三峡大学：《大学物理》课程教学资源（试卷习题）第三章 相对论习题精选及参考答案

第三章相对论 习题精选及参考答案 1.惯性系S′相对另一惯性系S沿x轴作匀速直线运动,取两坐标原点重合时刻作为计时起 点,在S系中测得两事件的时空坐标分别为x1=6×10m,t1=2×10°s,以及x,=12×10m,t,=1 ×10s.已知在S′系中测得该两事件同时发生.试问:(1)S′系相对S系的速度是多少?(2) S"系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解:设(S)相对S的速度为v 1=y(t1-2x1) 2=y(12-=2x2) 由题意 t2-t1=0 l2-t1=-2(x2-x1) t2-1-C=-1.5×10 (2)由洛仑兹变换 x1=y(x1-v1),x2=y(x2-V2) 代入数值, x2-x1=52×10m 2长度l0=1m的米尺静止于S′系中,与x轴的夹角b”=30°,S′系相对S系沿x轴运 动,在S系中观测者测得米尺与x轴夹角为6=45.试求:(1)S′系和S系的相对运动速 度.(2)S系中测得的米尺长度 解:(1)米尺相对S静止,它在x,y′轴上的投影分别为 L Y= Lo cos0=0.866m, Ly= Lo sin 6=0.5 m 米尺相对S沿x方向运动,设速度为,对S系中的观察者测得米尺在x方向收缩,而y方 向的长度不变,即 tan e

第三章 相对论 习题精选及参考答案 1.惯性系S′相对另一惯性系 S 沿 x 轴作匀速直线运动，取两坐标原点重合时刻作为计时起 点．在S系中测得两事件的时空坐标分别为 1 x =6×104 m, 1 t =2×10-4 s，以及 2 x =12×104 m, 2 t =1 ×10-4 s．已知在S′系中测得该两事件同时发生．试问：(1)S′系相对S系的速度是多少? (2) S 系中测得的两事件的空间间隔是多少? 解: 设 (S) 相对 S 的速度为 v ， (1) ( ) 1 1 2 1 x c v t =  t − ( ) 2 2 2 2 x c v t =  t − 由题意 t 2  − t 1  = 0 则 ( ) 2 1 2 2 1 x x c v t − t = − 故 8 2 1 2 2 1 1.5 10 2 = − = −  − − = c x x t t v c 1 m s −  (2)由洛仑兹变换 ( ), ( ) 1 1 1 2 2 2 x  =  x −vt x  =  x −vt 代入数值， 5.2 10 m 4 x2  − x1  =  2 长度 0 l =1 m 的米尺静止于S′系中，与 x ′轴的夹角  '= 30°，S′系相对S系沿 x 轴运 动，在S系中观测者测得米尺与 x 轴夹角为  = 45  ． 试求：(1)S′系和S系的相对运动速 度.(2)S系中测得的米尺长度． 解: (1)米尺相对 S 静止，它在 x  , y  轴上的投影分别为： Lx  = L0 cos = 0.866 m， L y = L0 sin   = 0.5 m 米尺相对 S 沿 x 方向运动，设速度为 v ，对 S 系中的观察者测得米尺在 x 方向收缩，而 y 方 向的长度不变，即 x x Ly Ly c v L = L 1− , =  2 2 故 2 2 1 tan c v L L L L L L x y x y x y  −  =   = =

把=45°及L,L代入 0.5 则得 故 0.816c (2)在S系中测得米尺长度为LL 450=0.707m 题3图 3.两个惯性系中的观察者O和O′以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近,如果O 测得两者的初始距离是20m,则O测得两者经过多少时间相遇? 解:O测得相遇时间为Mt 0.6c O测得的是固有时△ At LoV1-B 889×10-8 0.8 或者,O′测得长度收缩, L=L0√1-B2 -062=0.81,4/′ 0.8L 0.8×20 =8.89×10-8s 0.6c06×3×108 4观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系S和S′中,甲测得在同一地点发生的两事件的时 间间隔为4s,而乙测得这两个事件的时间间隔为5s.求 (1)S"相对于S的运动速度 (2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离 解:甲测得4=4s,4x=0,乙测得M=5s,坐标差为Ax'=x2-x1

