对平均值的偏差，而第五列是两证券偏离乘积（即 等于第二列乘以第四列）。这些偏离乘积的平均值就是协方差 C o v (R1 , R2 )。 （2 - 6） 本例中计算出的协方差是一个绝对值较大的负数 [ 1 ]。这是因为这两个证券的偏离总是互为 反向的，即两证券总是逆向变化。相反，如果两证券总是同向变化，则偏离将总是保持同向， 从而协方差是正数。中间的情形是证券在某几段时间内同向变化，而在另外几段时间内逆向变 化。这种变化的模式导致协方差的数值较小，因为偏离的乘积会相互抵消掉一部分。 表2-2 协方差的计算 年 份 回 报 率 偏 离 回 报 率 偏 离 偏离乘积 组合回报率 R1 R2 ( 5 )＝( 2 )×( 4 ) (R1＋R2 ) / 2 ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) ( 6 ) 1 5 －1 0 2 5 1 0 －1 0 0 1 5 2 1 5 0 1 5 0 0 1 5 3 2 5 1 0 5 －1 0 －1 0 0 1 5 协方差= 相关系数 注意与方差一样，协方差也是用百分数的平方来表示。由于各方面的原因，协方差的意义 也是难以解释的，至少对于应用是如此。为了使解释易被接受，可以将协方差标准化，让证券 回报率的协方差被两者的标准差去除，得出一个与协方差具有同样性质但却没有量纲的数。该 数称为这两只证券回报率的相关系数(correlation coeff i c i e n t )，它介于－1和＋1之间。令 12 表示 证券1和证券2回报率的相关系数，则相关系数为： ( 2 - 7 ) 12 = Cov(R1, R2 ) S1S2 = -67 8.2 ´ 8.2 = -1 = 12 = Cov(R1, R2) S1S2 = -67 8.2 ´ 8.2 = -1 Cov(R1, R2 ) = (R1i - R1 ) ´ (R2i - R2 ) i =1 N N å = - 200(%)2 3 = -67(%)2 R å(2) ´ (4) = -200 R 2 = 15 1 = 15 R1i - R1 R2i - R2 Cov(R1, R2 ) = 1 N (Rl i - R1) i=1 N å (R2i - R2 ) = -200(%)2 3 = -67(%)2 20 第二篇 投资组合的构建和分析 下载 [1] 事实上，按照正确的公式，上述协方差应为 Cov(R1, R2 ) = - —译者注 200(%)2 2 = -100(%)2
hina-pe6.com 第2章投资组合的构建 在上例中相关系数为-1,这表明,正如所预期的那样,两证券的回报率完全负相关,因 为这两证券的回报率持续的异向变化。一般地说,投资组合负相关或负的协方差是人们所希望 的,因为这种证券具有大幅降低投资组合风险的潜力,从这个意义上说它们是低风险证券。表 2-2的最后一列表示按相等权重组成投资组合的证券的各年回报率,从表中可看出它是一个常 数。把这两个负相关的证券放在一起组成的投资组合保持了相同的回报率水平,却完全消除了 其风险。第二个证券,单独存在时表现出与第一个证券相同的风险,但却是使投资组合的风险 高度降低的证券,(在本例中它实际上是消除风险的证券)。在现实中很难找到负相关的证券 更不用说完全负相关了 从我们上述讨论的内容可以得出,投资组合的方差(或风险)可不是其成分证券方差的简 单加权平均。还要考虑投资组合内每两个证券之间的相互关系,这种关系是用回报率的协方差 来度量的。计算投资组合方差的方法可以简单地用两种证券的投资组合来演示。如果用var(R) 表示第i种证券回报率的方差,用Cov(R,R2)表示两种证券的协方差,W表示第i种证券在投资 组合中所占的比重,则计算投资组合的风险ar(R2)的公式是 Var(Rp)=W Var(R)+W2 Var(R2)+2WW2 Cov(, R2) (2-8) 用文字来表述就是这样:投资组合的方差等于其成分证券方差的加权和,再加上两倍协方差的 加权叫。