免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 因式分解 【同步教育信息】 因式分解 [学习要求] 1.认识提公因式法和公式法,能隹确地苿些多頂弌用提公因式法或公式法分解 2.从本质上区别因式分解与整式乘法。 [学习重点] 1.提公因式法中公因式的寻找方法 2.怎样旧接利用公式进行因式分解。 [学习难点]怎样用因式分解解袂方程题 (一)简单方法介绍 概念:把一个多项式化成几个整式的乘积形式,这就是因式分解。实际上,它正好与整 式的乘法相反,它们互为逆运算 例如:ma+mb+mc=m(a+b+c) a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b) 多项式mamb+mc中的每一项都含有一个相同的因式m,我们称之为公因式,把公因式提出 来, ma+mb+mc=m(a+b+c),这种方法叫做提取公因式法 +2ab+b2=(a+b)2 2ab+b2=(a-b)2 a'-b-=(a+b(a-b) 它们实际上是利用乘法公式对多项式进行因式分解,这种因式分解的方法叫做公式法 (二)典型例题 例1.把下列多项式分解因式 (1)-5a2+25a (2)3a2-%ab (4)x2+4xy+4y2 解:(1)-5a2+25a=-5a(a-5) (2)3a2-9ab=3a(a-3b) (3)25x2-16y2=(5x)2-(4y)2=(5X+4y5x-4y) 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 因式分解 多项式 ma+mb+mc 中的每一项都含有一个相同的因式 m，我们称之为公因式，把公因式提出 来，ma+mb+mc=m(a+b+c)，这种方法叫做提取公因式法。 2 2 2 2 2 2 a + 2ab + b = (a + b) a − 2ab + b = (a − b) a b (a b)(a b) 2 2 − = + − 它们实际上是利用乘法公式对多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。 （二）典型例题 例 1. 把下列多项式分解因式： (1) 5a 25a (2)3a 9ab 2 2 − + − 2 2 2 2 (3)25x −16y (4)x + 4xy + 4y 解： (1) 5a 25a 5a(a 5) 2 − + = − − （2） 3a 9ab 3a(a 3b) 2 − = − (3)25x 16y (5x) (4y) (5x 4y)(5x 4y) 2 2 2 2 − = − = + −
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (4)x2+4xy+4y2=x2+2x·2y+(2y)2=(x+2y)2 例2.把下列多项式分解因式: (1)4x3y+4x2y2+xy 12 分析:这两个多项式都较为复杂,因为每个字母的指数都不为1,这种题目首先观察有 无公因式,先提公因式,然后再利用公式分解因式。 解:(1)4x3y+4x2y2+y3=xy(4x2+4x+y2) x(2x)2 (2)3x32-12x2=3x(x2-4 3x[x2-(2y) 例3.对下列多项式进行因式分解: (1)4a(x-y)2-2b(y-x)3 (4)4x(y-x) 分析:(1)题中(y-x)2=[-(x-y)]=-(x-y)3,所以这两项中都有2(x-y)2,可先提取公 因式 (2)题观察“1”,1=12,故可用平方差公式分解 (3)题利用加法交换律得x2+8xy+16y2,符合完全平方公式 (4)题将多项式展开为4xy-4x2-y2=-4x2+4xy-y2=-(4x2-4xy+y2)符合完全平方公式, 可用公式分解。 解:(1)4a(x-y)2-2b(y-x)3=4a(x-y)2+2b(x-y)3 2(X-y)[2a+b(x-y) =2(x-y(2a+bx-by) (2)m2-1=(2m)2-12=(=m+1)(m-1) (3)x2+16y2+8xy=x2+8x+16y2=(x+4y)2 4xy-4 说明:(1)分解因式前一般不能直接分解的因式按某字母的降幂整理 (2)首项为“一”时可考虑用添括号法则使其变为“ (3)运用公式时,应从项数、符号以及各项是否完全符合公式特征着手,不能滥用公 式 (4)在分解因式时,首先看是否有公因式。 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2 2 2 2 2 (4)x + 4xy + 4y = x + 2 x 2y + (2y) = (x + 2y) 例 2. 