数传在☑ 命题6.1.3(1)适应列{Xn,Fn,n≥0}是下鞅当且仅 1951 当{-Xn,Fm,n≥0}是上鞅. (2)如果{Xn,Fn},{Yn,Fn}是两个下鞅，a,b是两个 正常数，则{aXn+bYn,Fn}是下鞅 (3)如果{Xn,Fn},{Yn,Fn}是两个下鞅（或上鞅），则 {max(Xn,Yn),Fn}({min(Xn,Yn),Fn})是下鞅（上鞅）. 12/42 证明是简单的，留作习题， 若以Xn表示一个赌博者在第n次赌博后所有的赌资， 式(6.1.2)表示：平均而言他在下一次赌博结束时的赌资将等 于现时的赌资，与他过去赌博的输赢无关.这也就是说鞅具 有一种“无后效性”，同时这体现的正是博弈的公平 GoBack FullScreen Close Quit
12/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ·K 6.1.3 (1) ·A{Xn, Fn, n ≥ 0}¥eÖ= {−Xn, Fn, n ≥ 0}¥˛. (2) XJ{Xn, Fn}, {Yn, Fn}¥¸áeß a, b ¥¸á ~Í, K{aXn + bYn, Fn}¥e. (3) XJ{Xn, Fn}, {Yn, Fn}¥¸áe(½˛)ßK {max(Xn, Yn), Fn} ({min(Xn, Yn), Fn}) ¥e(˛). y²¥{¸ß3äSK. e±XnL´òáŸÆˆ31ngŸÆ§kŸ]. ™(6.1.2)L´µ²˛ Û¶3eògŸÆ(ÂûŸ]Ú uyûŸ]ßܶLŸÆ—IÃ'.˘è“¥`‰ kò´/Ã50 ß”û˘Ny¥Æâ˙²
传有年 例6.1.4设X1,X2,·是一族独立随机变量序列，且E[X<E 1951 ∞，令S0=0,Sn=∑欢=1Xk,则： (a)若对于所有的n,E(Xm)=0,则{Sn}是（关于Fn= (X1,X2,·,Xm)的鞅. (b)若E(X)=u卡0，则{Mn=Sn-nu}是（关于{Fn}的）鞅， 证明：(a)当E[Xk]=0,(k=1,2,…)时，易见Sn是Fn可 13/42 测的，而且ESnl≤∑公1E[X<oo,于是 E[Sn+1 Fn]=E[X1+X2+...+Xn+1Fn] =E[X1+...+XnFn]E[Xn+1Fn] -Sn 从而{Sn}是一个关于{Fn}的鞅.同理可以证明(b) GoBack FullScreen Close Quit
13/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 6.1.4 X1, X2, · · · ¥òx’·ëÅC˛SßÖE[|Xi|] < ∞, -S0 = 0, Sn = Pn k=1 XkßKµ (a) eÈu§kn, E(Xn) = 0, K{Sn}¥('uFn = σ(X1, X2, · · · , Xn)). (b) eE(Xk) = µ 6= 0ßK{Mn = Sn−nµ}¥('u{Fn}). y²µ(a) E[Xk] = 0, (k = 1, 2, · · · )ûߥÑSn¥Fnå ˇß ÖE[|Sn|] ≤ Pn i=1 E[|Xi|] < ∞ßu¥ E[Sn+1|Fn] = E[X1 + X2 + · · · + Xn+1|Fn] = E[X1 + · · · + Xn|Fn] + E[Xn+1|Fn] = Sn l {Sn}¥òá'u{Fn}. ”nå±y²(b)
在发☑ 例6.1.5 在例6.1.4中设E[X]=u卡0，E[X]< 1951 ∞，(=1,2，·)，则有ESn]<o, m E[S+Fn]=E[Xi+Xn+Fn]=Sn+ i=1 显然，若μ>0（μ<O),则{Sn}是一关于{Fn}的下鞅（上 鞅) 14/42 GoBack FullScreen Close Quit
14/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 6.1.5 3~6.1.4•E[Xk] = µ 6= 0, E[|Xk|] < ∞, (k = 1, 2, · · · )ßKkE[|Sn|] < ∞ß E[Sn+1|Fn] = E X n i=1 Xi + Xn+1|Fn = Sn + µ w,ßeµ > 0(µ < 0)ßK{Sn}¥ò'u{Fn}e(˛ ).
数传在 例6.1.6考虑一个公平博弈问题.设X1,X2,·独立 1951 同分布，分布函数为 P(=1)- 于是可以将X(亿=1,2·)看做一个投硬币游戏的结果：如 果出现正面就赢1元，出现反面则输1元.假设我们按以下的 规则来赌博，每次投掷硬币之前的赌注都比上一次翻一倍， 15/42 直到赢了赌博即停.令Wn表示第n次赌博后所输（或赢）的总 钱数，则Wo=0,由于无论何时只要赢了就停止赌博，所 以Wn从赢了之后起就不再变化，于是有P{Wn+1=1Wn= 1=1. GoBack FullScreen Close Quit
15/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ~ 6.1.6 ƒòá˙²ÆâØK. X1, X2, · · · ’· ”©Ÿß©ŸºÍè P{Xi = 1} = P{Xi = −1} = 1 2 u¥å±ÚXi(i = 1, 2 · · · )wâòá›M1iZ(JµX J—y°“I1ß—yá°K—1. b·ÇU±e 5K5ŸÆßzg›ïM1ÉcŸ5—'˛ògÄòß ÜI ŸÆ= . -WnL´1ngŸÆ§—(½I)o aÍ, KW0 = 0ßduÃÿ¤ûêáI “ éŸÆߧ ±WnlI É“ÿ2Czßu¥kP{Wn+1 = 1|Wn = 1} = 1.