第六章气体动理论基础 习题精选及参考答案 1速率分布函数f(v)的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义(n为分子数密度,N 为系统总分子数) (1) f(v)dv (2)nf()dv (3) Nf(v)dv (4)f(v) (6)[N(v)dv 解:f(v):表示一定质量的气体,在温度为T的平衡态时,分布在速率v附近单位速率区 间内的分子数占总分子数的百分比 (1)f(v)dv:表示分布在速率v附近,速率区间dv内的分子数占总分子数的百分比 (2)nf(v)dv:表示分布在速率v附近、速率区间dv内的分子数密度 (3)N(v)dv:表示分布在速率v附近、速率区间dh内的分子数 (4)f(v)dv:表示分布在v~v2区间内的分子数占总分子数的百分比 (5)f(v)dv:表示分布在0~∞的速率区间内所有分子,其与总分子数的比值是1 (6)M(r)y:表示分布在n~n2区间内的分子数 2题2图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线,哪一条代表氢?题6-10 图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线,哪一条的温度较高? 答:图(a)中(1)表示氧,(2)表示氢:图(b)中(2)温度高. f(u) (a) 题2图 3温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么? 答:温度是大量分子无规则热运动的集体表现,是一个统计概念,对个别分子无意义.温度 微观本质是分子平均平动动能的量度 4有两种不同的理想气体,同压、同温而体积不等,试问下述各量是否相同? (1)分子数密度:(2)气体质量密度:(3)单位体积内气体分子总平动动能:(4)单位体积
第六章 气体动理论基础 习题精选及参考答案 1 速率分布函数 f (v) 的物理意义是什么?试说明下列各量的物理意义( n 为分子数密度， N 为系统总分子数)． （1） f (v)dv （2） nf (v)dv （3） Nf (v)dv （4） v f v v 0 ( )d （5） 0 f (v)dv （6） 2 1 ( )d v v Nf v v 解： f (v) ：表示一定质量的气体，在温度为 T 的平衡态时，分布在速率 v 附近单位速率区 间内的分子数占总分子数的百分比. ( 1 ) f (v)dv ：表示分布在速率 v 附近，速率区间 dv 内的分子数占总分子数的百分比. ( 2 ) nf (v)dv ：表示分布在速率 v 附近、速率区间 dv 内的分子数密度． ( 3 ) Nf (v)dv ：表示分布在速率 v 附近、速率区间 dv 内的分子数． ( 4 ) v f v v 0 ( )d ：表示分布在 1 ~ 2 v v 区间内的分子数占总分子数的百分比． ( 5 ) 0 f (v)dv ：表示分布在 0 ~ 的速率区间内所有分子，其与总分子数的比值是 1. ( 6 ) 2 1 ( )d v v Nf v v ：表示分布在 1 ~ 2 v v 区间内的分子数. 2 题 2 图(a)是氢和氧在同一温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条代表氢?题 6-10 图(b)是某种气体在不同温度下的两条麦克斯韦速率分布曲线，哪一条的温度较高? 答：图(a)中( 1 )表示氧，( 2 )表示氢；图(b)中( 2 )温度高． 题 2 图 3 温度概念的适用条件是什么?温度微观本质是什么? 答：温度是大量分子无规则热运动的集体表现，是一个统计概念，对个别分子无意义．温度 微观本质是分子平均平动动能的量度． 4 有两种不同的理想气体，同压、同温而体积不等，试问下述各量是否相同? (1)分子数密度；(2)气体质量密度；(3)单位体积内气体分子总平动动能；(4)单位体积
内气体分子的总动能 解:(1)由p=nkT,n=P知分子数密度相同 (2)由p= P知气体质量密度不同 (3)由n-kT知单位体积内气体分子总平动动能相同 (4)由n-kT知单位体积内气体分子的总动能不一定相同 5设有N个粒子的系统,其速率分布如题5图所示.求 (1)分布函数f()的表达式 (2)a与vo之间的关系 (3)速度在1.5V0到2.0v之间的粒子数 (4)粒子的平均速率 (5)0.5V到1v区间内粒子平均速率 Nfv) 题5图 解:(1)从图上可得分布函数表达式 N(v)=av/vo(0≤v≤vo) Nf(v)=a (vo≤v≤2vo) Nf(v)=0 (v≥2v) av/Nvo(0≤v≤v) f(v)=aIN (v≤v≤2v0) (v≥2v) f(v)满足归一化条件,但这里纵坐标是M(v)而不是f(v)故曲线下的总面积为N, (2)由归一化条件可得 2N N--dv+M (3)可通过面积计算△N=a(2v-1.51 3 (4)N个粒子平均速率