把下列多项式分解因式： 3 2 2 3 3 2 (1)4x y + 4x y + xy (2)3x −12xy 分析：这两个多项式都较为复杂，因为每个字母的指数都不为 1，这种题目首先观察有 无公因式，先提公因式，然后再利用公式分解因式。 解： (1)4x y 4x y xy xy(4x 4xy y ) 3 2 2 3 2 2 + + = + + 2 2 2 xy(2x y) xy[(2x) 2 2x y y ] = + = + + (2)3x 12xy 3x(x 4y ) 3 2 2 2 − = − 3x(x 2y)(x 2y) 3x[x (2y) ] 2 2 = + − = − 例 3. 对下列多项式进行因式分解： m 1 9 4 (1)4a(x y) 2b(y x) (2) 2 3 2 − − − − 2 2 2 (3)x +16y + 8xy (4)4x(y − x) − y 分析：（1）题中(y-x)3 =[-(x-y)]3 =-(x-y)3，所以这两项中都有 2(x-y)2，可先提取公 因式。 （2）题观察“1”，1=12，故可用平方差公式分解。 （3）题利用加法交换律得 x 2 +8xy+16y2，符合完全平方公式。 （4）题将多项式展开为 4xy-4x2 -y 2 =-4x2 +4xy-y 2 =-（4x2 -4xy+y2）符合完全平方公式， 可用公式分解。 解： 2 3 2 3 (1)4a(x − y) − 2b(y − x) = 4a(x − y) + 2b(x − y) 2(x y) (2a bx by) 2(x y) [2a b(x y)] 2 2 = − + − = − + − m 1) 3 2 m 1)( 3 2 m) 1 ( 3 2 m 1 ( 9 4 (2) 2 2 2 − = − = + − 2 2 2 2 2 (3)x +16y + 8xy = x + 8xy +16y = (x + 4y) 2 2 2 2 2 2 (4)4x(y − x) − y = 4xy − 4x − y = −(4x − 4xy + y ) = −(2x − y) 说明：（1）分解因式前一般不能直接分解的因式按某字母的降幂整理； （2）首项为“－”时可考虑用添括号法则使其变为“＋”； （3）运用公式时，应从项数、符号以及各项是否完全符合公式特征着手，不能滥用公 式。 （4）在分解因式时，首先看是否有公因式
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 例4.将下列多项式进行因式分解: 分析:(1)题可先提公因式,再用公式分解。 (2)题也可先提公因式-a后再用完全平方公式。 (3)题先用平方差公式后用完全平方公式。 解:(1) 1)=x2(4x2)2-12] 2X+1)(2x-1)(4x2+1) (2)a3+2a2b+2ab2=a(a2+4ab+4b2)==a(a+2b)2 (3)4a2b2-(a2+b2)2=(2ab)2-(a2+b2)2=(2ab+a2+b2)(2ab-a2-b2) (a+b)2[-( 说明:(1)分解因式的步骤:一提(提取公因式),二套(套用公式),三继续(直至各 因式都不能再分为止) (2)多项式系数为分数或小数时也可考虑提取一个适当系数使其变为整数使计算方 例5.将下列多项式进行因式分解: y 8ba-b)2-12(b-a) (3(a+b)2-6(a+b)+9 分析:(1)中x-y与y-x互为相反数,利用添括号法则可使其变为相同因式,于是可以 有公因式5(x-y) (2)考虑(a-b)2=(b-a)2,故两项中有公因式6(b-a)2。 (3)中将(a+b)看作x,则原式变为x2-6x+9。 解:(1)5(x-y)3+10(y-x)2=5(x-y)2[(x-y)+2]=5(x-y)2(x (2)l8b(a-b)2-12(b-a)3=18b(a-b)2-12(a-b) (3a+b)2-6(a+b)+9=(a+b)2-2(a+b)×3+3 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 例 4. 将下列多项式进行因式分解： 6 2 3 2 2 2 2 2 2 2 a 2a b 2ab (3)4a b (a b ) 2 1 (1)16x − x (2) + + − + 分析：（1）题可先提公因式，再用公式分解。 （2）题也可先提公因式 a 2 1 后再用完全平方公式。 （3）题先用平方差公式后用完全平方公式。 