故而我们可以用这一简单的表达式来检验给一个投资组合加入具有不同的协方差特征 的证券后对整个投资组合风险的影响。我们将进而讨论对一个投资组合加入更多的证券对投资 合风险产生的影响。在控制投资组合风险时,这一分析将提供关于多样化的效果的认知 2.5.3多样化 在开始理解多样化( diversification)的机制和功能之前,有必要更仔细地研究一下协方差 的作用。为做到这一点,我们最直接的办法是用下述方式重新定义协方差 Cov(R, R)=P, sS 式(2-9)表明协方差等于两证券间的相关系数乘以每个证券的标准差。这就是说,假定标准差保 持不变,若两证券间的相关系数越大,则这两证券的协方差和投资组合的风险也就越大。相反, 若相关系数越小,则两者间的协方差就越小,因而投资组合的总体风险也就越小。 表23协方差和投资组合的方差 回报率 权重W 股票1 0.10 0.40 0.5 W=0.5 R=W:R21+W2R2=0.5×(0.1)+0.5×(0.1)=0.1 Var(R, )=w Var(R,)+w:Var(R, )+2W,p,S,S =0.25×0.16+0.25×0.16+2×0.5×0.5×p,×0.4×0.4 这一点说明了多样化的作用。增加其他的证券,特别是具有较低的协方差的那些证券,应 当是构建投资组合的一个目标。只有当要加入的证券与原投资组合间的相关系数是1时,投资 [有趣的是,尽管上述公式只是对两证券投资组合成立,但却有普遍性。因为在分析投资组合管理的问题时,任何 一组证券可以看做一个证券。例如我们对了解一个新证券加入已有投资组合对其方差的作用感兴趣,我们可以把 已有的投资组合看成一个证券。因此这一简单公式具有很强的分析功能
在上例中相关系数为－ 1，这表明，正如所预期的那样，两证券的回报率完全负相关，因 为这两证券的回报率持续的异向变化。一般地说，投资组合负相关或负的协方差是人们所希望 的，因为这种证券具有大幅降低投资组合风险的潜力，从这个意义上说它们是低风险证券。表 2 - 2的最后一列表示按相等权重组成投资组合的证券的各年回报率，从表中可看出它是一个常 数。把这两个负相关的证券放在一起组成的投资组合保持了相同的回报率水平，却完全消除了 其风险。第二个证券，单独存在时表现出与第一个证券相同的风险，但却是使投资组合的风险 高度降低的证券，（在本例中它实际上是消除风险的证券）。在现实中很难找到负相关的证券， 更不用说完全负相关了。 从我们上述讨论的内容可以得出，投资组合的方差（或风险）可不是其成分证券方差的简 单加权平均。还要考虑投资组合内每两个证券之间的相互关系，这种关系是用回报率的协方差 来度量的。计算投资组合方差的方法可以简单地用两种证券的投资组合来演示。如果用 Va r (Ri ) 表示第i种证券回报率的方差，用 C o v (R1 , R2 )表示两种证券的协方差， Wi 表示第i种证券在投资 组合中所占的比重，则计算投资组合的风险 Va r (RP )的公式是： （2 - 8） 用文字来表述就是这样：投资组合的方差等于其成分证券方差的加权和，再加上两倍协方差的 加权[ 1 ]。故而我们可以用这一简单的表达式来检验给一个投资组合加入具有不同的协方差特征 的证券后对整个投资组合风险的影响。我们将进而讨论对一个投资组合加入更多的证券对投资 组合风险产生的影响。在控制投资组合风险时，这一分析将提供关于多样化的效果的认知。 2.5.3 多样化 在开始理解多样化（d i v e r s i f i c a t i o n）的机制和功能之前，有必要更仔细地研究一下协方差 的作用。为做到这一点，我们最直接的办法是用下述方式重新定义协方差： （2 - 9） 式( 2 - 9 )表明协方差等于两证券间的相关系数乘以每个证券的标准差。这就是说，假定标准差保 持不变，若两证券间的相关系数越大，则这两证券的协方差和投资组合的风险也就越大。相反， 若相关系数越小，则两者间的协方差就越小，因而投资组合的总体风险也就越小。 表2-3 协方差和投资组合的方差 证 券 回 报 率 S 方 差 权 重Wi 股票1 0 . 