鞅的直观本质意义 1951 鞅描述的是“公平”的赌博，下鞅和上鞅分别描述了 “有利”赌博与“不利”赌博.下面我们定义关于σ代数的鞅. 域流Filtration 。给定样本空间2和时间指标集T,若存在一族σ-代数{F:: t∈T}使得对任意的0≤s<t都有FsCF,则称 {Ft:t∈T}为2上的一个域流(filtration). 7/42 ·对于概率空间(2，下，P),和S2上的一个域流{F}tT,则称 四元组(2，F,{F}tT,P)为一个带域流的概率空间，或 者过滤的(filtered probability space)概率空间。 ·域流的概念可以动态地刻画随机过程的可测性和信息递 增，为后面的条件期望的定义做好准备。 GoBack 。思考：带域流的概率空间的逻辑？ FullScreen Close Quit
7/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit Ü* üø¬ £„¥/˙²0ŸÆße⁄˛©O£„ /k|0ŸÆÜ/ÿ|0ŸÆ. e°·Ç½¬'uσìÍ. ç6 Filtration • â½ òmΩ⁄ûmçI8T, e3òxσ-ìÍ {Ft : t ∈ T} ¶È?ø 0 ≤ s < t —k Fs ⊂ Ft, K° {Ft : t ∈ T} è Ω˛òá ç6 (filtration). • ÈuV«òm(Ω, F, P), ⁄Ω˛òáç6{Ft}t∈T , K° o| (Ω, F, {Ft}t∈T , P) èòáëç6V«òmß½ ˆL» (filtered probability space) V«òm" • ç6Vg屃/èxëÅLßåˇ5⁄&E4 Oßè°^áœ"½¬â–O" • gµëç6V«òm‹6º
数传有 适应过程(adapted process. 1951 给定一个带域流的概率空间(2，下，{}tT,P).如果一 个随机过程{X}tr满足对任意的t∈T都有 Xt∈F,亦即X是F可测的，或记为σ(X)CF, 则称{Xt}为关于域流{F}t∈r适应的(adapted)过程。 ·适应过程在每一时间处都可以由当前已知信息来描述 8/42 (而不是给定)。 ·本课程中的金融随机过程（资产价格、投资组合头寸等） 都是适应的。 GoBack FullScreen Close Quit
8/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ·ALߣadapted process§ • â½òáëç6V«òm (Ω, F, {Ft}t∈T , P). XJò áëÅLß{Xt}t∈T ˜vÈ?øt ∈ T—k Xt ∈ Ft, ½=Xt¥Ftåˇß½Pè σ(Xt) ⊂ Ft, K°{Xt}è'uç6{Ft}t∈T ·A (adapted) Lß" • ·ALß3zòûm?—å±dcÆ&E5£„ £ ÿ¥â½§" • ëß•7KëÅLߣ]dÇ!›]|‹fiÄ § —¥·A
数传在☑ 可料过程(predictable process 1951 给定一个带域流的概率空间(2，下，{Fn}n=0,1…,N,P).如 果一个随机过程{Xn}m=0,1,,v满足对任意的n都有 Xn∈Fn-l, 亦即Xn是Fn-1可测的， 则称{Xn}为关于域流{Fn}n=o,l,,w可料(predictable) 过程。 9/42 ● 可料过程在每一时间处都可以由前一期信息来描述（而 不是给定)。 。在离散时间框架下，我们讨论的策略都是可料的。 GoBack FullScreen Close Quit
9/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit åLߣpredictable process§ • â½òáëç6V«òm (Ω, F, {Fn}n=0,1,··· ,N, P). X JòáëÅLß{Xn}n=0,1,··· ,N ˜vÈ?øn—k Xn ∈ Fn−1, ½=Xn¥Fn−1åˇ , K°{Xn}è'uç6{Fn}n=0,1,··· ,N å (predictable) Lß" • åLß3zòûm?—å±dcòœ&E5£„£ ÿ¥â½§" • 3l—ûmµeeß·Ç?ÿ¸——¥å
数传在☑ 回忆条件数学期望的性质 1951 定理6.1.1 若X为一随机变量，G为σ一代数。则： (1)E[EX 9]]=E[X]. (2) 若X是g可测，则E[Xg]=X,a.s. (3) 设g={0,2},则E[X|g=E[X],a.s. (7) |E[Xg]≤E[X|g],a.s. 10/42 (9) 设X及XY的期望存在，且Y为G可测，则 EXY C]=YE X g],a.s. (10) 若X与9相互独立（即o(X)与G相互独立），则有 E[X g=EX]a.s. (11)若91,92是两个子σ代数，使得91C92CF,则 EEX C2 91=EX 91,a.s. GoBack FullScreen Close Quit
10/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ££^áÍÆœ"5ü ½n 6.1.1 eXèòëÅC˛ßGèσ−ìÍ"Kµ (1) E[E[X|G]] = E[X]. (2) eX¥GåˇßKE[X|G] = X, a.s.. (3) G = {∅, Ω}ßKE[X|G] = E[X], a.s.. (7) |E[X|G]| ≤ E[|X||G], a.s.. (9) X9XY œ"3ßÖY èGåˇßK E[XY |G] = Y E[X|G], a.s. (10) eXÜGÉp’·(=σ(X)ÜGÉp’·)ßKk E[X|G] = E[X], a.s. (11) eG1,G2 ¥¸áfσìÍ߶G1 ⊂ G2 ⊂ F, K E[E[X|G2]|G1] = E[X|G1], a.s
数在 定义6.1.2设{Fm,n≥0}是一个F中的单调递增的 1951 子o代数列.随机过程{Xm,n≥0}称为关于{Fn,n≥0}的 鞅，如果： ●{Xn}是{Fmn}适应的 ●E[Xnl]<o ●并且n≥0，有 11/42 E[Xn+1|Fn]=Xn (6.1.2) ·适应列{Xn,Fm,n≥0}称为下鞅，如果n≥0， E[X]<o且E[Xn+1Fm]≥Xm (6.1.3) ·上鞅可以类似定义， 在给出例子之前，先给出由定义直接推出的命题， GoBack FullScreen Close Quit
11/42 kJ Ik J I GoBack FullScreen Close Quit ½¬ 6.1.2 {Fn, n ≥ 0}¥òáF•¸N4O fσìÍ. ëÅLß{Xn, n ≥ 0}°è'u{Fn, n ≥ 0} ßXJµ • {Xn}¥{Fn} ·A • E[|Xn|] < ∞ • øÖ∀n ≥ 0ßk E[Xn+1|Fn] = Xn (6.1.2) • ·A{Xn, Fn, n ≥ 0}°è eßXJ∀n ≥ 0, E[X+ n ] < ∞ Ö E[Xn+1|Fn] ≥ Xn (6.1.3) • ˛å±aq½¬. 3â—~fÉcßkâ—d½¬ÜÌ—·K