把 ο  = 45 及 Lx Ly  ,  代入 则得 0.866 0.5 1 2 2 − = c v 故 v = 0.816 c (2)在 S 系中测得米尺长度为 0.707 m sin 45 =  = Ly L 题 3 图 3. 两个惯性系中的观察者 O 和 O 以0.6c(c表示真空中光速)的相对速度相互接近，如果 O 测得两者的初始距离是20m，则 O 测得两者经过多少时间相遇? 解: O 测得相遇时间为 t v c L t 0.6 0 20  = = O 测得的是固有时 t ∴ v t L t 2 0 1   − =    = 8.89 10 s −8 =  ， = = 0.6 c v  ， 0.8 1  = ， 或者， O 测得长度收缩， v L L = L 1− = L 1− 0.6 = 0.8L0 ,t = 2 0 2 0  8.89 10 s 0.6 3 10 0.8 20 0.6 0.8 8 8 0 − =      = = c L t 4 观测者甲乙分别静止于两个惯性参考系 S 和 S 中，甲测得在同一地点发生的两事件的时 间间隔为 4s，而乙测得这两个事件的时间间隔为 5s．求： (1) S 相对于 S 的运动速度． (2)乙测得这两个事件发生的地点间的距离． 解: 甲测得 t = 4 s,x = 0,乙测得 t = 5 s ，坐标差为 2 1 x  = x  − x ′

M=y(t+△x)=MAMt 解出 V=C =1.8×10°m.s △x’=y(△x-v△)y= Ax=o Ax'=-y=-xc×4=-3c=-9×10m 负号表示x2-x1<0 5设物体相对S′系沿x轴正向以0.8c运动,如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c 问物体相对S系的速度是多少? 解:根据速度合成定理,u=0.8c,ν=0.8c v+l0.8c+0.8c=098c 0.8c×0.8c 6飞船A以0.8c的速度相对地球向正东飞行,飞船B以0.6c的速度相对地球向正西方向飞 行.当两飞船即将相遇时A飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹.在B飞船的观测 者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少? 解:取B为S系,地球为S'系,自西向东为x(x)轴正向,则A对S’系的速度v=0.8c S系对S系的速度为u=06c,则A对S系(B船)的速度为 ≈+0.8c+06c-0946c v1+048 发射弹是从A的同一点发出,其时间间隔为固有时A'=2s

(1)∴ t c v x t c v t t  −   =  +  =  2 2 1 ( ) 1  ( )   5 4 1 2 2 =    − = t t c v 解出 c c t t v c 5 3 ) 5 4 1 ( ) 1 ( 2 2 = − =    = − 8 = 1.810 1 m s −  (2) ( ) , 0 4 5 , =  =      =  −  = x t t x  x v t  ∴ 4 3 9 10 m 5 3 4 5 8 x  = −vt = −  c  = − c = −  负号表示 x2  − x1   0． 5 设物体相对S′系沿 x  轴正向以0.8c运动，如果S′系相对S系沿x轴正向的速度也是0.8c， 问物体相对S系的速度是多少? 解: 根据速度合成定理， u = 0.8 c , v c  x = 0.8 ∴ c c c c c c c uv v u v x x x 0.98 0.8 0.8 1 0.8 0.8 1 2 2 =  + + =  +  + = 6 飞船 A 以0.8c的速度相对地球向正东飞行，飞船 B 以0.6c的速度相对地球向正西方向飞 行．当两飞船即将相遇时 A 飞船在自己的天窗处相隔2s发射两颗信号弹．在 B 飞船的观测 者测得两颗信号弹相隔的时间间隔为多少? 解: 取 B 为 S 系，地球为 S 系，自西向东为 x ( x  )轴正向，则 A 对 S 系的速度 v c  x = 0.8 ， S 系对 S 系的速度为 u = 0.6 c ，则 A 对 S 系( B 船)的速度为 c c c c uv v u v x x x 0.946 1 0.48 0.8 0.6 1 2 = + + =  +  + = 发射弹是从 A 的同一点发出，其时间间隔为固有时 t = 2 s