1 0 0 . 4 0 0 . 1 6 0 . 5 股票2 0 . 1 0 0 . 4 0 0 . 1 6 0 . 5 W1＝0 . 5 W2＝0 . 5 Rp =W 1 R 1 +W 2 R 2 = 0.5×( 0 . 1 ) + 0 . 5×( 0 . 1 ) = 0 . 1 Va r (Rp ) = W 1 2 Var (R 1 ) + W 2 2Var (R 2 ) + 2W 1W 2 S 1 S 2 = 0 . 2 5×0.16 + 0.25×0.16 + 2×0 . 5×0 . 5× ×0 . 4×0 . 4 = 0 . 0 8 + 0 . 0 8 这一点说明了多样化的作用。增加其他的证券，特别是具有较低的协方差的那些证券，应 当是构建投资组合的一个目标。只有当要加入的证券与原投资组合间的相关系数是 1时，投资 Wi i =1 2 å = 1.00 Cov(Ri ,Rj ) = ijSiSj Var(Rp ) = W1 2 Var(R1 ) + W2 2 Var(R2 ) + 2W1W2 Cov(R1, R2 ) 第2章 投资组合的构建 21 下载 [1] 有趣的是，尽管上述公式只是对两证券投资组合成立，但却有普遍性。因为在分析投资组合管理的问题时，任何 一组证券可以看做一个证券。例如我们对了解一个新证券加入已有投资组合对其方差的作用感兴趣，我们可以把 已有的投资组合看成一个证券。因此这一简单公式具有很强的分析功能
22第二篇投资组合的构建和分析 China-sdub.com 十下载 组合的风险才保持不变,其他情形投资组合的总体风险会降低田。为了更具体地说明不同的协 方差或不同的相关系数如何影响投资组合的方差,我们考虑表2-3中的数据 表2-3列出了两个假想证券的期望回报率、标准差和方差。注意两证券的期望回报率都是 10%,而且标准差S也相等(从而方差相等)。每一证券的权重都是50%,当然整个投资组合的 权重是100%,即投资组合是全部投资的,无闲置的资本。给出了这些数据,易计算出投资组 合的期望回报率为10%,像表中数据下面的第一行所列出的那样。接着后面两行列出了方差的 计算公式并演示方差的计算。表中最后一行表明投资组合的方差依赖于相关系数的数值 2.54证券的相关性与投资组合的风险 相关系数是两证券回报率同向运动程度的一种度量,它介于一1和+1之间,中点为零。某 两个证券回报率的相关系数为1表明这两证券是完全正相关的,如图2-2a中正斜率直线所示 例如,关于证券A的熊市新信息会导致证券B也有较低的期望回报。图2-2b中所示的负斜率直线 则表示相关系数为-1的情形,亦即这两证券为完全负相关。在这一情形下,关于证券A熊市新 信息会增加证券B的期望回报率。最后图2-2c中随机散落的点集表示证券A和B的回报率零相关 或相互独立叫的情形。此时关于证券A的任何新信息,不管是牛市还是熊市,对证券B都不发生 任何作用 游 图2-2证券A和B回报率的相关性 图2-3说明两证券(A和B)是完全正相关和完全负相关时其回报率随时间变化的可能轨迹。 用实线表示证券A的回报率,虚线表示证券B的回报率。当两者为完全正相关时,如图2-3a所示, 证券B的回报率模式与证券A是相同的,虚线与实线重合。在这种情形下,两证券完全同步运 即p2=+1。这时投资组合的方差为0.16var(R)=009+008×1=0.16。在这种情形下 组合的方差是两成分证券均方差的加权平均的平方,并且在数值上等于成分证券的方差 此时,多样化并未降低风险,而仅仅是把风险平均了,因此两证券是完全正相关时,多样化并 不是富有成效的行动。 另一方面,当两证券是完全负相关时,表示证券B的回报率变化模式的点线与表示证券A回 报率变化的实线完全相反,如图2-3b所示。在这种情形下两证券完全异向变化(p12=-1),投资 []上述结论是有条件的,作者在这里是指原有投资组合和新证券的方差相等的情形。一般来说,在原有投资组合中 加入一个新证券对原有风险的影响,依赖于新证券风险的大小,原有投资组合风险的大小,二者的相关系数以及 新证券的权重这四个因素。—译者注 2]两个随机变量“零相关”即不相关,但不相关与独立并不等价:独立必不相关,不相关未必独立。—译者注