内气体分子的总动能． 解：( 1 )由 kT p p = nkT, n = 知分子数密度相同； ( 2 )由 RT M p V M mol = = 知气体质量密度不同； ( 3 )由 n kT 2 3 知单位体积内气体分子总平动动能相同； (4)由 kT i n 2 知单位体积内气体分子的总动能不一定相同． 5 设有 N 个粒子的系统，其速率分布如题5图所示．求 (1)分布函数 f (v) 的表达式； (2) a 与 0 v 之间的关系； (3)速度在1.5 0 v 到2.0 0 v 之间的粒子数． (4)粒子的平均速率． (5)0.5 0 v 到 1 0 v 区间内粒子平均速率． 题 5 图 解：(1)从图上可得分布函数表达式 = = = ( ) 0 ( 2 ) ( ) ( 2 ) ( ) / (0 ) 0 0 0 0 0 Nf v v v Nf v a v v v Nf v av v v v = 0 ( 2 ) / ( 2 ) / (0 ) ( ) 0 0 0 0 0 v v a N v v v av Nv v v f v f (v) 满足归一化条件，但这里纵坐标是 Nf (v) 而不是 f (v) 故曲线下的总面积为 N ， (2)由归一化条件可得 + = = 0 0 0 0 0 2 0 3 2 d d v v v v N v N a v N a v av N (3)可通过面积计算 N a v v N 3 1 (2 1.5 ) = 0 − 0 = (4) N 个粒子平均速率
v=[ wf(vdv=I[ wN()dv 3 2 (5)0.5v到1vn区间内粒子平均速率 dn N dN f(v)d 1 av 7 -dv N124 0.5v0到1v区间内粒子数 (a+0.5a)(v0-0.5v0)=2av lava 7 6N9 61mol氢气,在温度为27℃时,它的平动动能、转动动能和内能各是多少? 解:理想气体分子的能量 E=D-RT 平动动能t=3E.=-×8.31×300=3739.5J 2 转动动能r=2E,==×8.31×300=2493J 内能=5E1=×8.31×300=62325J 7一真空管的真空度约为1.38×103Pa即1.0×10°mHg),试求在27℃时单位体积中的 分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径d=3×100m) 解:由气体状态方程P=nkT得 P 3.33×1017 kT1.38×1023×300 由平均自由程公式=1
= = = + 0 0 0 2 0 0 2 0 0 ( )d d d 1 ( )d v v v v av v v av vNf v v N v v f v v 0 2 0 2 0 9 11 ) 2 3 3 1 ( 1 av av v N v = + = (5) 5 0 0. v 到 1 0 v 区间内粒子平均速率 = = 0 0 0 0 0.5 1 1 0.5 d d v v v v N v N N N N v N v = = 0 0 0 5 0 0. 0.5 0 2 1 1 ( )d d v v v v v Nv av N N vf v v N N 24 1 7 ) 3 24 ( 1 d 1 2 0 0 1 3 0 0 3 0 1 0.5 0 2 1 0 0 av v N av v av N v v av N v v v = = − = 5 0 0. v 到 1 0 v 区间内粒子数 N a a v v av N 4 1 8 3 ( 0.5 )( 0.5 ) 2 1 1 = + 0 − 0 = 0 = 9 7 6 7 0 2 0 v N av v = = 6 1mol 氢气，在温度为 27℃时，它的平动动能、转动动能和内能各是多少? 解：理想气体分子的能量 RT i E 2 = 平动动能 t = 3 8.31 300 3739.5 2 3 Et = = J 转动动能 r = 2 8.31 300 2493 2 2 Er = = J 内能 i = 5 8.31 300 6232.5 2 5 Ei = = J 7 一真空管的真空度约为 1.38×10-3 Pa(即 1.0×10-5 mmHg)，试 求在 27℃时单位体积中的 分子数及分子的平均自由程(设分子的有效直径 d＝3×10-10 m)． 解：由气体状态方程 p = nkT 得 17 23 3 3.33 10 1.38 10 300 1.38 10 = = = − k T p n 3 m − 由平均自由程公式 d n 2 2 1 =
7.5m 2丌×9×10-×3.33×1
7.5 2 9 10 3.33 10 1 20 17 = = − m