解： (1)16x x x (16x 1) x [(4x ) 1 ] 6 2 2 4 2 2 2 2 − = − = − x (2x 1)(2x 1)(4x 1) x (4x 1)(4x 1) 2 2 2 2 2 = + − + = − + 3 2 2 2 2 2 a(a 2b) 2 1 a(a 4ab 4b ) 2 1 a 2a b 2ab 2 1 (2) + + = + + = + (3)4a b (a b ) (2ab) (a b ) (2ab a b )(2ab a b ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 − + = − + = + + − − 2 2 2 2 2 (a b) (a b) (a b) [ (a 2ab b )] = − + − = + − − + 说明：（1）分解因式的步骤：一提（提取公因式），二套（套用公式），三继续（直至各 因式都不能再分为止）。 （2）多项式系数为分数或小数时也可考虑提取一个适当系数使其变为整数使计算 方 便。 例 5. 将下列多项式进行因式分解： 3 2 (1)5(x − y) +10(y − x) 2 3 (2)18b(a − b) −12(b − a) (3)(a b) 6(a b) 9 2 + − + + 分析：（1）中 x-y 与 y-x 互为相反数，利用添括号法则可使其变为相同因式，于是可以 有公因式 5(x-y)2。 （2）考虑(a-b)2 =(b-a)2，故两项中有公因式 6(b-a)2。 （3）中将(a+b)看作 x，则原式变为 x 2 -6x+9。 解： (1)5(x y) 10(y x) 5(x y) [(x y) 2] 5(x y) (x y 2) 3 2 2 2 − + − = − − + = − − + 2 3 2 3 (2)18b(a − b) −12(b − a) =18b(a − b) −12(a − b) 6(a b) (5b 2a) 6(a b) [3b 2(a b)] 2 2 = − − = − − − 2 2 2 (3)(a + b) − 6(a + b) + 9 = (a + b) − 2(a + b)3+ 3
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ (a+b)-3] (a+b-3) 说明:在分解因式时,某些多项式可作为一个整体看作单独的一项,从而化繁为简,易 于分解。 例6.把下列各多项式分解因式: ((ac +bd)+(bc-ad) (2)(2X+y)y-2x)-y(5y-8x) (3x+y)2+4(y+x+1) 分析:(1)题不符合公式,因而首先应该将两个括号打开 (2)题也不符合公式,也无公因式可提,因而将括号打开 (3)题初看不符合公式,但是调整后可用公式法分解因式 AF:(1)(ac+bd)+(bc-ad)=a'c+abcd+bd+bc-2abcd +ad =a2c2+b2d2+b2c2+a2d2 =(a2c2+a2d2)+(b2d2+b2c2) (c2+d2)+b2(c2+d2) b2)c2+d2) (2)2X+y)y-2x)-y(5y-8xX)=2xy+y-2x-4x2-5y2+8xy 4(x-y) (3Xx+y)2+4(y+x+1)=(x+y)2+4(x+y)+4 说明:有的题目可能无法直接分解,需要对原多项式进行变形,变形后才可用公式或提 公因式的方法分解 例7.已知:a+b+c=11,求2a2+2b2+2c2+4ab+4bc+4ac的值。 M:(a+b+c)=a+b2+c2+2ab+2ac+2bc 2a2+2b2+2c2+4ab+4ac+4bc=2(a+b+c) 又a+b+c=11 故原式=2×12=242 例8.已知m+n=9,mn=14,求m2-mn+n2的值 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 2 2 (a b 3) [(a b) 3] = + − = + − 说明：在分解因式时，某些多项式可作为一个整体看作单独的一项，从而化繁为简，易 于分解。 例 6. 把下列各多项式分解因式： 2 2 (1)(ac + bd) + (bc − ad) (2)(2x + y)(y − 2x) − y(5y − 8x) (3)(x y) 4(y x 1) 2 + + + + 分析：（1）题不符合公式，因而首先应该将两个括号打开。 （2）题也不符合公式，也无公因式可提，因而将括号打开。 （3）题初看不符合公式，但是调整后可用公式法分解因式。 解： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (1)(ac + bd) + (bc − ad) = a c + 2abcd + b d + b c − 2abcd + a d (a b )(c d ) a (c d ) b (c d ) (a c a d ) (b d b c ) a c b d b c a d 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = + + = + + + = + + + = + + + (2)(2x y)(y 2x) y(5y 8x) 2xy y 2xy 4x 5y 8xy 2 2 2 + − − − = + − − − + 2 2 2 2 2 4(x y) 4[x 2xy y ] 4y 4x 8xy = − − = − − + = − − + (3)(x y) 4(y x 1) (x y) 4(x y) 4 2 2 + + + + = + + + + 2 = (x + y + 2) 说明：有的题目可能无法直接分解，需要对原多项式进行变形，变形后才可用公式或提 公因式的方法分解。 例 7. 已知：a+b+c=11，求 2a2 +2b2 +2c2 +4ab+4bc+4ac 的值。 解： (a b c) a b c 2ab 2ac 2bc 2 2 2 2 + + = + + + + + 2 2 2 2 故2a + 2b + 2c + 4ab + 4ac + 4bc = 2(a + b + c) 又a + b + c = 11 2 11 242 2 故原式= = 例 8. 已知 m+n=9，mn=14，求 m 2 -mn+n2 的值
免费下载网址htt:/ jiaoxue5uys168com/ 解 2 =(m+n)2-3mn =92-3×14 =39 例9.已知a2+b2+2a-4b+5=0,求a、b 解:a2+b2+2a-4b+5=a2+2a+1+b2-4b+4 故可知a+1)2+(b-2)2=0 又(a+1)2和(b-2)2是非负数 a+1=0 得 b-2=0 b=2 例10.求满足方程4x2-9y2=31的正整数解。 解:因为4x2-9y2=31 (2x)2-(3y)2=31 (2x+3y)(2x-3y)=31 这里x、y为正整数,而31为质数,故仅有 2x-3y=31 或(4 分别解之可得:1)-42) 5 又xy均为正整数,故只得/x8 例11.若a、b、c为△ABC的三边长,判断代数式(a2+b2-c)2-4a3b2的值是正数,还是负 解:(a2+b2-c2)2-4a2b2=(a2+b2-c2)2-(2ab)2 解压密码联系qq119139686加微信公众号 Jlaoxuewuyou九折优惠!淘 宝网址: jiaoxue5u. taobao. com
免费下载网址 http://jiaoxue5u.ys168.com/ 解压密码联系 qq 1119139686 加微信公众号 jiaoxuewuyou 九折优惠！淘 宝网址：jiaoxue5u.taobao.com 解： m mn n m 2mn n 3mn 2 2 2 2 − + = + + − 39 9 3 14 (m n) 3mn 2 2 = = − = + − 例 9. 已知 a 2 +b2 +2a-4b+5=0，求 a、b。 解： a b 2a 4b 5 a 2a 1 b 4b 4 2 2 2 2 + + − + = + + + − + 2 2 = (a +1) + (b − 2) (a 1) (b 2) 0 2 2 故可知 + + − = 又(a +1) 2和(b − 2) 2是非负数 = = − − = + = b 2 a 1 b 2 0 a 1 0 得 得 例 10. 求满足方程 4x2 -9y2 =31 的正整数解。 解： 4x 9y 31 2 2 因为 − = (2x) (3y) 31 2 2 − = (2x + 3y)(2x − 3y) = 31 这里 x、y 为正整数，而 31 为质数，故仅有 − = + = − = + = 2x 3y 31 2x 3y 1 (2) 2x 3y 1 2x 3y 31 (1) 或 − = − + = − − = − + = − 2x 3y 31 2x 3y 1 (4) 2x 3y 1 2x 3y 31 (3) 或 = = − = − = − = − = = = y 5 x 8 (4) y 5 x 8 (3) y 5 x 8 (2) y 5 x 8 分别解之可得：(1) ； ； ； = = y 5 x 8 又x、y均为正整数，故只得 例 11. 若 a、b、c 为△ABC 的三边长，判断代数式(a2 +b2 -c 2 ) 2 -4a2 b 2 的值是正数，还是负 数。 解： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a + b − c ) − 4a b = (a + b − c ) − (2ab)