组合的风险才保持不变，其他情形投资组合的总体风险会降低 [ 1 ]。为了更具体地说明不同的协 方差或不同的相关系数如何影响投资组合的方差，我们考虑表 2 - 3中的数据。 表2 - 3列出了两个假想证券的期望回报率、标准差和方差。注意两证券的期望回报率都是 1 0 %，而且标准差S也相等（从而方差相等）。每一证券的权重都是 5 0 %，当然整个投资组合的 权重是1 0 0 %，即投资组合是全部投资的，无闲置的资本。给出了这些数据，易计算出投资组 合的期望回报率为1 0 %，像表中数据下面的第一行所列出的那样。接着后面两行列出了方差的 计算公式并演示方差的计算。表中最后一行表明投资组合的方差依赖于相关系数的数值。 2.5.4 证券的相关性与投资组合的风险 相关系数是两证券回报率同向运动程度的一种度量，它介于－ 1和＋1之间，中点为零。某 两个证券回报率的相关系数为 1表明这两证券是完全正相关的，如图 2 - 2 a中正斜率直线所示。 例如，关于证券A的熊市新信息会导致证券 B也有较低的期望回报。图 2 - 2 b中所示的负斜率直线 则表示相关系数为－1的情形，亦即这两证券为完全负相关。在这一情形下，关于证券 A熊市新 信息会增加证券B的期望回报率。最后图 2 - 2 c中随机散落的点集表示证券 A和B的回报率零相关 或相互独立[ 2 ]的情形。此时关于证券A 的任何新信息，不管是牛市还是熊市，对证券 B都不发生 任何作用。 图2-2 证券 A和B回报率的相关性 图2 - 3说明两证券（A和B）是完全正相关和完全负相关时其回报率随时间变化的可能轨迹。 用实线表示证券A的回报率，虚线表示证券B的回报率。当两者为完全正相关时，如图2 - 3 a所示， 证券B的回报率模式与证券 A是相同的，虚线与实线重合。在这种情形下，两证券完全同步运 动，即 1 2＝＋1。这时投资组合的方差为 0 . 1 6 [ Va r（Rp）= 0 . 0 8 + 0 . 0 8×1 = 0 . 1 6 ]。在这种情形下， 投资组合的方差是两成分证券均方差的加权平均的平方，并且在数值上等于成分证券的方差。 此时，多样化并未降低风险，而仅仅是把风险平均了，因此两证券是完全正相关时，多样化并 不是富有成效的行动。 另一方面，当两证券是完全负相关时，表示证券B的回报率变化模式的点线与表示证券A 回 报率变化的实线完全相反，如图2 - 3 b所示。在这种情形下两证券完全异向变化（ 1 2 =－1），投资 22 第二篇 投资组合的构建和分析 下载 [1] 上述结论是有条件的，作者在这里是指原有投资组合和新证券的方差相等的情形。一般来说，在原有投资组合中 加入一个新证券对原有风险的影响，依赖于新证券风险的大小，原有投资组合风险的大小，二者的相关系数以及 新证券的权重这四个因素。—译者注 [2] 两个随机变量“零相关”即不相关，但不相关与独立并不等价：独立必不相关，不相关未必独立。—译者注 a) b) c)
hina-pe6.com 第2章投资组合的构建 组合的方差为零。在图2-3b上这表现为一条回报率为10%的水平虚线,此时回报率不随时间而 变化。当两证券完全负相关时,多样化完全消除了风险,是高度富有成效的行动。然而,在现 实世界中完全负相关是罕见的,它仅在某些套利情形下出现,例如同时在两个不同的市场上分 别买进和卖空同一种证券田。 如果两种证券的相关系数为零 (p=0),则由这两种证券组成投资组 合的方差为008×Var(R,)=08+§ 0.08×0=0.08]。在这种情况下,投资 组合的方差小于单个证券的方差 (0.16)。图2-3并未对这种情形给予具 体的说明,不过我们可以想象出该投 资组合回报率的曲线。它会表现出上 要小,当证券表现为零相关时,多样 化可以降低风险,而且是一种富有成 效的行动。