高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 第九章多元函数微分法及其应用 第一节多元函数基本概念 教学内容:多元函数的概念、极限、连续性。 教学目标:学习并掌握关于多元函数的区域、极限以及多元函数概念, 掌握多元函数的连续性定理,能够判断多元函数的连续性,能够求出 连续函数在连续点的极限。 教学重点:多元函数概念和极限,多元函数的连续性定理。 教学难点:计算多元函数的极限。 教学方法:新课讲授法 作业:p621,2,5,6,8. 教学过程: 一、平面点集n维空间 1、平面点集 平面上一切点的集合称为二维空间,记为R即 R2=RxR={(x,y):x,yER) 坐标平面上具有某种性质P的点的集合,称为平面点集,记作 E={x,y):化,y)具有性质P. 例如,平面上以原点为中心、为半径的圆内所有点的集合是 C={x,y:x2+y2<2} 如果我们以点P表示(x,),以OP表示点P到原点O的距离,那么集合C可表成 C=P:OPr). 回顾数轴上点的邻域。 邻域:设P(xo,o)是xOy平面上的一个点,6是某一正数,与点P(xo,%)距离小于6 的点P(化,y)的全体,称为点P的6邻域,记为 U(Po,),即 U(P,δ)={P:|PPKδ} 或 U(P,δ)={(x,yV(x-xo)2+(y-yo)2<6}
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 点P的去心6邻域,记作U(P,),即 U(P,6)={P:0<PPk6} 如果不需要强调邻域的半径6则用U(P)表示点P的某个邻域,点P的去心邻域记作 U()。· 点与点集之间的关系: 任意一点P∈R与任意一个点集EcR之间必有以下三种关系中的一种: (1)内点:如果存在点P的某一邻域UP),使得UPcE,则称P为E的内点。 (2)外点:如果存在点P的某个邻域U(P),使得UP)nE=O,则称P为E的外点。 (3)边界点:如果点P的任一邻域内既有属于E的点,也有不属于E的点,则称P点 为E的边点。 E的边界点的全体,称为E的边界,记作E。 E的内点必属于E;E的外点必定不属于E,而E的边界点可能属于E,也可能不属于E。 (4)聚点:如果对于任意给定的0,点P的去心邻域U(P,6)内总有E中的点,则称 P是E的聚点. 由聚点的定义可知,点集E的聚点P本身,可以属于E,也可能不属于E。 例如,设平面点集E={x,y1<x+y≤2},则满足1<x+y<2的一切点x,)都是E的内 点:满足x+y=1的一切点(x,y)都是E的边界点:它们都不属于E:满足x2+y=2的一切点 (化,y)也是E的边界点:它们都属于E;点集E以及它的界边E上的一切点都是E的聚点. 开集:如果点集E的点都是内点,则称E为开集。 闭集:如果点集的余集E为开集,则称E为闭集。 例如,E={,y1<x2+y2<2}是开集;E={(x,y1≤2+y≤2}是闭集; 集合{x, y)1<x+y≤2}既非开集,也非闭集。 连通性:如果点集E内任何两点,都可用折线连结起来,且该折线上的点都属于E,则 称E为连通集。 区域(或开区域):连通的开集称为区域或开区域。 例如,E={化,y1<x2+y2<2}是区域。 闭区域:开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域。 例如,E={x,y1≤2+y2≤2}。 2
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 有界集:对于平面点集E,如果存在某一正数”,使得 EcU(O,r), 其中O是坐标原点,则称E为有界点集。 无界集:一个集合如果不是有界集,就称这集合为无界集。 例如,集合{x,y1sx+y≤2}是有界闭区域:集合{x,y川x+>1}是无界开区域;集合{, y川x+21}是无界闭区域。 2.n维空间 n元有序实数组(x,x2,…,xn)的全体构成集合 R”={(x,x2,…,xn)x,∈R,i=1,2,…,n}。 元素(x,x2,…,xn)通常也用单个字母x表示,x称为x的第i个坐标。 