《初等数学研究》教学大纲 课程编码：1511101802 课程名称：初等数学研究 学时/学分：36/2 先修课程：《数学教学论》、《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》 适用专业：数学与应用数学 开课教研室：课程论教研室 一、课程性质与任务 1.课程性质：《初等数学研究》是数学与应用数学专业的专业必修课程。本课程与中学 数学紧密相关，并与高等数学有一定的联系，它是在学生掌握了一定高等数学理论知识的基 础上，根据中学数学教学工作的实际需要而开设的。。 2.课程任务：本课程兼具基础性和应用性特征。课程的任务是使学生掌握基础教有数 学课程的基础理论、基础知识和基本技能：了解其内容和知识结构，使学生对中学数学教学 所必需的初等数学的基础知识和理论体系有较深刻的理解、较系统的掌握，能够运用现代数 学观点审视中学数学问题，能够从高等数学的背景解释中学代数问题，在数学思想上得到启 发，在数学方法上得到训练，为毕业后从事中学数学教学打下必要的基础。 二、课程教学基本要求 从初中数学的教学需要出发，并根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学分为代数 与几何两大部分，再进一步将两部分内容分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实。 在理论、观点和方法上予以提高。对各专题的教学，都要着重基本思维方法的培养和基本技 能技巧的训练。要求学生认清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养学生 的辩证唯物主义观点。在教学形式上以课堂讲授、小组讨论等为主要教学环节，其中以课堂 讲授为主，研制电子教案和多媒体幻灯片以及CI课件，在教学方法和手段上采用现代教有 技术。研制电子教案和多媒体幻灯片，在教学方法和手段上采用现代教有技术。 1.本课程开设在第6学期，总学时36，其中课堂讲授36学时，课堂实践0学时。 2.本课程的成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）(70%)十平时成绩（平时测验、作 业、课堂提问、课堂讨论等)(30%)。成绩评定采用百分制，60分为及格。 三、课程教学内容 第一章自然数 1.教学基本要求 掌握自然数的性质，了解基数理论下自然数性质的证明：掌握自然数的性质，了解序数 理论下自然数性质的证明：了解数学归纳法的证明，掌握数学归纳法的实质和运用技巧，理
《初等数学研究》教学大纲 课程编码：1511101802 课程名称：初等数学研究 学时/学分：36/2 先修课程： 《数学教学论》、《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》 适用专业：数学与应用数学 开课教研室：课程论教研室 一、课程性质与任务 1．课程性质：《初等数学研究》是数学与应用数学专业的专业必修课程。本课程与中学 数学紧密相关，并与高等数学有一定的联系，它是在学生掌握了一定高等数学理论知识的基 础上，根据中学数学教学工作的实际需要而开设的。 。 2．课程任务：本课程兼具基础性和应用性特征 。课程的任务是使学生掌握基础教育数 学课程的基础理论、基础知识和基本技能；了解其内容和知识结构，使学生对中学数学教学 所必需的初等数学的基础知识和理论体系有较深刻的理解、较系统的掌握，能够运用现代数 学观点审视中学数学问题，能够从高等数学的背景解释中学代数问题，在数学思想上得到启 发，在数学方法上得到训练，为毕业后从事中学数学教学打下必要的基础。 二、课程教学基本要求 从初中数学的教学需要出发，并根据中学数学的内容和知识结构，把初等数学分为代数 与几何两大部分， 再进一步将两部分内容分别组成若干专题，在内容上适当延伸和充实， 在理论、观点和方法上予以提高。对各专题的教学，都要着重基本思维方法的培养和基本技 能技巧的训练。要求学生认清具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系，培养学生 的辩证唯物主义观点。在教学形式上以课堂讲授、小组讨论等为主要教学环节，其中以课堂 讲授为主，研制电子教案和多媒体幻灯片以及 CAI 课件，在教学方法和手段上采用现代教育 技术。研制电子教案和多媒体幻灯片，在教学方法和手段上采用现代教育技术。 1. 本课程开设在第 6 学期，总学时 36，其中课堂讲授 36 学时，课堂实践 0 学时。 2. 本课程的成绩考核形式：期终成绩（闭卷考试）（70%）＋平时成绩（平时测验、作 业、课堂提问、课堂讨论等）（30％）。成绩评定采用百分制，60 分为及格。 三、课程教学内容 第一章 自然数 1.教学基本要求 掌握自然数的性质，了解基数理论下自然数性质的证明；掌握自然数的性质，了解序数 理论下自然数性质的证明；了解数学归纳法的证明，掌握数学归纳法的实质和运用技巧，理