S系 6图 ∴B中测得的时间间隔为: 6.17 v2√1-0.946 7(1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c,须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c 加速到0.9c,又须对它作多少功? 解:(1)对电子作的功,等于电子动能的增量,得 AE4=E,=me2-me2=m2(-1=m(1-D √/-0 =412×10-6J=257×103eV AEK=EK-Ek.(m, c2-moc2)-(m, c2-moc2) =91×10-31×32×106( 1-0.92√1-082 5.14×10-14J=321×105 8一正负电子对撞机可以把电子加速到动能E=2.8×10eV.这种电子速率比光速差多少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为E0=0.511×10°eV oc

题 6 图 ∴ B 中测得的时间间隔为： 6.17 s 1 0.946 2 1 2 2 2 = − = −  = c v t t x   7 (1)如果将电子由静止加速到速率为0.1c，须对它作多少功?(2)如果将电子由速率为0.8c 加速到0.9c，又须对它作多少功? 解: (1)对电子作的功，等于电子动能的增量，得 1) 1 1 ( 1) ( 2 2 2 0 2 0 2 0 2 − − = = − = − = c v E E mc m c m c m c k k   1) 1 0.1 1 9.1 10 (3 10 ) ( 2 31 8 2 − − =    − 16 4.12 10− =  J= 2.57 10 eV 3  (2) ( ) ( ) 2 0 2 1 2 0 2 2 2 1 E E E m c m c m c m c  k  = k − k = − − − ) 1 1 1 1 ( 2 2 1 2 2 2 2 0 2 1 2 2 c v c v m c m c m c − − − = − = ) ) 1 0.8 1 1 0.9 1 9.1 10 3 10 ( 2 2 31 2 16 − − − =    − 5.14 10 J −14 =  3.21 10 eV 5 =  8 一正负电子对撞机可以把电子加速到动能 EK ＝2.8×109 eV．这种电子速率比光速差多少? 这样的一个电子动量是多大?(与电子静止质量相应的能量为 E0 ＝0.511×106 eV ) 解: 2 0 2 2 2 0 1 m c c v m c Ek − − =

所以 1+E,/mc 由上式, +e =c√l-(0.51×105)2(0511×10°+28×10° .9979245×108m·s1 y=2997924580×108m.s-29979245×103=8m.s 由动量能量关系E2=p2c2+m2c4可得 c2)2-m EX+2Er moc =[(282×108+2×2.8×10×0.511×10°)×162×10-3]2/3×10

所以 2 0 2 0 2 0 2 2 1 / 1 1 E m c m c c E m c v k k + = + − = 由上式， 6 2 6 9 2 2 2 0 2 0 1 (0.51 10 ) /(0.511 10 2.8 10 ) 1 ( ) = −   +  + = − c m c E m c v c k 8 = 2.997924510 -1 m s 8 c − v = 2.99792458010 -1 m s 2.9979245 10 8 8 −  = -1 m s 由动量能量关系 2 4 0 2 2 2 E = p c + m c 可得 c E E m c c E m c m c c E m c p k k k 2 0 2 4 2 0 2 2 0 2 4 0 2 ( ) + 2 = + − = − = 1 8 1 2 8 1 2 1 8 9 6 2 3 8 1.49 10 kg m s [(2.8 10 2 2.8 10 0.511 10 ) 1.6 10 ] / 3 10 − − − =    =  +       