在R”中定义线性运算如下: 设x=(G,2,,xn),y=(y,2,…,y)为R”中的任意两个元素,元∈R,规定: x+y=(x1+,x2+y2,…,xn+yn), 九x=(入x,九x2,…,xn) 这样定义了线性运算的集合R”称为n维空间。 二、多元函数概念 在很多自然现象以及实际问题中,经常遇到多个变量之间的依赖关系,举例如下: 例1圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系 V=nrh. 这里,当r,h在集合{(r,h)r>0,h>0内取定一对值(r,h)时,V的对应值就随之确定。 例2一定量的理想气体的压强卫、体积V和绝对温度T之间具有关系 其中R为常数.这里,当V、T在集合{(V,T)V>0,T>T,}内取定一对值(V,T)时,p的 对应值就随之确定。 例3设R是由电阻R,、R,并联后的总电阻,由电学知道,它们之间
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 的关系为 R-Rk R+R2 当R,、R2在集合(R,R2R)0,R2)0}内取定一对值(R,R2)时,R的对应值就随之确 定。 抽象出上面三个例子的共性,给出二元函数的定义如下: 定义1设D是R的一个非空子集,称映射f:D→R为定义在D上的二元函数,通 常记为 z=f(x,y),(x,y)∈D(或z=f(P),P∈D). 其中点集D称为该函数的定义域,x、y称为自变量,z称为因变量. 数集 {2z=f(x,y),(x,y)∈D} 称为该函数的值域。 z是x,y的函数也可记为z=z(x,y),z=p(x,y)等等。 类似地可以定义三元函数4=f(x,y,z)以及三元以上的函数.一般的,把定义1中的 平面点集D换成n维空间内的点集D,则可类似地可以定义n元函数 u=f(x1,x2,…,xn).n元函数也可简记为u=f(P),这里点P(x1,x2,…,xn)∈D,当 n=1时,n元函数就是一元函数.当n≥2时,n元函数就统称为多元函数。 关于多元函数定义域,与一元函数类似,我们作如下约定:在一般地讨论用算式表达 的多元函数u=∫(x)时,就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函 数的自然定义域.例如,函数z=ln(x+y)的定义域为 {(x+y)x+y>0} (图9-2),就是一个无界开区域.又如,函数z=arcsin(x2+y2)的定义域为 x+yx2+y2≤1} (图9-3),这是一个有界闭区域
高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 设函数z=f(x,y)的定义域为D.对于任意取定的点P(x,y)∈D,对应的函数值为 z=f(x,y).这样,以x为横坐标、y为纵坐标、z=f(x,y)为竖坐标在空间就确定一点 M(x,y,z).当(x,y)遍取D上的一切点时,得到一个空间点集 {(x,y,z)z=f(x,y),(x,y)ED;, +V- 图9-2 图9-3 这个点集称为二元函数z=f(x,y)的图形.通常我们也说二元函数的图形是一张曲面。 三、多元函数的极限 定义2设二元函数f(x,y)的定义域为D,P(xo,yo)是D的聚点.如果存在常数A, 对于任意给定的正数E,总存在正数6,使得当点P(x,y)∈DOU(P,)时,都有 f(x,y)-A<£成立,则称常数A为函数f(x,y)当(x,y)→(化,y)时的极限,记作 .lim f(x,y)=4, (,-→(o) 或 f(x,y)→A((x,y)→(x,yo)). 为了区别于一元函数的极限,我们把二元函数的极限叫做二重极限。 我们必须注意,所谓二重极限存在,是指P(x,y)以任何方式趋于P(x,y。)时,函数 都无限接近于A.因此,如果P(x,y)以某一种特殊方式,例如沿着一条直线或定曲线趋于 P(x,y。)时,即使函数无限接近于某一确定值,我们还不能由此断定函数的极限存在.但 是反过来,如果当P(x,y)以不同方式趋于P(x,y,)时,函数趋于不同的值,那么就可以 5