解各种形式数学归纳法之间的联系。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能淮确理解自然数、基数、皮亚诺公理系统、数学归纳法等基本 概念，掌握自然数的基本性质及其证明方法、能够熟练掌握数学归纳法的实质和运用技巧。 3.教学重点和难点 教学重点是自然数的性质，基数理论下自然数性质的证明：自然数的性质，序数理论下 自然数性质的证明：数学归纳法的实质和运用技巧。教学难点是自然数的性质的证明、数学 归纳法的运用技巧。 4.教学内容 第一节自然数的基数理论 1.基数理论下的自然数的定义 2.自然数的顺序律、运算律 3.可数集的定义 第二节自然数的序数理沦 1.公理法 2.皮亚诺的自然数公理系统 3.序数理论下自然数的顺序律、运算律 第三节数学归纳法 1.第一数学归纳法的原理及应用 2.第二数学归纳法的原理及应用 第二章整数 1.教学基本要求 掌握整数的性质，了解序偶理论下性质的证明：掌握带余除法的应用并能够灵活运用 带余除法解决相关问题：了解最大公因数与最小公倍数性质的证明，掌握最大公因数与最小 公倍数的性质，能灵活运用性质解决相关问题：灵活运用素数的性质解决相关问题：了解同 余性质的证明，灵活运用同余的性质解决相关问题，了解欧拉函数的性质和运用。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理整数环、带余除法、最大公因数与最小公倍数、素数与 合数、同余等基本概念，掌捏整数性质的证明方法，能够灵活运用整数的性质和原理解决相 关问题。 3.教学重点和难点 教学重点是整数的定义及其性质，带余除法的应用：最大公因数与最小公倍数的性质及 运用性质解决相关问题：素数的性质解决相关问题。教学难点是整数理论及其性质的证明
解各种形式数学归纳法之间的联系。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理解自然数、基数、皮亚诺公理系统、数学归纳法等基本 概念，掌握自然数的基本性质及其证明方法、能够熟练掌握数学归纳法的实质和运用技巧。 3.教学重点和难点 教学重点是自然数的性质，基数理论下自然数性质的证明；自然数的性质，序数理论下 自然数性质的证明；数学归纳法的实质和运用技巧。教学难点是自然数的性质的证明、数学 归纳法的运用技巧。 4.教学内容 第一节 自然数的基数理论 1. 基数理论下的自然数的定义 2. 自然数的顺序律、运算律 3. 可数集的定义 第二节 自然数的序数理沦 1. 公理法 2. 皮亚诺的自然数公理系统 3. 序数理论下自然数的顺序律、运算律 第三节 数学归纳法 1. 第一数学归纳法的原理及应用 2. 第二数学归纳法的原理及应用 第二章 整数 1.教学基本要求 掌握整数的性质，了解序偶理论下性质的证明；掌握带余除法的应用并能够灵活运用 带余除法解决相关问题；了解最大公因数与最小公倍数性质的证明，掌握最大公因数与最小 公倍数的性质，能灵活运用性质解决相关问题；灵活运用素数的性质解决相关问题；了解同 余性质的证明，灵活运用同余的性质解决相关问题，了解欧拉函数的性质和运用。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理整数环、带余除法、最大公因数与最小公倍数、素数与 合数、同余等基本概念，掌握整数性质的证明方法，能够灵活运用整数的性质和原理解决相 关问题。 3.教学重点和难点 教学重点是整数的定义及其性质，带余除法的应用；最大公因数与最小公倍数的性质及 运用性质解决相关问题；素数的性质解决相关问题。教学难点是整数理论及其性质的证明