从上面所述的例子我们可 以推断,除外p=0外,在所有情形下 时间 多样化都能减小投资组合的风险。因 此,多样化在实际中是一种有成效的 图2-3证券的相关性和投资组合的方差 )完全正相关情形b)完全负相关情形 2.5.5增加证券以消减风险 第三种情形可以进一步来说明多样化的功能。首先让我们注意投资组合方差的一般公式 va(R)=∑wVm(R)+∑∑WCo(R) (2-10) 这一公式说明投资组合的方差是其成分证券方差的加权平均和每两种不同的证券之间协方差的 加权平均之和。如果各证券都是零相关,即协方差为零,则上式中第二部分各项都为零,则该 公式简化为 Va(R)=∑Var(R) (2-11) 了便于说明,假定每个成分证券与其他证券回报率间的协方差都是零,每一证券的方差 都相等,并且对每一成分证券的投资都相等,则(2-11)式化为 (1)va(R)=1 var(R)=÷Var(R) 于是 利用上述公式,并假设在本例中各个成分证券的标准差都为40%,表2-4说明当成分证券 另一类似的情形是同时购买可转换偾券和卖空普通股股票。其他套利情形包括:出售择售权并同时购买等价的 择购权,或具有多头和空头在不同市场上交易的几乎相同的期货合约。所有这些情形都假定有瞬间的价格非均 衡,当市场价格趋向均衡时,将给套利者带来利润
组合的方差为零。在图 2 - 3 b上这表现为一条回报率为 1 0 %的水平虚线，此时回报率不随时间而 变化。当两证券完全负相关时，多样化完全消除了风险，是高度富有成效的行动。然而，在现 实世界中完全负相关是罕见的，它仅在某些套利情形下出现，例如同时在两个不同的市场上分 别买进和卖空同一种证券[ 1 ]。 如果两种证券的相关系数为零 ( 1 2= 0)，则由这两种证券组成投资组 合的方差为 0 . 0 8×[ Var (RP ) = 0.08＋ 0 . 0 8×0＝0 . 0 8 ]。在这种情况下，投资 组 合 的方 差 小 于 单 个 证 券 的 方差 （0 . 1 6）。图2 - 3并未对这种情形给予具 体的说明，不过我们可以想象出该投 资组合回报率的曲线。它会表现出上 下波动，不过其波动幅度比单个证券 要小，当证券表现为零相关时，多样 化可以降低风险，而且是一种富有成 效的行动。从上面所述的例子我们可 以推断，除外 1 2 = 0外，在所有情形下， 多样化都能减小投资组合的风险。因 此，多样化在实际中是一种有成效的 行动。 2.5.5 增加证券以消减风险 第三种情形可以进一步来说明多样化的功能。首先让我们注意投资组合方差的一般公式： （2 - 1 0） 这一公式说明投资组合的方差是其成分证券方差的加权平均和每两种不同的证券之间协方差的 加权平均之和。如果各证券都是零相关，即协方差为零，则上式中第二部分各项都为零，则该 公式简化为： （2 - 11） 为了便于说明，假定每个成分证券与其他证券回报率间的协方差都是零，每一证券的方差 都相等，并且对每一成分证券的投资都相等，则（ 2 - 11）式化为： 于是： ( 2 - 1 2） 利用上述公式，并假设在本例中各个成分证券的标准差都为 4 0 %，表2 - 4说明当成分证券 Sp = Si N Var(Rp ) = 1 N æ è ö ø 2 Var(Ri ) = N 1 N æ è ö ø 2 Var(Ri ) = 1 N Var i=1 N å (Ri ) Var(Rp ) = Wi 2 Var i =1 N å (Ri) Var(Rp ) = Wi 2 Var i=1 N å (Ri ) + Wi Wj j =1 N åi =1 N å Cov(Ri Rj) 第2章 投资组合的构建 23 时间 a) 时间 b) [1] 另一类似的情形是同时购买可转换债券和卖空普通股股票。其他套利情形包括：出售择售权并同时购买等价的 择购权，或具有多头和空头在不同市场上交易的几乎相同的期货合约。所有这些情形都假定有瞬间的价格非均 衡，当市场价格趋向均衡时，将给套利者带来利润。 图2-3 证券的相关性和投资组合的方差 a）完全正相关情形 b）完全负相关情形 i≠j 下载