《电磁学》课程教学资源（课堂拓展）用复变函数的方法研究电磁学中的一些问题

高斯定理与环路定理注意到对于土面的两种情况，都有w=w(z)=u-iv是解析的，因为Cauchy-Riemman方程得到足ou a(-v) Qu(-v)Oxoxyay

高斯定理与环路定理 注意到对于上面的两种情况，都有 是解析的，因为Cauchy-Riemman方程得到足： w = w(z) = u − iv x v y u y v x u   − =     − =   ( ) ; ( )

于是解析函数的理论与方法有了用武之地！取C为一条围绕原点的简单封闭曲线，如果原点处存在无限长的导线（或者带电直线），则由留数定理可得：f wdz=2miRes[w,0]JC

取C为一条围绕原点的简单封闭曲线，如果原 点处存在无限长的导线（或者带电直线），则 由留数定理可得：  = C wdz 2iRe s[w,0] 于是解析函数的理论与方法有了用 武之地！

fwdz=f (u-iv)(dx+idy)-2比较实部虚部即得：f (udx + vdy) = 2元(1)(2)f. (udy-vdx) =0下面分析上面二式的意义

= ( − )( + ) = 2 C C wdz u iv dx idy 比较实部虚部即得：   − = + = C C udy vdx udx vdy ( ) 0 ( ) 2 下面分析上面二式的意义。 (1) (2)

对于图重的曲线积分，积分微元是di = dx + idy于是，如果把w看作有两个分量的矢dl量,可有w· dl = (u +iv)(dx + idy)= udx + vdy即得：w.dl=2元对于磁场的情况由B-40W最后得到： B.di = μol2元JC

对于图重的曲线积分,积分微元是 dl = dx + idy  于是,如果把w看作有两个分量的矢 量,可有 udx vdy w dl u iv dx idy = +  = ( + )( + )  即得:   = C w dl 2  由   2 0 Iw B =  最后得到:   = C B dl I 0   dl  对于磁场的情况

上式即是我们熟悉的安培环路定理而（2）式的意义又何在呢?注意到：dliw ·dl = (u +iv)(dx +idy)= vdx-udyIdn如果我们定义：dn =-idl则可以得到：w·dn=0JCdn的几何意义如图所示.当把曲线看成是无限长的柱面的截线时，即是曲面的法向量，正式的意义即可理解为是二维平面的高斯定理

上式即是我们熟悉的安培环路定理. 而(2)式的意义又何在呢?注意到: iwdl = (u + iv)(dx + idy) = vdx−udy  如果我们定义: dn idl   = − 则可以得到:   = C w dn 0  dl  dn  的几何意义如图所示.当把曲线看成是无限长的 柱面的截线时, 即是曲面的法向量.上式的意义 即可理解为是二维平面的高斯定理. dn 