4.教学内容 第一节整数环 1.代数系统的同构与扩张 2.序偶的概念 3.用序偶定义的整数及其运算、运算律 第三章有理数 1.教学基本要求 了解有理数性质的证明，掌握有理数域的性质：了解分数和循环小数互化的理论基础。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能了解有理数性质的证明，掌握有理数域的性质；了解分数和循 环小数互化的理论基础。 3.教学重点和难点 教学重点是有理数的定义、有理数域的性质：分数和循环小数互化的理论基础。教学难 点是有理数域性质的证明。 4.教学内容 第一节有理数域 1,用整数的序偶定义有理数 2.有理数的顺序律，运算及运算律 第二节十进循环小数 1.分数、既约分数 2.有限小数、无限小数、无限循环小数 3.分数与循环小数的互化 第四章实数 1.教学基本要求 了解无理数的存在性：了解性质的证明，掌握实数域的基本性质：了解实数的可开方 性：了解一些常见的无理数：了解性质的证明，掌握[x]的性质、灵活运用性质解决相关问 题。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理解实数集、实数的基本性质、实数的四则运算、实数的 开方、一些常见的无理数等基本概念，掌握[x]的性质及其应用。 3.教学重点和难点 教学重点是实数域的基本性质：[x]的性质，灵活运用性质解决相关问题。教学难点是
4.教学内容 第一节 整数环 1. 代数系统的同构与扩张 2. 序偶的概念 3. 用序偶定义的整数及其运算、运算律 第三章 有理数 1.教学基本要求 了解有理数性质的证明，掌握有理数域的性质；了解分数和循环小数互化的理论基础。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能了解有理数性质的证明，掌握有理数域的性质；了解分数和循 环小数互化的理论基础。 3.教学重点和难点 教学重点是有理数的定义、有理数域的性质；分数和循环小数互化的理论基础。教学难 点是有理数域性质的证明。 4.教学内容 第一节 有理数域 1. 用整数的序偶定义有理数 2. 有理数的顺序律，运算及运算律 第二节 十进循环小数 1. 分数、既约分数 2. 有限小数、无限小数、无限循环小数 3. 分数与循环小数的互化 第四章 实数 1.教学基本要求 了解无理数的存在性；了解性质的证明，掌握实数域的基本性质；了解实数的可开方 性；了解一些常见的无理数；了解性质的证明，掌握[x]的性质、灵活运用性质解决相关问 题。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理解实数集、实数的基本性质、实数的四则运算、实数的 开方、一些常见的无理数等基本概念，掌握 [x]的性质及其应用。 3.教学重点和难点 教学重点是实数域的基本性质；[x]的性质，灵活运用性质解决相关问题。教学难点是
实数域的基本性质的证明。 4.教学内容 第一节实数集 1.阿基米德公理 2.康托公理 3.实数的定义 第五章复数 1.教学基本要求 了解性质的证明，掌握复数域的基本性质：了解从实数扩张到复数的合理性，灵活运 用根的性质、几何性质、三角性质解决相关问题。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理解复数域等基本概念，掌握复数的代数形式、复数的几 何表示、复数的三角表示、复数的开方、复数模的性质。 3.教学重点和难点 教学重点是复数域等基本概念，复数的代数形式、复数的几何表示、复数的三角表示、 复数的开方、复数模的性质。教学难点是复数域的基本性质的证明。 4.教学内容 第一节复数域 1.用实数的序偶定义复数 2.复数的运算及运算律。 第二节复数的代数形式 复数的代数形式 第三节复数的几何表示 复数的几何表示 第六章多项式 1.教学基本要求 掌握多项式的定义及相关定义，掌握零多项式、多项式相等的定理，掌握用待定系数 法求多项式，了解多元多项式定义及相关定理，了解有关多项式定理的证明：掌握常用的多 项式乘法公式并能够灵活应用它进行多项式的恒等变形：掌握一元多项式分解的条件和分解 方法，了解分解定理的证明。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理解多项式等基本概念，熟练掌握多项式的恒等变形、多
实数域的基本性质的证明。 4.教学内容 第一节 实数集 1. 阿基米德公理 2. 康托公理 3. 实数的定义 第五章 复数 1.教学基本要求 了解性质的证明，掌握复数域的基本性质；了解从实数扩张到复数的合理性，灵活运 用根的性质、几何性质、三角性质解决相关问题。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理解复数域等基本概念，掌握复数的代数形式、复数的几 何表示、复数的三角表示、复数的开方、复数模的性质。 3.教学重点和难点 教学重点是复数域等基本概念，复数的代数形式、复数的几何表示、复数的三角表示、 复数的开方、复数模的性质。教学难点是复数域的基本性质的证明。 4.教学内容 第一节 复数域 1. 用实数的序偶定义复数 2. 复数的运算及运算律。 第二节 复数的代数形式 复数的代数形式 第三节 复数的几何表示 复数的几何表示 第六章 多项式 1.教学基本要求 掌握多项式的定义及相关定义，掌握零多项式、多项式相等的定理，掌握用待定系数 法求多项式，了解多元多项式定义及相关定理，了解有关多项式定理的证明；掌握常用的多 项式乘法公式并能够灵活应用它进行多项式的恒等变形；掌握一元多项式分解的条件和分解 方法，了解分解定理的证明。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确理解多项式等基本概念，熟练掌握多项式的恒等变形、多
项式的因式分解等方法。 3.教学重点和难点 教学重点是多项式的定义及相关定义，零多项式、多项式相等的定理，用待定系数法求 多项式：常用的的多项式乘法公式并能够灵活应用它进行多项式的恒等变形：多项式分解的 条件和分解方法。教学难点是社会心理学研究中的偏向和伦理问题。 4.教学内容 第一节多项式的一般概念 1.多项式的定义 2.多项式的恒等 3.一元多项式 4.多元多项式 第二节 多项式的恒等变形 1.多项式的恒等变形 第三节多顶式的因式分解 1.一元多项式的因式分解 2.多元多项式的因式分解 第七章分式和根式 1.教学基本要求 掌握分式的定义和分式的基本性质，掌捏既约分式的存在性与唯一性，了解延拓原理 及相关定理的证明：掌握将分式化为部分分式的方法，了解部分分式的相关定理，了解相关 定理的证明：掌握根式的定义，并能灵活运用运算法则、运算公式进行化简、求值、证明 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确学握分式的定义和分式的基本性质，掌握既约分式的存 在性与唯一性，了解延拓原理及相关定理的证明：掌握将分式化为部分分式的方法，了解部 分分式的相关定理，了解相关定理的证明：掌握根式的定义，并能灵活运用运算法则、运算 公式进行化简、求值、证明。 3.教学重点和难点 教学重点是分式的定义和分式的某本性质，既约分式的存在性与唯一性：将分式化为部 分分式的方法：根式的定义，并能灵活应用运算法则、运算公式进行化简、求值、证明。教 学难点是将分式化为部分分式的方法。 4.教学内容 第一节有理分式 1.有理分式的定义、分类、定义域、恒等、基本性质
项式的因式分解等方法。 3.教学重点和难点 教学重点是多项式的定义及相关定义，零多项式、多项式相等的定理，用待定系数法求 多项式；常用的的多项式乘法公式并能够灵活应用它进行多项式的恒等变形；多项式分解的 条件和分解方法。教学难点是社会心理学研究中的偏向和伦理问题。 4.教学内容 第一节 多项式的一般概念 1. 多项式的定义 2. 多项式的恒等 3. 一元多项式 4. 多元多项式 第二节 多项式的恒等变形 1.多项式的恒等变形 第三节 多顶式的因式分解 1. 一元多项式的因式分解 2. 多元多项式的因式分解 第七章 分式和根式 1.教学基本要求 掌握分式的定义和分式的基本性质，掌握既约分式的存在性与唯一性，了解延拓原理 及相关定理的证明；掌握将分式化为部分分式的方法，了解部分分式的相关定理，了解相关 定理的证明；掌握根式的定义，并能灵活运用运算法则、运算公式进行化简、求值、证明。 2.要求学生掌握的基本概念、理论、原理 通过本章学习，使学生能准确掌握分式的定义和分式的基本性质，掌握既约分式的存 在性与唯一性，了解延拓原理及相关定理的证明；掌握将分式化为部分分式的方法，了解部 分分式的相关定理，了解相关定理的证明；掌握根式的定义，并能灵活运用运算法则、运算 公式进行化简、求值、证明。 3.教学重点和难点 教学重点是分式的定义和分式的某本性质，既约分式的存在性与唯一性；将分式化为部 分分式的方法；根式的定义，并能灵活应用运算法则、运算公式进行化简、求值、证明。教 学难点是将分式化为部分分式的方法。 4.教学内容 第一节 有理分式 1. 有理分式的定义、分类、定义域、恒等、基本性质